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| Aufgabe | Der Inhalt der Fläche A unter dem Graphen der Funktion f über dem Intervall [a;b] mit [mm] 0 \le a < b [/mm] beträgt für k > 0:
- bei $f(x)= k*x$ :$ [mm] A=\bruch{k}{2} [/mm] * [mm] (b^2-a^2)$
[/mm]
- bei $f(x)= [mm] k*x^2$: [/mm] $A= [mm] \bruch{k}{3} [/mm] * [mm] (b^3-a^3)$
[/mm]
- bei $f(x)= [mm] k*x^3$: $A=\bruch{k}{4} [/mm] * [mm] (b^4-a^4)$ [/mm] |
Ich soll jetzt beantworten, WARUM das so ist.
Eine Skizze habe ich bereits gezeichnet und dachte, ich konnte die Fläche unter dem Graphen vielleicht zerlegen, in ein Trapez oder Dreieck oder so, aber das klappt nicht.
Ein Tipp, wie ich da herangehen kann, würde mir schon genügen (aber wenn ihr alles lösen wollt... ;) )
Vielen Dank schon mal im Voraus!
p.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Swantje,
schauen wir uns das mal an deiner ersten Funktion an. [mm]f(x)=k*x[/mm]. Der Flächeninhalt ist nichts weiter als das Integral in den Grenzen a und b. Integrieren wir also zunächst mal deine Funktion. Beachte, dass Konstanten vor das Integral gezogen werden können!
[mm] f(x)=k*x\Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{k*x dx}
[/mm]
[mm] =k*\integral_{a}^{b}{x dx}
[/mm]
[mm] =k*0,5*x^{2}|_{a}^{b}
[/mm]
[mm] =\bruch{k}{2}(b^{2}-a^{2})
[/mm]
Dabei werden vorwiegend der Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung und die Potenzregel ausgenutzt.
Viele Grüße
Daniel
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Hallo Daniel,
erstmal vielen Dank für deine Antwort, allerdings habe ich noch eine Frage:
Geht es nur mithilfe dieser Integralrechenregeln? Denn die haben wir noch gar nicht behandelt!
MFG
Swantje
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Fr 25.08.2006 | | Autor: | Disap |
Servus.
> Geht es nur mithilfe dieser Integralrechenregeln? Denn die
> haben wir noch gar nicht behandelt!
Es wäre ganz nützlich zu wissen, ihr bereits behandelt habt. Der Begriff Stammfunktion ist also noch nie gefallen?
Wie habt ihr sonst den Flächeninhalt von Funktionen berechnet? Ober- und Untergrenze (Trapeze, Vierecke) usw.?
Gruß
Disap
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Sa 26.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
die beiden anderen Autoren sind schon am Ziel und du stehst erst am Start. Du kennst bestimmt die Flächenformel für ein Rechteck mit Seitenlängen a bzw. b (F=ab).
Jetzt hast du eine Funktion mit Graphen, lasse zur Vereinfachung zunächst einmal das k weg und betrachte nur f(x) = [mm] x^2 [/mm] .
Zeichne diese auf ein Blatt und das Intervall für x [mm] \in [/mm] [1,3] mit senkrechten Begrenzungen in dasselbe Schaubild.
Jetzt willst du den Flächeninhalt unter dem Graphen von f im Intervall [1,3] bestimmen.
RICHTIG: Dein Ansatz mit der Ausschöpfung war sehr gut!!
Zerlege das Interval auf der x-Achse in gleiche Teile z.B. 0,2.
Zeichne Rechtecke auf zwei Arten für jedes Teilintervall deiner gewählten Zerlegung ein, nach folgendem Schemata:
1) Seitenlänge [mm] a_l [/mm] ist genau der Funktionswert von x am linken Ende (Untersumme)
2) Seitenlänge [mm] a_r [/mm] ist genau der Funktionswert von x am rechten Ende (Obersumme)
!!!Die andere Seitenlänge der Rechtecke ergibt sich aus deiner gewählten Zerlegungsweite des Intervalls!!!!
Mein Beispiel mit 0,2 und f(x)= [mm] x^2 [/mm] :
Die Länge von [1,3] ist 2 und bei 0,2 Seitenlänge bekommst du 2:0.2 = 10 Rechtecke (diese Anzahl wird oft mit n bezeichnet)
!!!Diese Anzahl ist für 1 und 2 wieder gleich, da immer dieselbe Seitenlänge auf der x-Achse vorliegt!!!
1) Die Fläche ist etwas mehr als die Summe der Rechteckflächen deiner Zerlegung. Die Fläche deines einzelnen Rechteckes ist ja [mm] a_l [/mm] * 0,2 jetzt nur noch die Summe von allen 10 bilden
2) Die Fläche ist etwas weniger als die Summe der Rechteckflächen deiner Zerlegung. Die Fläche deines einzelnen Rechteckes ist ja [mm] a_l [/mm] * 0,2 jetzt nur noch die Summe von allen 10 bilden
somit liegt der gesuchte Flächeninhalt wohl im Mittel, d.h. (Obersumme + Untersumme) :2
Jetzt schaue mal wie du die Güte der abschätzung verbessern kannst, natürlich in dem die Zerlegung immer feiner gewählt wird!
Zusätzlich betrachte eine Rechteckseite auf Höhe des Funktionsgraphen, dort verläuft der Graph in einem "Quadrat" und ist fast die Diagonale (etwas vereinfacht), so jetzt ist dieses aber durch die Sekante zwischen [mm] a_l [/mm] und [mm] a_r [/mm] gut zu approximieren. Bei feinerer Zerlegung wandern [mm] a_l [/mm] und [mm] a_r [/mm] aufeinander zu und die Grenzlage der Sekante ist die Steigung!!!!
Jetzt kennst du wie man die Steigung in einem Punkt von f berechnen kann über die erste Ableitung!
Dieser Grenzübergang für die Zerlegungsweite, somit der einen Seitenlänge gegen Null, führt auf das Integral.
Betrachte in deiner Aufgabenstellung die Lösung, wieder zunächst ohne k, im ersten Fall wäre es F(x)= 0,5 [mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} x^2
[/mm]
Bilde einmal F'(x) = x = f(x)
Jetzt nehme mal das k als KONSTANTE hinzu und du bekommst heraus, dass F'(x) = f(x) ist!!!
Zum Schluss muß du noch die Intervallgrenzen a und b einbinden. Kurz gesagt, F(b)-F(a) ist deine Fläche
Im Schulbuch findest du bestimmt diese Darstellung:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = F(b)-F(a)
Diese Bestimmung der Fläche über Ober-/Untersummen wird in vielen Büchern auch mit Riemannintegral bezeichnet.
Hoffe du konntest die Ausführungen auf dem Blatt nachvollziehen und kommst dann bei den anderen analog auf die Darstellung.
Gruß
Ron
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