Integral: Fläche halbieren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Fschmidt |
| Aufgabe | | Bestimme diejenige Ursprungsgerade, welche die Fläche zwischen der Parabel K: y=4x-x² und der x-Achse halbiert. |
Hallo,
ich habe Probleme mit der Formelaufstellung der gesuchten Geraden.
Bisher habe ich:
Fläche unter der Parabel:
A= [mm] \integral_{0}^{4}{(4x-x²) dx}=[2x²- \bruch{1}{3}x³]= \bruch{32}{3}
[/mm]
Halbe Fläche davon wäre: [mm] \bruch{16}{3}
[/mm]
Jetzt heißt meine Grundform der gesuchten Parabel: y=mx
m kann ich über m= [mm] \bruch{ \Delta y}{ \Delta x} [/mm] bestimmen, aber wie weiter?
Ich bin um jeden Hinweis dankbar.
Viele Grüße,
Florian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Bestimme diejenige Ursprungsgerade, welche die Fläche
> zwischen der Parabel K: y=4x-x² und der x-Achse halbiert.
> Hallo,
> ich habe Probleme mit der Formelaufstellung der gesuchten
> Geraden.
> Bisher habe ich:
>
> Fläche unter der Parabel:
> A= [mm]\integral_{0}^{4}{(4x-x²) dx}=[2x²- \bruch{1}{3}x³]= \bruch{32}{3}[/mm]
>
> Halbe Fläche davon wäre: [mm]\bruch{16}{3}[/mm]
>
> Jetzt heißt meine Grundform der gesuchten Parabel: y=mx
>
> m kann ich über m= [mm]\bruch{ \Delta y}{ \Delta x}[/mm] bestimmen,
> aber wie weiter?
>
> Ich bin um jeden Hinweis dankbar.
> Viele Grüße,
> Florian
Hallo Florian,
ich würde dir empfehlen, den Schnittpunkt der Geraden mit der Parabel zu berechnen.
Diese Stelle, die natürlich von $m$ abhängig ist, setzt auch die obere Grenze des
Integrals zwischen Parabel und Gerade fest und die Fläche dieses Integrals kennst du.
Gruß
Nicolas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Fschmidt |
Vielen Dank.
Leider bin ich glaub immer noch nicht ganz bei der Lösung.
Das habe ich nun gemacht, aber weiß nicht ob es gut ist:
Gerade und Parabel gleichgesetzt und nach x aufgelöst:
mx = 4x-x²
x = 4-m
Jetzt habe ich das für x in mein Intergral eingesetzt und habe die Formel:
2x(4-m)²- [mm] \bruch{1}{3}(4-m)³= \bruch{16}{3}
[/mm]
Da bekomme ich für m=2 ein gültige Lösung.
Bedeutet bei x=2 müsste mein Schnittpunkt zwischen Gerade und Parabel sein.
Dann wäre mein neues Integral:
[mm] A=\integral_{0}^{2}{(4x-x²-2x) dx} [/mm] = [2x²- [mm] \bruch{1}{3}x³-x²] [/mm] = [mm] \bruch{16}{3}
[/mm]
Hier x=2 eingesetzt ergibt aber nicht die richtige Lösung.
Was habe ich falsch gemacht?
Vielen Dank.
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Hallo!
Habe nicht mehr allzu viel Zeit, hoffe, ich kann dir trotzdem helfen:
> Gerade und Parabel gleichgesetzt und nach x aufgelöst:
>
> mx = 4x-x²
> x = 4-m
Hier hast du durch x geteilt, das darf man nur machen, wenn [mm] x\not=0 [/mm] ist, deswegen musst du schon mal festhalten, dass x=0 eine Lösung, also ein Schnittpunkt, ist. Der zweite ist x=m-4. Damit hast du doch schon die beiden Schnittpunkte, was willst du dann noch einsetzen? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Oder mache ich gerade etwas falsch?
Und dann musst du über diese Grenzen integrieren.
Hier wurde übrigens vor kurzem ebenfalls eine Aufgabe zur "Flächenhalbierung" gestellt. Vielleicht hilft sie ja.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Fschmidt |
Hm, jetzt bin ich mir leider immer noch nicht sicher was machen.
Was habe ich bei der Formel mx=4x-x² falsch gemacht? Kommt als Lösung x=m-4 oder x=4-m raus?
Vielen Dank.
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Hallo Fschmidt!
[mm] $4x-x^2 [/mm] \ = \ m*x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $0 \ = \ [mm] x^2+m*x-4*x [/mm] \ = \ x*(x+m-4) \ = \ x*[x-(4-m)]$
Damit ergeben sich nun die beiden Schnittstellen:
[mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 4-m$
Diese beiden Werte sind nun Deine Integrationsgrenzen:
$A \ = \ [mm] \integral_{0}^{4-m}{4x-x^2-m*x \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{16}{3}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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