Infimum und Supremum in Menge < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der Teilerrelation
[IN , \ ] ist eine halbgeordnete Menge.
Beweisen Sie die folgende Eigenschaft: Für je zwei natürliche Zahlen m und n existieren sowohl das Infimum , wie auch das Supremum, die wir mit inf \ {m, n} bzw. sup \ {m, n} bezeichnen.
(Damit ist die Struktur [IN , \ ] sogar ein Verband.)
Hinweis: Klären Sie zuerst, was untere bzw. obere Schranken in dieser Struktur sind. |
Zunächst soll man prüfen, was untere und was obere Schranke in dieser Struktur bedeutet.
Ich weiß, was eine obere und untere Schranke ist, weiß das aber nicht so recht auf diesen Fall anzuwenden.
Wer kann mir helfen?
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 So 27.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo sethonator,
> Die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der
> Teilerrelation
> [IN , \ ] ist eine halbgeordnete Menge.
> Beweisen Sie die folgende Eigenschaft: Für je zwei
> natürliche Zahlen m und n existieren sowohl das Infimum ,
> wie auch das Supremum, die wir mit inf \ {m, n} bzw. sup \
> {m, n} bezeichnen.
> (Damit ist die Struktur [IN , \ ] sogar ein Verband.)
> Hinweis: Klären Sie zuerst, was untere bzw. obere
> Schranken in dieser Struktur sind.
> Zunächst soll man prüfen, was untere und was obere
> Schranke in dieser Struktur bedeutet.
>
> Ich weiß, was eine obere und untere Schranke ist, weiß
> das aber nicht so recht auf diesen Fall anzuwenden.
Die unteren Schranken von [mm] $\{m, n\}$ [/mm] sind genau die gemeinsamen Teiler von $n$ und $m$ und die oberen Schranken genau deren gemeinsame Vielfache.
Gruß,
Wolfgang
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Hey Wolfgang,
vielen Dank!
Das würde dann doch auch heißen, dass meine größte untere Schranke, also mein Infimum der größte gemeinsame Teiler ist und dass meine kleinste obere Schranke, also mein Supremum, das kleinste gemeinsame Vielfache ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 So 27.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hey Wolfgang,
> vielen Dank!
>
> Das würde dann doch auch heißen, dass meine größte
> untere Schranke, also mein Infimum der größte gemeinsame
> Teiler ist und dass meine kleinste obere Schranke, also
> mein Supremum, das kleinste gemeinsame Vielfache ist?
Genau!
Gruß,
Wolfgang
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Okay, dann habe ich das logisch verstanden, aber wie bekomme ich das formal erklärt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 So 27.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Okay, dann habe ich das logisch verstanden, aber wie
> bekomme ich das formal erklärt?
>
Du mußt zeigen, daß ggT(n, m) sowohl n als auch m teilt, und daß jedes echte Vielfache vom ggT mindestens eine der Zahlen n und m nicht teilt. Wahrscheinlich kannst Du die Existenz eines ggT oder kgV als offensichtlich aus der Arithmetik übernehmen. Aber das hängt sehr von der Vorlesung ab.
Gruß,
Wolfgang
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