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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Kern und Bild
Kern und Bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kern und Bild: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Di 06.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

Folgende Aufgabe möchte ich lösen:

Sei [mm] F:\IR^n\to\IR^m [/mm] gegeben durch die folgende Matrix: [mm] \pmat{1&2&3\\4&5&6}. [/mm] Bestimmen Sie Basen von Ker F und Im F.

Also den Kern habe ich jetzt mal so berechnet:

[mm] x_1+2x_2+3x_3=0 [/mm]
[mm] 4x_1+5x_2+6x_3=0 [/mm]

... [mm] \gdw [/mm]
[mm] x_1=-2x_2-3x_3 [/mm]
[mm] x_2=-2x_3 [/mm]

also wäre der Kern dieser Abbildung:

Ker [mm] F=\vektor{1\\-2\\1}*\lambda, \lambda\in\IR, [/mm] oder nicht?

Aber was ist jetzt eine Basis davon? Wäre das z. B. [mm] \vektor{1\\-2\\1}? [/mm] Ist der Kern in diesem Fall eindimensional? Woran erkenne ich das?

Und wie komme ich auf das Bild bzw. eine Basis des Bildes?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

        
Bezug
Kern und Bild: war völlig falsch, editiert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Di 06.09.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Ja, es ist alles richtig.

Nur zur Korrektur:

Es gilt mit der Dimensionsformel:

$3 = [mm] \dim(\IR^3) [/mm] = [mm] \dim(Kern(F)) [/mm] + [mm] \dim(Bild(F))$. [/mm]

Aber du hast ja den Kern direkt ausgerechnet und dabei gesehen hast, dass dieser von einem Vektor aufgespannt wird.

Sorry, ich hatte das vorhin zu oberflächlich bearbeitet.

Liebe Grüße
Stefan
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Bezug
Kern und Bild: Basis des Bildes?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Di 06.09.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
Danke für die schnelle Antwort. :-)

Okay, jetzt weiß ich, dass die Dimension des Bildes ebenfalls =1 ist, aber wie komme ich auf eine Basis des Bildes?

Viele Grüße
Christiane
[banane]
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Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Di 06.09.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Beachte bitte, dass ich bei der Dimensionsformel vorhin geschlampt habe. ;-)

So, und jetzt zum Bild. Die Bilder der (Einheits-)Basisvektoren bilden ein Erzeugendensystem von $Bild(F)$. Schmeiße so lange Vektoren raus, die sich als Linearkombination der übrigen schreiben lassen, bis du ein linear unabhängiges System erhältst.

Die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix.

Aus der (jetzt richtigen ;-)) Dimensionsformel sehen wir schon, dass zwei übrig bleiben müssen...

Liebe Grüße
Stefan
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Kern und Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Di 06.09.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!

> Beachte bitte, dass ich bei der Dimensionsformel vorhin
> geschlampt habe. ;-)

Dann hatte ich doch richtig vermutet, dass ganz links 3 und nicht 2 stehen musste. ;-)

> So, und jetzt zum Bild. Die Bilder der
> (Einheits-)Basisvektoren bilden ein Erzeugendensystem von
> [mm]Bild(F)[/mm]. Schmeiße so lange Vektoren raus, die sich als
> Linearkombination der übrigen schreiben lassen, bis du ein
> linear unabhängiges System erhältst.

Also hätte ich jetzt z. B. als Basis: [mm] \{\vektor{1\\4},\vektor{2\\5}\}!? [/mm]

> Die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren stehen in den
> Spalten der Abbildungsmatrix.

Das verwirrt mich jetzt etwas. Wie war das noch gleich mit der Abbildungsmatrix? Hab mich schon länger nicht mehr damit beschäftigt... Aber die Bilder der Basisvektoren sind ja [mm] \vektor{1\\4}, \vektor{2\\5}, \vektor{3\\6}. [/mm] Wäre dann die angegebene Matrix schon die Abbildungsmatrix? Oder was ist noch mit "Koordinaten der Bilder" gemeint?
Sollte mir dieser Hinweis noch bei der Aufgabe helfen, also eine Basis des Bildes zu finden oder war das nur ein "Zusatz"?
  
Viele Grüße
Christiane
[cap]

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Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:10 Di 06.09.2005
Autor: Cherub

Hallo,

ich denke, die Basis des Bildes sind dann so aus:

[mm]{\vektor{1\\4},\vektor{3\\6}}[/mm]

Man sieht sehr schnell, dass [mm]\vektor{2\\5}[/mm] von den beiden Vektoren des Bildes linear abhängig ist.

Hoffentlich bringt Dich das etwas weiter.
Bezug
                                                
Bezug
Kern und Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:48 Di 06.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
Danke für deine Antwort, aber wie kommst du auf diese Basis?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]
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Bezug
Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:08 Mi 07.09.2005
Autor: Britta82

Hallo Bastiane,

das sind einfach deine 2 Bildvektoren, der 3te war ja dann linear abhängig. Also siehst du daß dein Bild die Dimension 2 hat.

Liebe Grüße

Britta
Bezug
                                                                
Bezug
Kern und Bild: Danke.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:14 Mi 07.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

Sorry, ich hatte nicht mehr auf meinen Notizzettel geguckt. Ich habe doch dann drei Möglichkeiten, eine Basis anzugeben, eine davon hatte ich angegeben, eine davon hat Cherub angegeben. Nur stand da: die Basis, und das hatte mich verwirrt.

Danke für die Antwort.
Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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