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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und sei [mm] \lambda \in \IK [/mm] eine Zahl, die keine Quadratwurzel in [mm] \IK [/mm] hat, d.h es gibt kein Element [mm] \mu \in \IK [/mm] mit [mm] \mu^{2}=\lambda.
[/mm]
Sei [mm] M_{2} [/mm] eine Menge von 2x2 Matrizen mit Einträgen in [mm] \IK.
[/mm]
Betrachte [mm] \IL:=\{ \pmat{ a & \lambda*b \\ b & a }, a,b \in \IK \}\subset M_{2}(\IK).
[/mm]
(a) Zeige , dass [mm] \IL [/mm] ein Körper mit üblicher Matrix Addition und Matrix Multiplikation ist. Zeige , dass x [mm] \to \pmat{ x & 0 \\ x & 0 }=:x*\I1 \in \IL [/mm] (x [mm] \in \IK)
[/mm]
einen injektiven Körperhomomorphism definiert.
Hinweis: Du kannst dein Wissen über Matrizen über Körper benutzen, um nicht jedes einzelne Axiom für einen Körper zu beweisen.
b) In welchem Sinn ist [mm] l:=\pmat{ 0 & \lambda \\ 1 & 0 } [/mm] besonderes?
c) Was kannst du über Eigenwerte von [mm] a*\I1 [/mm] + b*l sagen?
d) Finde eine Teilmenge von [mm] M_{2}(\IR), [/mm] welche zu [mm] \IC [/mm] isomorph ist.
e) Gibt es einen Körper mit 9 Elementen? |
Hallo,
zu dieser Aufgabenstellung gibt es ![[]](/images/popup.gif) hier , CAS01.pdf, G3 einen Lösungsvorschlag (auf Englisch).
a) ist mir klar.
b) beim Lösungsvorschlag wird Bezug auf quadratische Gleichung genommen.
l ist besonderes in dem Sinne , dass wenn man [mm] l^{2} [/mm] bildet und damit
die quadratische Gleichung konstruiert, diese Gleichung zwei Lösungen l und -l hat.
Was ist besonderes daran bzw. an dieser quadratischen Gleichung?
Der Aufgabensteller erwartet, dass der Student diese Frage beantworten kann. Ich weiss aber nicht , warum ich auf die Antwort kommen sollte.
Mir ist nicht klar , warum das besonderes ist, dass diese quadratische Gleichung zwei Lösungen l und -l hat.
c) ist klar
d) In dem Lösungsvorschlag steht, dass [mm] \lambda= [/mm] -1 gesetzt werden soll und [mm] \IL [/mm] aufgeschrieben werden soll.
Ich verstehe nicht , was mit " [mm] \IL [/mm] aufschreiben" , gemeint ist.
Z.B wenn man f: T [mm] \to \IC [/mm] mit [mm] T:=\{ \pmat{ a & -b\\ b & a }: a,b \in \IK \} [/mm] als Isomorphismus zwischen T und [mm] \IC [/mm] sucht, dann verstehe ich nicht ganz, was man als Vorschrift nehmen soll. Ich habe zuerst mit
f(X)= X*v mit [mm] v=\vektor{v_{1} \\ v_{2}} \in \IR^{2} v_{1}\not=0\not=v_{2} [/mm] und [mm] v_{1}\not= v_{2} [/mm] versucht.
Dann ist f bijektiv und linear, aber ich weiss nicht , wie ich die Umkehrabbildung passend definieren kann.
e) habe ich darüber noch nicht nachgedacht.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und sei [mm]\lambda \in \IK[/mm] eine Zahl, die
> keine Quadratwurzel in [mm]\IK[/mm] hat, d.h es gibt kein Element
> [mm]\mu \in \IK[/mm] mit [mm]\mu^{2}=\lambda.[/mm]
> Sei [mm]M_{2}[/mm] eine Menge von 2x2 Matrizen mit Einträgen in
> [mm]\IK.[/mm]
> Betrachte [mm]\IL:=\{ \pmat{ a & \lambda*b \\ b & a }, a,b \in \IK \}\subset M_{2}(\IK).[/mm]
>
> (a) Zeige , dass [mm]\IL[/mm] ein Körper mit üblicher Matrix
> Addition und Matrix Multiplikation ist. Zeige , dass x [mm]\to \pmat{ x & 0 \\ x & 0 }=:x*\I1 \in \IL[/mm]
> (x [mm]\in \IK)[/mm]
> einen injektiven Körperhomomorphism
> definiert.
Dies muß wohl [mm] $x\to\pmat{x & 0 \\ 0 & x}$ [/mm] heißen.
> Hinweis: Du kannst dein Wissen über Matrizen über
> Körper benutzen, um nicht jedes einzelne Axiom für einen
> Körper zu beweisen.
> b) In welchem Sinn ist [mm]l:=\pmat{ 0 & \lambda \\ 1 & 0 }[/mm]
> besonderes?
> c) Was kannst du über Eigenwerte von [mm]a*\I1[/mm] + b*l sagen?
> d) Finde eine Teilmenge von [mm]M_{2}(\IR),[/mm] welche zu [mm]\IC[/mm]
> isomorph ist.
> e) Gibt es einen Körper mit 9 Elementen?
>
>
>
>
>
> Hallo,
>
> zu dieser Aufgabenstellung gibt es
> hier , CAS01.pdf, G3
> einen Lösungsvorschlag (auf Englisch).
>
> a) ist mir klar.
>
> b) beim Lösungsvorschlag wird Bezug auf quadratische
> Gleichung genommen.
> l ist besonderes in dem Sinne , dass wenn man [mm]l^{2}[/mm] bildet
> und damit
> die quadratische Gleichung konstruiert, diese Gleichung
> zwei Lösungen l und -l hat.
> Was ist besonderes daran bzw. an dieser quadratischen
> Gleichung?
Gar nichts! Aber rechne mal [mm] $l^2$ [/mm] aus.
> Der Aufgabensteller erwartet, dass der Student diese Frage
> beantworten kann. Ich weiss aber nicht , warum ich auf die
> Antwort kommen sollte.
> Mir ist nicht klar , warum das besonderes ist, dass diese
> quadratische Gleichung zwei Lösungen l und -l hat.
>
> c) ist klar
> d) In dem Lösungsvorschlag steht, dass [mm]\lambda=[/mm] -1
> gesetzt werden soll und [mm]\IL[/mm] aufgeschrieben werden soll.
> Ich verstehe nicht , was mit " [mm]\IL[/mm] aufschreiben" ,
> gemeint ist.
>
> Z.B wenn man f: T [mm]\to \IC[/mm] mit [mm]T:=\{ \pmat{ a & -b\\ b & a }: a,b \in \IK \}[/mm]
> als Isomorphismus zwischen T und [mm]\IC[/mm] sucht, dann verstehe
> ich nicht ganz, was man als Vorschrift nehmen soll. Ich
> habe zuerst mit
> f(X)= X*v mit [mm]v=\vektor{v_{1} \\ v_{2}} \in \IR^{2} v_{1}\not=0\not=v_{2}[/mm]
> und [mm]v_{1}\not= v_{2}[/mm] versucht.
> Dann ist f bijektiv und linear, aber ich weiss nicht ,
> wie ich die Umkehrabbildung passend definieren kann.
Hier ist nicht von irgendeinem Körper [mm] $\IK$, [/mm] sondern von [mm] $\IR$ [/mm] die Rede.
Damit haben wir
[mm] $\IL=\left\{ \pmat{a & -b\\ b & a}\colon a,\; b\in\IR\right\}$.
[/mm]
In [mm] $\IL$ [/mm] gibt es im Gegensatz zu [mm] $\IR$ [/mm] eine Quadratwurzel von $-1$. Dies erinnert doch sehr an [mm] $\IC$.
[/mm]
Und a) liefert Dir den Isomorphismus zwischen [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $\IL$.
[/mm]
>
> e) habe ich darüber noch nicht nachgedacht.
Ich auch noch nicht.
Gruß,
Wolfgang
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