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Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Di 04.11.2003
Autor: hanna

Hallo!

ich habe jetzt im ersten semester mathe auf lehramt angefange.
tja, und jetzt ist hier eine aufgabe, bei der ich ahne, warum ich sie falsch gemacht habe, allerdings kann ich nicht sicher sagen, ob ich damit richtig liege.
es handelt sich um eine übungsaufgabe und ich habe das ergebnis schon bekommen, nämlich das meine erste überlegung falsch war.

die aufgabe ist folgende:

es sei K ein beliebiger körper. kreuzen sie bei den folgenden frage "ja" an, wenn die aussage für jeden körper K gilt. wenn es auch nur einen körper gibt,für den die aussage nicht gilt, müssen sie "nein" ankreuzen.

die abbildung K ---> K , x ---> x+x+x ist bijektiv.

ich habe natürlich "ja" angekreuzt und es war falsch. jetzt meine vermutung:
für die reellen zahlen wäre die aussage doch richtig,(würde ich jetzt sagen)ein gegenbeispiel wären dagegen die ganzen zahlen, oder?
lieg ich damit halbwegs richtig?

wäre nett,wenn einer voon euch mir das sagen könnte!und dann habe ich noch eine frage: können surjetive abbildungen invertierbar sein?

ich hab wohl immer noch ziemlich probleme, was suj, inj und bij. betrifft, dabei hatte ich gedacht, dass ich es halbwes verstanden habe, aber jetzt nachdemich meine ergebnisse sehe, merke ich, dass es wohl doch nicht der fall ist : (

        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Di 04.11.2003
Autor: Marc

Hallo hanna,

willkommen im MatheRaum!

Hier zunächst eine schnelle Antwort:

> es sei K ein beliebiger körper. kreuzen sie bei den folgenden
> frage "ja" an, wenn die aussage für jeden körper K gilt. wenn
> es auch nur einen körper gibt,für den die aussage nicht gilt,
> müssen sie "nein" ankreuzen.
>  
> die abbildung K ---> K , x ---> x+x+x ist bijektiv.
>
> ich habe natürlich "ja" angekreuzt und es war falsch. jetzt
> meine vermutung:
> für die reellen zahlen wäre die aussage doch richtig,(würde ich

Das stimmt...

> jetzt sagen)ein gegenbeispiel wären dagegen die ganzen zahlen,
> oder?

... das nicht, denn die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, "nur" eine Gruppe.

> lieg ich damit halbwegs richtig?

Ich probiere es mal mit dem Körper [mm] \IZ_3 [/mm]. In ihm gelten die folgenden Verknüpfungen:
0+0 = 0
1+0 = 0+1 = 1
1+1 = 2
2+0 = 2
2+1 = 0
2+2 = 1

Durch deine Abb. wird jetzt abbgebildet:
0 --> 0+0+0 = 0
1 --> 1+1+1 = 0

Hier können wir schon aufhören, denn die 0 hat zwei Urbilder, damit ist die Abbildung nicht injektiv (und erst recht nicht bijektiv)

2 --> 2+2+2 = 0

> wäre nett,wenn einer voon euch mir das sagen könnte!und dann
> habe ich noch eine frage: können surjetive abbildungen
> invertierbar sein?

Klar, wenn sie zusätzlich auch injektiv sind, denn es gilt:
invertierbar = bijektiv = surjektiv und injektiv.

> ich hab wohl immer noch ziemlich probleme, was suj, inj und
> bij. betrifft, dabei hatte ich gedacht, dass ich es halbwes
> verstanden habe, aber jetzt nachdemich meine ergebnisse sehe,
> merke ich, dass es wohl doch nicht der fall ist : (

Bei weiteren Probleme melde dich doch einfach hier wieder!

Alles Gute,
Marc


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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Di 04.11.2003
Autor: Stefan

Ach komm jetzt, 2 Minuten früher, schäme dich. Alter vor Schönheit! Ich lasse meinen Beitrag aber jetzt. ;-)


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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Di 04.11.2003
Autor: Marc

Lieber Stefan,

> Ach komm jetzt, 2 Minuten früher, schäme dich. Alter vor
> Schönheit! Ich lasse meinen Beitrag aber jetzt. ;-)

Soll das etwas heißen, du hast keinen Respekt vorm Alter und willst, dass ich meinen (älteren) Artikel entferne? Phh. ;-)

Gruß,
Marc


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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Di 04.11.2003
Autor: hanna

Dankeschön!

bin etwas verwirrt von dem ganzen mathekram, den wir jetzt machen... und klar, Z ist wohl kein körper, hätte ich doch mal nachgedacht, aber ist schon schwer *g*

und dann vor lauter verwirrtheit auch noch das falsche forum :-) bitte vielmals um verzeihung!

danke noch mal, hat mir schon was geholfen!

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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:52 Di 04.11.2003
Autor: hanna

ach so, wollte noch was fragen, und zwar:
ihr abt ja die rechenregeln für Z3 angegeben.
sind die eigentlich irgendwie festgelegt, oder muss man sich die herleiten?
in der vorlesung schien es so, als wären sie einee eingebung des dozenten...



Nachricht bearbeitet (Di 04.11.03 21:53)

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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Di 04.11.2003
Autor: Marc

Hallo hanna,

> ach so, wollte noch was fragen, und zwar:
> ihr abt ja die rechenregeln für Z3 angegeben.
> sind die eigentlich irgendwie festgelegt, oder muss man sich
> die herleiten?

Beides :-)
[mm]\IZ_3[/mm] besteht ja aus den drei Elementen [mm]0_3, 1_3[/mm] und [mm]2_3[/mm], den drei Restklassen, die bei der Division durch 3 entstehen können.

Die von uns verwendete Verknüpfung ist dabei gewissermassn vererbt von den reellen Zahlen, ich würde aber nicht behaupten, dass es nicht noch andere Verknüpfungsmöglichkeiten gibt (ich denke da an den allgemeineren Fall [mm]\IZ_n[/mm]).

Allerdings würde ich diesem speziellen Fall [mm]\IZ_3[/mm] behaupten, dass es keinen anderen drei-elementigen Körper gibt. Deswegen muß die Verknüpfung eigentlich nicht extra "festgelegt" werden, sondern ergibt sich so zu sagen automatisch dadurch, dass es ein Körper werden soll.

> in der vorlesung schien es so, als wären sie einee eingebung
> des dozenten...

-Marc.


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Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Di 04.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Hanna,

herzlich willkommen im Matheraum!! :-)


Eigentlich gehört deine Frage zwar in das Forum "Lineare Algebra und Algebra", aber wir lassen das mal durchgehen. ;-)

> es sei K ein beliebiger körper. kreuzen sie bei den folgenden
> frage "ja" an, wenn die aussage für jeden körper K gilt. wenn
> es auch nur einen körper gibt,für den die aussage nicht gilt,
> müssen sie "nein" ankreuzen.
>  
> die abbildung K ---> K , x ---> x+x+x ist bijektiv.

> ich habe natürlich "ja" angekreuzt und es war falsch.

Stimmt, das ist falsch.

>

jetzt

> meine vermutung:
> für die reellen zahlen wäre die aussage doch richtig,(würde ich
> jetzt sagen)

Ja, das stimmt.

> ein gegenbeispiel wären dagegen die ganzen zahlen,
> oder?

Nein, denn die ganzen Zahlen bilden gar keinen Körper. (Z.B. hat 2 kein multiplikatives Inverses.)

Ein Gegenbeispiel ist [mm]F_3=Z/3Z[/mm], der Körper mit drei Elemente.

Es gilt dort:

0+0+0=0,

aber auch:

1+1+1=0,

d.h. die Abbildung ist x-> x+x+x ist nicht injektiv (die Elemente 0 und 1 werden beide auf 0 abgebildet).

> wäre nett,wenn einer voon euch mir das sagen könnte!und dann
> habe ich noch eine frage: können surjetive abbildungen
> invertierbar sein?

Klar, die Surjektivität ist sogar eine Voraussetzung für die Invertierbar.

Sei f: X -> Y eine Abbildung.

injektiv: zu jedem Element in Y gibt es höchstens ein Urbild von f in X.
surjektiv: zu jedem Element in Y gibt es mindestens ein Urbild von f in X.
bijektiv (invertierbar): zu jedem Element in Y gibt es genau ein Urbild von f in X.

Alles klar? Oder hast du noch Fragen?

Liebe Grüße
Stefan


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Körper: Oops
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Fr 07.11.2003
Autor: Marc

Hallo,

sorry für die vielen Banchrichtigungs-eMails, die durch das Verschieben des Threads versendet wurden...

Viele Grüße,
Marc


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