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Forum "Technische Informatik" - Konjunktive Normalform
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Konjunktive Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Mi 14.07.2004
Autor: Mephi

Hab ich ja soweit begriffen aber eine Frage hab ich noch:
ich möchte folgenden Ausdruck is konjunktive oder disjunktive Normalform bringen:

[mm] $A\gdw [/mm] B$
wie kann ich diese Bijunktion noch darstellen?
weil in Normalform dürfen ja nur noch  [mm] $\vee$ [/mm] und $ [mm] \wedge$ [/mm] vorkommen
        
Bezug
Konjunktive Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Mi 14.07.2004
Autor: Marc

Hallo Mephi,

> Hab ich ja soweit begriffen aber eine Frage hab ich noch:
>  ich möchte folgenden Ausdruck is konjunktive oder
> disjunktive Normalform bringen:
>  
> [mm]A\gdw B[/mm]
>  wie kann ich diese Bijunktion noch darstellen?
>  weil in Normalform dürfen ja nur noch  [mm]\vee[/mm] und [mm]\wedge[/mm]
> vorkommen

da helfen Wahrheitstafeln:

[mm]\begin{array}{c|c||c} A & B & A\gdw B\\\hline\hline f & f & w \\ f & w & f \\ w & f & f \\ w & w & w \\ \end{array}[/mm]

Jetzt suche ich die Zeilen mit "w" am Ende raus und schreibe:

[mm] $A\gdw [/mm] B\ =\ [mm] (\neg A\wedge \neg [/mm] B)\ [mm] \vee\ (A\wedge [/mm] B)$

Das nennt sich dann (meine ich mich zu erinnern) disjunktive Normalform, man möge mich verbessern.

Viele Grüße,
Marc
Bezug
        
Bezug
Konjunktive Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Mi 14.07.2004
Autor: Paulus

Hallo Mephi

> Hab ich ja soweit begriffen aber eine Frage hab ich noch:
>  ich möchte folgenden Ausdruck is konjunktive oder
> disjunktive Normalform bringen:
>  
> [mm]A\gdw B[/mm]
>  wie kann ich diese Bijunktion noch darstellen?
>  weil in Normalform dürfen ja nur noch  [mm]\vee[/mm] und [mm]\wedge[/mm]
> vorkommen
>  

Marc hat ja die Herleitung für die Darstellung als Disjunktive Normalform mittels Wahrheitstabelle gezeigt.

Wie steht es aber mit der Konjunktiven Normalform? ;-)

Dazu ist nur nötig zu wissen, dass

$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ dasselbe ist wie [mm] $\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B$ ist.

Wenn jetzt gleichzeitig auch noch

$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gelten muss, dann bedeutet dies, es muss gleichzeitig auch  [mm] $\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] A$ gelten.

Zusammen ergibt sich:

$A [mm] \gdw [/mm] B$ ist dasselbe wie [mm] $(\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] A)$

Diese Form ist die Konjunktive Normalform.

Das kannst du natürlich auch durch einfaches Ausmultiplizieren in die Disjunktive Normalform bringen, wenn du dich vor Wahrheitstabellen scheust. Vielleicht versuchst du das zur Uebung auch einmal?
Als Resultat solltest du die von Marc angegebene Form erhalten. ;-)

Mit lieben Grüssen

Bezug
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