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Körper und Ringe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 So 09.11.2003
Autor: AstridW

Hallo!
Für die Uni müssen wir Multiple-Choice-Aufgaben lösen und bei manchen bin ich mir nicht sicher!!!! Deshalb bitte ich hiermit um Hilfe!!!Also:

Ist in einem Ring mit 1 ein Element a invertierbar, dann ist auch a³ invertierbar. Meine Vermutung ist Ja

Ist für a element R die Abbildung R→R, x→ax surjektiv, so ist a invertierbar. Ich glaube JA

Ist K ein Körper und K→K, x→x² injektiv, so ist 1+1=0 in K. ich meine Ja

Ist für jedes a element [mm] R\{0} [/mm] die Abbildung R→R, x→a(x+1) surjektiv, so ist R ein Körper. Ich gaube schon!

Vielen Dank schon mal
Astrid

        
Bezug
Körper und Ringe: 1. Frage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 So 09.11.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,

zunächst einmal ein herzliches Willkommen im MatheRaum! :-)

> Für die Uni müssen wir Multiple-Choice-Aufgaben lösen und bei
> manchen bin ich mir nicht sicher!!!! Deshalb bitte ich hiermit
> um Hilfe!!!Also:
>
> Ist in einem Ring mit 1 ein Element a invertierbar, dann ist
> auch a³ invertierbar. Meine Vermutung ist Ja

Das sehe ich auch so.
a invertierbar heißt ja, dass es ein inverses Element [mm]a^{-1} \in R[/mm] gibt mit [mm] a*a^{-1}=a^{-1}*a=1 [/mm].
[mm] a^3 [/mm] bedeutet [mm]a*a*a[/mm], deswegen liegt die Vermutung nahe, dass das zu [mm] a^3 [/mm] inverse Element [mm] \left( a^{-1} \right)^3 [/mm] lautet; hier der Beweis:
[mm] a^3 * \left( a^{-1} \right)^3 [/mm]
[mm]=[/mm] [mm] a*a*a*a^{-1}*a^{-1}*a^{-1} [/mm]
[mm]=[/mm] [mm] a*a*\underbrace{a*a^{-1}}_{= 1}*a^{-1}*a^{-1} [/mm]
[mm]=[/mm] [mm] a*\underbrace{a*1}_{= a}*a^{-1}*a^{-1} [/mm]
[mm]=[/mm] [mm] a*\underbrace{a*a^{-1}}_{=1}*a^{-1} [/mm]
[mm]=[/mm] [mm] \underbrace{a*a^{-1}}_{=1} [/mm]
[mm]=[/mm] [mm] 1 [/mm]

Die restlichen Fragen beantworte ich gleich in einem eigenen Artikel.

Bis gleich,
Marc


Bezug
        
Bezug
Körper und Ringe: 2. Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:15 So 09.11.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,

> Ist für a element R die Abbildung R→R, x→ax
> surjektiv, so ist a invertierbar. Ich glaube JA

Mit R ist immer noch derselbe Ring gemeint, also ein Ring mit der 1? Das nehme ich hier mal an.

Dass die Abbildung surjektiv ist, bedeutet:
[mm] \forall b \in R \; \exists x \in R : b=a*x [/mm]
(in deutsch: Zu jedem Element b der Bildmenge (hier ganz R) gibt es ein Urbild x)

Das bedeutet aber auch, dass es zu der 1 ein [mm] x \in R [/mm] gibt mit dieser Eigenschaft:
[mm] 1 = a*x [/mm]
Das ist aber gerade die Definition eines inversen Elements zu a!

Bis gleich,
Marc


Bezug
        
Bezug
Körper und Ringe: 3. Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:51 So 09.11.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,

> Ist K ein Körper und K→K, x→x² injektiv, so ist
> 1+1=0 in K. ich meine Ja

Die interessante Aussage ist hier, dass 1+1=0 ist (und nicht, dass 0 in K ist).

Dass die Abbildung f injektiv ist, bedeutet:
Für alle [mm] a,b \in K [/mm] gilt:
[mm] a\neq b \Rightarrow f(a)\neq f(b) [/mm]

In diesem Fall also:
Für alle [mm] a,b \in K [/mm] gilt:
[mm] a\neq b \Rightarrow a^2\neq b^2 [/mm]

Beweis durch Widerspruch:
Angenommen, [mm]1+1\neq 0[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] [mm] 1+\underbrace{1+(-1)}_{=0} \neq \underbrace{0+(-1)}_{=-1}[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] [mm] 1 \neq -1[/mm]
(f injektiv:)
[mm]\Rightarrow[/mm] [mm] 1*1 \neq (-1)*(-1)[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] [mm] 1 \neq (-1)*(-1)[/mm]

In [mm] \IR [/mm] ist es vielleicht schon klar, dass wir einen Widerspruch haben, aber damit ist ja noch nicht gesagt, dass es für beliebige Körper ebenfalls widersprüchlich ist; also zeige ich noch, dass [mm](-1)*(-1)=1[/mm] in jedem Körper gilt:

Beh.: [mm] (-1)*(-1) = 1 [/mm]
Bew.: [mm] 0 = 0 [/mm]
[mm]\Rightarrow (-1)*0 = 0 [/mm]
[mm]\Rightarrow (-1)*((-1)+1) = 0 [/mm]
[mm]\Rightarrow (-1)*(-1)+(-1)*1 = 0 [/mm]
[mm]\Rightarrow (-1)*(-1)+(-1) = 0 [/mm]
[mm]\Rightarrow (-1)*(-1)+(-1) + 1= 0 +1[/mm]
[mm]\Rightarrow (-1)*(-1)= 1[/mm]

Falls etwas unklar geblieben ist, frage bitte nach!

Bis gleich,
Marc



Nachricht bearbeitet (So 09.11.03 22:46)

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Bezug
Körper und Ringe: 4. Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 So 09.11.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,

> Ist für jedes a element [mm] R\{0} [/mm] die Abbildung R→R,
> x→a(x+1) surjektiv, so ist R ein Körper. Ich gaube schon!

(Hier nehme ich auch an, dass der Ring mit 1 gemeint ist.)

Damit ein Ring mit 1 zu einem Körper wird, benötigen wir noch folgende Eigenschaft der multiplikativen Verknüpfung:
Zu jedem Element aus [mm] R\{0} [/mm] exisitiert das Inverse (in R).

Wie in Frage 2 haben wir wegen der Surjektivität der Abb.:
[mm] \forall b\in R \; \exists x\in R : b=a(x+1) [/mm]

Also auch für b=1 existiert ein solches x mit [mm] 1=a*(x+1) [/mm]

Damit ist [mm]x+1[/mm] das Inverse zu a.

Das war's :-)

Marc


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Bezug
Körper und Ringe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 So 09.11.2003
Autor: AstridW

1000 Dank für die ganzen Antworten und vielleicht bis bald mal (ich hoffe nicht allzu bald, da dies ja bedeuten würde, dass ich alles alleine hinkriege :-) )
Astrid

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