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Hallo an Alle,
ich habe mal eine Frage zu den inneren Automorphismen. Ich soll folg. zeigen: Sei (G,*) Gruppe und Z das Zentrum, A die Automorphismengruppe von G und B die Gruppe der inneren Automorphismen.
Jetzt soll ich zeigen
[mm] G/Z\cong [/mm] B (Also die Faktorgruppe G nach Z isomorph zu B ist). Als Tipp habe ich bekommen, dass man den Homomorphiesatz verwenden soll. Dazu muss ich doch einen geeigneten Homomorphismus finden. Hat jemand eine Idee, wie der Aussehen könnte?
Bitte um Hilfe.
mathmetzsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Daniel!
Betrachte mal
[mm] $\Phi: \begin{array}{ccc} G & \to & Aut(G) \\[5pt] x & \mapsto & \varphi_x \end{array}$
[/mm]
mit
[mm] $\varphi_x(y)=xyx^{-1}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $Bild(\Phi)=B$.
[/mm]
Wegen
[mm] $\varphi_{xy}(z) [/mm] = [mm] xyz(xy)^{-1} [/mm] = [mm] xyzy^{-1}x^{-1} [/mm] = [mm] (\varphi_x \circ \varphi_y)(z)$
[/mm]
ist
[mm] $\varphi_{xy} [/mm] = [mm] \varphi_x \circ \varphi_y$,
[/mm]
also:
[mm] $\Phi(xy) [/mm] = [mm] \Phi(x) \circ \Phi(y)$,
[/mm]
also [mm] $\Phi$ [/mm] einen Gruppenhomomorphismus.
Zu bestimmen bleibt [mm] $Kern(\Phi)$:
[/mm]
[mm] $Kern(\Phi) [/mm] = [mm] \{x \in G\, : \, \varphi_x=id\} [/mm] = [mm] \{x \in G\, : \, xyx^{-1} = y \ \mbox{für alle} \ y \in G\} [/mm] = [mm] \{x \in G\, : \, xy=yx \ \mbox{für alle} \ y \in G\} [/mm] = Z(G)$.
Nun folgt aus dem Homomorphiesatz die Behauptung. 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
vielen Dank. Das leuchtet mir ein!
VG daniel
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