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| Aufgabe | | Es seien X und Y Mengen. Dann gibt es eine injektive Abbildung von X nach Y oder von Y nach X |
Hallo :) Ich hoffe, mir kann jemand den beweis erklären..meine konkreten fragen hab ich dazu geschrieben.
Beweis:
Es sei A die Menge aller Injektionen von einer Teilmenge von X in eine Teilmenge von Y
(wieso ist dies der Ansatz und warum betrachtet man Teilmengen??)
Wir führen auf A eine Halbordnung ein.
I /le J , falls Def(I) /subseteq Def(J) und J|Def(I) = I
(wie kommt man darauf??)
Wir wenden das Lemma von Zorn an. Jede Kette K in A hat eine obere Schranke
[mm] I_{0}: \bigcup [/mm] Def(I) [mm] \to [/mm] Y
Deshalb gibt es ein maximales Element [mm] I_{max}. [/mm] Der Definitionsbereich [mm] Def(I_{max}) [/mm] ist gleich X oder der Bildbereich gleich Y.
(nehmen wir an, dass das stimmt..wieso reicht das für den Beweis aus??)
Danke sehr  LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo MatheJunge,
>
> Deshalb gibt es ein maximales Element [mm]I_{max}.[/mm] Der
> Definitionsbereich [mm]Def(I_{max})[/mm] ist gleich X oder der
> Bildbereich gleich Y.
> (nehmen wir an, dass das stimmt..wieso reicht das für den
> Beweis aus??)
Sei $D$ der Definitionsbereich von [mm] $I_{\max}$.
[/mm]
Ist $D=X$, so haben wir mit [mm] $I_\max$ [/mm] eine Injektion von $X$ nach $Y$ gefunden.
Andernfalls gibt es [mm] $x\in X\setminus [/mm] D$.
Angenommen, es gäbe ein [mm] $y\in Y\setminus {I_\max }(D)$. [/mm] Dann könnte man eine Injektion [mm] $J\colon D\cup \{x\} \to [/mm] Y$ durch [mm] $J_{| D}= I_\max$ [/mm] und $J(x)=y$ definieren. Dieses $J$ wäre echt größer als [mm] $I_\max$ [/mm] bzgl. der auf $A$ definierten Halbordnung $--$ im Widerspruch zur Maximalität von [mm] $I_\max$. [/mm] Also ist [mm] ${I_\max} [/mm] (D)=Y$ und mit der Inversen von [mm] $I_\max$ [/mm] habe wir eine Injektion von $Y$ nach $X$ gefunden.
Gruß Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien X und Y Mengen. Dann gibt es eine injektive
> Abbildung von X nach Y oder von Y nach X
> Hallo :) Ich hoffe, mir kann jemand den beweis
> erklären..meine konkreten fragen hab ich dazu
> geschrieben.
>
> Beweis:
>
> Es sei A die Menge aller Injektionen von einer Teilmenge
> von X in eine Teilmenge von Y
> (wieso ist dies der Ansatz und warum betrachtet man
> Teilmengen??)
sehe es als Experiment: Man macht es, weil man es machen kann, und
hat die Hoffnung, dass es etwas bringt. Wenn man bei jedem Beweis
direkt wüßte, was zum Ziel führt, wären Beweise doch meist sehr einfach!
(Und wenn man bei jedem Experiment alle Einflüsse ausblenden könnte,
wären Experimente bzw. deren Ergebnisse sicher sehr langweilig.)
Und die Idee dieser Definition fällt natürlich nicht ganz vom Himmel,
sondern ihr werdet Euch sicher vorher mit entsprechenden Begriffen
befasst haben.
Das einzige, was man vielleicht sagen sollte: Wenn eine der Mengen
leer ist, ist die "leere Abbildung" natürlich injektiv. Also kann man o.E.
annehmen, dass beide Mengen nicht leer sind. Und dass
[mm] $$A=\{i: P \to Q: P\subseteq X \text{ und }Q \subseteq Y\,, i \text{ ist injektiv}\}$$
[/mm]
auch nicht leer ist, folgt dann, indem man einfach eine einelementige Teilmenge
von [mm] $P\,$ [/mm] in eine einelementige Teilmenge von [mm] $Q\,$ [/mm] abbildet.
P.S.
Wenn ihr mal den Mittelwertsatz beweisen werdet, wird auch eine Funktion
dafür "vom Himmel fallen". Natürlich fällt diese nicht ganz vom Himmel,
sondern man war auf der Suche nach einer passenden Funktion, auf die
man den Zwischenwertsatz anwenden konnte - und hat sie gefunden. Ob
auf konstruktivem Weg oder wie auch immer, interessiert doch dabei dann
nicht mehr, wenn man nachgewiesen hat, dass diese alles an
Voraussetzungen erfüllt, was sie erfüllen sollte und wenn man mit ihrer
Hilfe zum Ziel gekommen ist.
Gruß,
Marcel
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