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Integrationsregel

Schule


Grundformeln der Integration

Integral einer Summe

$ \int {f(x) + g(x)} dx = \int {f(x)dx}+ \int{g(x) dx} $

Integral mit konstantem Faktor

$ \int {k\cdot{} f(x) } dx = k\cdot{} \int {f(x)dx} $

Integral der Potenzfunktion $ y = f(x) = x^n $

$ \int x^n dx = \bruch {x^{n+1}}{n+1} + C $ mit $ n \in \IR \backslash \{-1\} $

Integration durch Umkehrung der logarithmischen Differentiation

$ f(x) = \ln g(x)\quad \Rightarrow\quad f'(x) = \bruch {1}{g(x)} \cdot{} g'(x) = \bruch{g'(x)}{g(x)} $

Kehrt man die Differentiation um, so erhält man:

$ \int \bruch{g'(x)}{g(x)} dx = \ln |g(x)| + C $

Als Spezialfall für g(x)=x ergibt sich das Integral der Funktion $ y=f(x) = \bruch{1}{x} $ zu

$ \int \bruch{1}{x} dx = \ln |x| + C $

Integral einer Ableitungsfunktion


$ \int f'(x) dx = f(x) + C $

Integrale mit bekannten Funktionen


$ \int \sin x dx = - \cos x + C $

$ \int \cos x dx = \sin x + C $

$ \int e^x dx = e^x + C $


Definition partielle Integration

Die partielle Integration beruht auf der teilweisen Umkehrung der Produktregel der Differentiation. Deshalb wird die partielle Integration bevorzugt dort verwendet, wo Funktionen multiplikativ verknüpft sind.

Es gilt für f(x) = u(x) * v(x):


$ f'(x) = u'(x) \cdot{} v(x) + u(x) \cdot{} v'(x) $

$ \Rightarrow \int f'(x) dx = \int [ u(x) \cdot{} v(x) ]' dx = u(x) \cdot{} v(x) = \int u'(x) \cdot{} v(x) dx + \int u(x) \cdot{} v'(x) dx $

ein wenig umsortiert ergibt sich:

$ \int u(x) \cdot{} v'(x) dx = u(x) \cdot{} v(x) - \int u'(x) \cdot{} v(x) dx $

Beispiel


$ \int x \cdot{} \sin x dx $

 setze: $ u = x\ \Rightarrow u' = 1\quad \mathsf{und}\quad v' = \sin x\ \Rightarrow v = - \cos x $


$ \int x \cdot{} \sin x dx = (-x \cdot{} \cos x)-\int {-\cos x} dx = -x \cdot{} \cos {x} + \sin {x} + C $

Integration durch Substitution


$ \int f(x) dx = \int f'(g(t)) \cdot{} g'(t) dt\quad \mathsf{und}\quad x = g(t) $

Beispiel


$ \int \bruch{e^{\sqrt x}}{\sqrt x}dx $

Substitution: $ t = \sqrt x \Rightarrow x = t^2 $ und dx = 2t dt

$ \int \bruch{e^{\sqrt x}}{\sqrt x} dx = \int \bruch{e^t}{t}\cdot{} 2t dx = \int {2 e^t dt} = 2e^t + C = 2 e^{\sqrt x} + C $


siehe auch Stammfunktion


Integration durch Partialbruchzerlegung



Universität


Erstellt: Sa 18.12.2004 von informix
Letzte Änderung: So 31.01.2010 um 12:33 von Loddar
Weitere Autoren: Herby, Marcel
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