Integration von e-funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{1}{e^{1-x}(x+1)+(-x-1) dx} [/mm] |
ich habe sowieso meine probleme mit der integration von e-funktionen, vor allem, wenn sowas noch mit u und v ist. ich wäre dankbar für einen anschaulichen lösungsweg und die ein oder andere allgemeine integrationsregel bei e-funktionen. danke im vorraus
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Hallo toteitote,
> [mm]\integral_{-1}^{1}{e^{1-x}(x+1)+(-x-1) dx}[/mm]
> ich habe
> sowieso meine probleme mit der integration von
> e-funktionen, vor allem, wenn sowas noch mit u und v ist.
> ich wäre dankbar für einen anschaulichen lösungsweg und die
> ein oder andere allgemeine integrationsregel bei
> e-funktionen. danke im vorraus
Nach der Methode der partiellen Integration ist
[mm]\integral_{}^{}{p\left(x\right)*e^{ax+b} dx}=\bruch{1}{a}*p\left(x\right)*e^{ax+b}-\bruch{1}{a}*\integral_{}^{}{p'\left(x\right)*e^{ax+b} dx} [/mm]
mit [mm]u'=e^{ax+b}, \ v=p\left(x\right)[/mm] und [mm]p\eft(x\right)[/mm] ein Polynom vom Grad n.
Gruß
MathePower
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hallo, ich kann nicht nachvollziehen, warum in der 2. gleichung ein [mm] \integral
[/mm]
-zeichen steht, wir haben das in der schule mit [] solchen klammern geregelt.. ,so wäre der hintere teil integriert [mm] [-1/2x^2-x+C] [/mm] . kannst du mir das nochmal senden in dieser schreibweise, ich werde daraus irgendwie nicht schlau..
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Hallo toteitote,
> hallo, ich kann nicht nachvollziehen, warum in der 2.
> gleichung ein [mm]\integral[/mm]
> -zeichen steht, wir haben das in der schule mit [] solchen
> klammern geregelt.. ,so wäre der hintere teil integriert
> [mm][-1/2x^2-x+C][/mm] . kannst du mir das nochmal senden in dieser
> schreibweise, ich werde daraus irgendwie nicht schlau..
Das ist ein unbestimmtes Integral. Mit diesem bestimmt man eine Stammfunktion.
Das ist in der Schule bestimmt so geregelt worden:
[mm] \integral_{-1}^{1}{p\left(x\right)\cdot{}e^{ax+b} \ dx}=\left[\bruch{1}{a}\cdot{}p\left(x\right)\cdot{}e^{ax+b}\right]_{-1}^{1}-\bruch{1}{a}\cdot{}\integral_{-1}^{1}{p'\left(x\right)\cdot{}e^{ax+b} \ dx}[/mm]
Gruß
MathePower
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also ich geh das einfach mal an meiner aufgabe durch.. kannst du mich dann bitte einfach berichtigen?
[mm] \integral_{-1}^{1}{(x+1)e^{-x+1} \ dx}=[-1\cdot(x+1)\cdot e^{-x+1}]_{-1}^{1}+1\cdot\integral_{-1}^{1}{1\cdot{}e^{-x+1} \ dx}=(-2-0)+1\cdot\integral_{-1}^{1}{e^{-x+1} \ dx}
[/mm]
wie gehts an dieser stelle weiter? nochmal integrieren? mfg
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Hallo,
ja, noch das letzte Integral ausrechnen.
LG, Martinius
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aber das wär doch doppelt integriert. das integal ist doch schon das ergebnis der vorrausgegangenen integration..warum sollte man dort 2 x integrieren dürfen? gibt es nicht einen anderen/besseren weg, die aufgabe zu lösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Fr 28.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die partielle Integration ist der Name dafür, dass man die Produktregel der Differentialrechnung umkehrt! u(x) und v(x) sind Funktionen, ich schreib nur u und v:
(u*v)'=u'v*uv'
daraus:
u'v=(uv)'-uv'
jetzt beide Seiten integrieren:
[mm] \integral{u'v dx}=\integral{(u*v)' dx} [/mm] - [mm] \integral{uv' dx}
[/mm]
das erste Integral rechts kann man direkt hinschreiben :
[mm] \integral{(u*v)' dx}=u*v [/mm] das zweite muss man noch ausführen.
also hat man
[mm] \integral{u'v dx}=(u*v)] [/mm] - [mm] \integral{uv' dx}
[/mm]
man verwendet die Methode, wie du eben, wenn man das linke Intgral nicht direkt lösen kann, aber das ganz rechts einfacher ist.
Zum Beispiel
[mm] :\integral{x*e^x dx} [/mm] hier nenn ich v=x; [mm] u'=e^x [/mm] dann ist [mm] u=e^x [/mm] und v'=1
damit [mm] \integral{x*e^x dx}=x*e^x] [/mm] - [mm] \integral{1*e^x dx} [/mm]
natürlich muss man jetzt das hintere Integral noch integrieren. wie bei dir.
Wenn am Integral Grenzen stehen, dann natürlich überall, ich hab dafür nur eine eckige Klammer gesetzt.
Gruss leduart
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hallo nochmal, ist zwar schon eine super erklärung und soweit verstehe ich das auch alles, aber an einer sache hänge ich mich irgendwie noch auf..
[mm] \integral{u'v dx}=[(u\cdot{}v)] [/mm] - [mm] \integral{uv' dx} [/mm] der hinterste teil der gleichung besteht bei mir wieder aus 2 faktoren, die doch dann wieder partiell integriert werden müssen. das kann doch unmöglich der weg sein, sonst ergibt sich ja eine endlosschleife...
bei mir ergibt sich [mm] \integral_{-1}^{1}e^{1-x}(x+1)dx=(1,5-0,5e^2) [/mm] - [mm] \integral_{-1}^{1}(1/2x^2+x)(-e^{1-x})dx [/mm] mit u'=x+1 ; [mm] u=1/2x^2+x [/mm] ; v=e^(1-x) und v'=-e^(1-x)
es kann ja sein, dass ich ein lösbares ergebnis erhalte, wenn ich u und v vertausche, aber worauf muss ich dann bei der wahl von u und v achten? aber vielleicht liegt der fehler ja auch woanders!!?
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Bei der Partiellen Integration eines Produkts aus e-Funktion und Polynom sollte die e-Funktion stets die Rolle der zu integrierenden Funktion einnehmen, also stets (Ich vereinfache das jetzt mal mit [mm] e^{x} [/mm] und [mm] x^{2}):
[/mm]
[mm] \integral{\underbrace{e^{x}}_{u'}*\underbrace{x^2}_{v} dx} [/mm] = [mm] \underbrace{e^{x}}_{u}*\underbrace{x^{2}}_{v} [/mm] - [mm] \integral{\underbrace{e^{x}}_{u}*\underbrace{2x}_{v'} dx}.
[/mm]
Man erkennt, dass man mit einer weiteren partiellen Integration im zweiten rechten Integral zum Ziel kommt:
[mm] \integral{e^{x}*x^{2} dx}
[/mm]
= [mm] e^{x}*x^{2} [/mm] - [mm] \integral{\underbrace{e^{x}}_{u'}*\underbrace{2x}_{v} dx}
[/mm]
= [mm] e^{x}*x^{2}-\left(\underbrace{e^{x}}_{u}*\underbrace{2x}_{v} - \integral{\underbrace{e^{x}}_{u}*\underbrace{2}_{v'} dx}\right)
[/mm]
Und nun ist es ganz leicht. Es ist also:
[mm] \integral{e^{x}*x^{2} dx}
[/mm]
= [mm] e^{x}*x^{2} [/mm] - [mm] \integral{e^{x}*2x dx}
[/mm]
= [mm] e^{x}*x^{2}-\left(e^{x}*2x - \integral{e^{x}*2 dx}\right)
[/mm]
= [mm] e^{x}*x^{2}-\left(e^{x}*2x - 2*e^{x}\right)
[/mm]
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