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| Aufgabe | | 1) Zeigen Sie, dass [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Körper ist, falls p eine Primzahl ist. |
Wir müssen nachweisen, dass für die teilmenge [mm] \IZ_{p} [/mm] die Gesetze für einen Körper gelten.
Eine Menge K, zusammen mit additiver und multiplikativer Verknüpfung, heißt Körper, wenn gilt:
I (K, +) ist eine Gruppe mit additiver Einheit=0
II (K*, x) ist eine Gruppe mit multiplikativer Einheit = 1
III Assoziativität und Distributivgesetz
I Wissen wir aus Vorlesung, also muss ich das nicht zegen.
II Wir wissen beriets aus der Übung das Assiziativität gilt, daher brauchen wir es nicht zu zeigen. Das Inversenelement muss noch geziegt werden, dazu benutzen wir den kleinen Fermatischen satz.
[mm] a^p \equiv [/mm] a (mod p) , für jede Primzahl p.
[mm] a^p \enquiv [/mm] a (p) | *a^-1
[mm] a^p-1 \enquiv [/mm] 1
a* [mm] a^p-2 \enquiv [/mm] 1
=> [mm] a^p-2 [/mm] ist das Inverse
=> es gibt multiplikative Einheit
Um endgültig sagen zu können, dass [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Körper ist, müssen wir das Distributivgesetz nachweisen.....
Und jetzt meine Frage...das distributivgesetz gilt doch in [mm] \IZ [/mm] und damit gilt doch auch das Gesetz in der Teilmenge [mm] \IZ_{p} [/mm] oder?
Muss ich das jetzt noch zeigen?
Und wie mache ich das......
weiß nicht was ich da für Buchstaben einsetzen soll....und überhaupt
Stimmta das denn überhaupt so weit?
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Hallo,
du weißt doch, dass [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Ring ist. Jetzt musst du doch nicht noch mal zeigen, dass alle Ringeigenschaften gelten. Du musst musst zeigen, dass [mm] (\IZ_{p},*) [/mm] eine kommutative Gruppe ist. Die Gruppeneigenschaften sind leicht nachzurechnen. Wenn du die hast, dann kann man z.B. mit dem Satz von Wedderburn (Jeder endliche Schiefkörper ist Körper.) den Rest folgern.
Du kannst aber ab=0(mod n) rechnen. Was folgt dann, wenn n Primzahl ist?
Viele Grüße
Daniel
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Hy.....aber woher weiß ich denn das das ein Ring ist....und was sind die Ringeigenschaften?
Ich steh grad auf dem Schlauch....wie soll ich nachweisen das (K*,*) komunikativ ist.....ich hab doch überhaupt keine Gruppentafel und keine Elemente...bzw. p Elemente....wie soll ich das machen...?
Und den Satz, von dem du gesprochen hast kenne ich nicht....
Wäre nett wenn du mir noch mal helfen könntest....
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Mo 16.01.2006 | | Autor: | statler |
Oh Mann, also Frau,...
> Hy.....aber woher weiß ich denn das das ein Ring ist....und
> was sind die Ringeigenschaften?
...wenn du zeigen sollst, daß [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Körper ist, muß man dir doch vorher schon mal erklärt haben, was überhaupt ein Ring ist.
Weißt du denn, was [mm] \IZ_{p} [/mm] ist? Das sind die Restklassen mod p, und mit denen kann man fast so rechnen, wie mit den Zahlen selbst. Man kann addieren, subtrahieren und multiplizieren. Der Fachausdruck lautet 'Restklassenring'.
> Ich steh grad auf dem Schlauch....wie soll ich nachweisen
> das (K*,*) komunikativ ist..
Kommunikativ ist man, wenn man miteinander quatscht oder sich jede Menge SMSen schreibt, das gehört mehr in die Psychologie. In der Mathematik geht es um Kommutativität, also Vertauschbarkeit.
> ...ich hab doch überhaupt keine
> Gruppentafel und keine Elemente...bzw. p Elemente....wie
> soll ich das machen...?
Naja, du mußt dir im wesentlichen nur überlegen, warum die Gleichung
[mm] \overline{a}*\overline{x} [/mm] = [mm] \overline{1} [/mm] für alle [mm] \overline{a} \not= \overline{0} [/mm] eine Lösung hat, wenn p eine Primzahl ist.
Kannst du beweisen, daß [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Integritätsring ist, also ohne Nullteiler? Wenn ja, kannst du dann auch zeigen, daß endliche Integritätsringe Körper sind?
> Und den Satz, von dem du gesprochen hast kenne ich
> nicht....
Ich vermute, daß du noch im 1. Semester bist, und dann ist das erstens auch keine Schande und zweitens braucht man ihn hier nicht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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