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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Do 21.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich habe mal ne Frage zur Konvergenz von Reihen.
Also irgendwo habe ich gefunden (und es lauerte auch noch in meiner Erinnerung), dass es da verschiedene Möglichkeiten gibt, die Konvergenz einer Reihe zu untersuchen. Ich habe mich bei meiner Aufgabe für das Quotientenkriterium entschieden (gibt es eine Regel, wann man welches Kriterium am besten nimmt?). Die Aufgabe war die Lösung einer Differentialaufgabe (in Form einer Potenzreihe), und wenn ich mich dabei nicht verrechnet habe, dann ist die Lösung:
[mm] x(t)=\summe_{i=2}^{\infty} a_{i} t^i
[/mm]
mit [mm] a_{i}=-\bruch{1}{i^2-1} [/mm] * [mm] a_{i-2}
[/mm]
für alle geraden i - für ungerade i ist [mm] a_{i}=0
[/mm]
Wenn ich darauf jetzt das Quotientenkriterium anwende, muss ich doch berechnen, ob [mm] \left|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}\right| [/mm] größer oder kleiner eins ist. Da alle ungeraden i ja sowieso gleich Null sind, muss ich es doch hier wohl so versuchen:
[mm] \left|\bruch{a_{k+2}}{a_{k}}\right|\ [/mm] (oder???)
Bei mir kommt da dann nach ein bisschen Rumrechnen folgendes raus:
Das Ganze ist
<1, für [mm] k>-2+\wurzel{2} [/mm] oder [mm] k<-2-\wurzel{2} [/mm]
[mm] \ge1, [/mm] für [mm] k<-2+\wurzel{2} [/mm] oder [mm] k>-2-\wurzel{2}
[/mm]
(kann mir das vielleicht jemand verifizieren?)
Kann ich dann jetzt daraus schließen, dass die Reihe konvergiert, für [mm] k>-2+\wurzel{2} [/mm] und [mm] k<-2-\wurzel{2} [/mm] und divergiert für alle anderen k, oder muss ich da noch irgendwas von wegen Monotonie oder so zeigen???
Wäre schön, wenn mir jemand allgemein was zur Untersuchung von Monotonie und Konvergenz sagen könnte - habe nämlich für beides dieselben Kriterien gefunden...
Ich hoffe, die Aufgabe ist nicht zu lang geworden - hätte schon gerne eine Antwort... 
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hast schon gesehen - bin nicht so gut in mathe - aber habe viele links - vielleicht konnte dir das hier helfen - hoffe schon :)))
Gruss
Claudia
http://www.mathesite.de/pdf/folge.pdf
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Hi Christiane,
du hast eine Kleinigkeit übersehen.
Beim Quotientenkriterium geht es um Reihen der Form [mm]\sum a_i[/mm].
Hier sehen die Summanden ein bisschen anders aus, nämlich [mm]\sum a_i\cdot t^i[/mm].
Ausserdem untersuchst du keinen speziellen Index deiner Summanden, sondern für die Konvergenz ist das Verhalten bei sehr großen Indices relevant. Du interessiert dich also für
[mm]\lim_{i\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{i+2}\cdot t^{i+2}}{a_i\cdot t^i}\right|=\lim_{i\rightarrow\infty}\left|\frac{i^2-1}{(i+2)^2-1}t^2\right|[/mm].
Für sehr große i wird der Bruch zu 1 und deine Reihe konvergiert, wenn [mm] t^2<1. [/mm] Du bestimmt bei einer Potenzreihe immer den Konvergenzradius, der hat nix mit dem Index der Summanden zu tun, sondern mit dem t oder x oder wasauchimmer, das du in die Potenzreihe einsetzt.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 21.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hugo!
> Hier sehen die Summanden ein bisschen anders aus, nämlich
> [mm]\sum a_i\cdot t^i[/mm].
Das ist wahr - habe ich gar nicht dran gedacht. Danke.
> [mm]\lim_{i\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{i+2}\cdot t^{i+2}}{a_i\cdot t^i}\right|=\lim_{i\rightarrow\infty}\left|\frac{i^2-1}{(i+2)^2-1}t^2\right|[/mm].
Das verstehe ich nicht so ganz, ich komme da auf folgendes:
[mm]\lim_{i\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{i+2}\cdot t^{i+2}}{a_i\cdott^i}\right|=\lim_{i\rightarrow\infty}\left|-\frac{1}{(i+2)^2-1}*t^2\right|[/mm]
Und noch ne kurze Frage: heißt das jetzt trotzdem noch Quotientenkriterium?
Aber auf jeden Fall schon mal danke - ich hätte mir ja sonst viel zu viel Schreibarbeit gemacht mit meinen Rechnungen...
Viele Grüße
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>von mir: [mm]\lim_{i\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{i+2}\cdot t^{i+2}}{a_i\cdot t^i}\right|=\lim_{i\rightarrow\infty}\left|\frac{i^2-1}{(i+2)^2-1}t^2\right|[/mm].
Du darfst die Potenz von t im Nenner nicht vergessen!
>von dir: [mm]\lim_{i\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{i+2}\cdot t^{i+2}}{a_i\cdott^i}\right|=\lim_{i\rightarrow\infty}\left|-\frac{1}{(i+2)^2-1}*t^2\right|[/mm]
Schreib dir mal Zähler und Nenner getrennt auf und dividiere dann.
> Und noch ne kurze Frage: heißt das jetzt trotzdem noch
> Quotientenkriterium?
Ja, das ist das Quotientenkriterium und es heißt immer noch so.
Hugo
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