Induktive Definition < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich muss mit folgenden Informationen eine rekursive Definition der folge [mm] (x_{n})_{n \ge 0} [/mm] bilden:
Startwert [mm] x_{0} [/mm] > 0
Vorschrift: [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_{n}}) [/mm] , a>0 fest, n [mm] \ge [/mm] 0
ich weiß nicht, wie ich mit den Werten umgehen soll - in den Büchern finde ich nur Beispiele für einen reell definierten Startwert.
hier weiß ich nicht einmal, wie ich den startwert in die funktionsvorschrift einsetzten soll bzw. was ich da rausbekommen soll [mm] (x_{-1} [/mm] gibts ja nicht - die folge [mm] (x_{n}) [/mm] ist ja nur für n [mm] \ge [/mm] 0 definiert).
bitte um tipps
lg
sonnenblumale
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Leopold!
Das dachte ich mir schon - trotzdem verstehe ich die Frage nicht und weiß auch nicht, ob die Antwort dem Fragesteller weiterhilft.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Es steht ja da: [mm]x_0 > 0[/mm]
Zum Beispiel:
[mm]x_0 = 1{,}234567891011121314 \ldots[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich schreibe am Besten einmal die gesamte Angabe Wort für Wort auf - hilft vielleicht:
F+r fest gewähltes a>0 und einen vorgegebenen Startwert [mm] x_{0} [/mm] definiere die Folge [mm] (x_{n})_{n \ge0} [/mm] induktiv durch
[mm] x_{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_{n}}), [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0.
Das ist der erste Teil der Aufgabe - weiters muss ich dann noch die Konvergenz zeigen und den Grenzwert berechnen. Vorerst muss ich aber einmal die Angabe für die induktive Definition verstehen.
greetz
sonnenblumale
|
|
|
| |
|
Warum verfolgst du nicht einfach den Link, den ich dir gegeben habe? Dort ist doch sogar ein Beispiel durchgerechnet. Oder noch besser: Rechne dir selber ein Beispiel durch, etwa
[mm]a = 2[/mm]
[mm]x_0 = 3[/mm]
Und jetzt berechne [mm]x_1, x_2, x_3, \ldots[/mm] gemäß der Rekursionvorschrift.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Ich schreibe am Besten einmal die gesamte Angabe Wort für
> Wort auf - hilft vielleicht:
>
> F+r fest gewähltes a>0 und einen vorgegebenen Startwert
> [mm]x_{0}[/mm] definiere die Folge [mm](x_{n})_{n \ge0}[/mm] induktiv durch
> [mm]x_{n-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(x_{n}[/mm] + [mm]\bruch{a}{x_{n}}),[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> 0.
>
> Das ist der erste Teil der Aufgabe - weiters muss ich dann
> noch die Konvergenz zeigen und den Grenzwert berechnen.
> Vorerst muss ich aber einmal die Angabe für die induktive
> Definition verstehen.
Bist du sicher, dass das schon eine Aufgabe ist? Für mich ist das nur eine andere Formulierung für: "Die Folge ... sei rekursiv definiert durch ...", womit das nur die Einleitung für eine Aufgabe wäre.
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
Hallo!
erstmal an Leopold:
natürlich habe ich deinen link verfolgt, aber ich kann nicht einfach willkürlich ein [mm] x_{0} [/mm] und ein a festlegen. sonst würde ich auch nicht so hartnäckig fragen (anleitung für die berechnung mit festen werten hatte ich vor der eröffnung dieses artikels auch schon).
an Bastiane
"Für fest gewähltes a>0 und einen vorgegebenen Startwert
[mm] x_{0} [/mm] > 0 definiere die Folge [mm] (x_{n})_{n \ge0} [/mm] induktiv durch ..."
... ich sehe "definiere" (Imperativ) als Aufforderung zur Bearbeitung, dh, ich soll da irgendetwas machen, nur was ist mir nicht klar.
greetz
sonnenblumale
|
|
|
| |
|
aber ich kann nicht einfach willkürlich ein [mm]x_0[/mm] und ein a festlegen
Doch! Das mußt du nach Aufgabenstellung!
[mm]a[/mm] ist fest vorgegeben, fungiert also als Parameter, aber [mm]x_0 > 0[/mm] ist frei wählbar. Das ist ja gerade der Witz des Heron-Verfahrens, daß es bei jedem positiven Startwert gegen [mm]\sqrt{a}[/mm] konvergiert: Jeder Startwert gebiert eine neue Folge, aber alle Folgen haben denselben Grenzwert.
|
|
|
| |
|
Danke!
greetz
sonnenblumale
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 12.11.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe und wollte gerne mal die Fragen zu der Aufgabe aufschreiben, weil ich da einfach nicht weiterkomme:
1)Berechnen Sie für [mm] x_{0} [/mm] =1 und a=5 die Folgenglieder x1, x2, x3
und x4. Vergleichen Sie das Ergebnis mit [mm] \wurzel{5}.
[/mm]
Diese Aufgabe ist klar, aber
2.Zeigen Sie, dass
die Folge [mm] x_{n} [/mm] für jedes [mm] x_{0} [/mm] >0 gegen [mm] \wurzel{a} [/mm] konvergiert.
Hinweise:
Zeigen Sie zunächst,dass xn [mm] $\ge$ \wurzel{a} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1.Zeigen Sie dann,dass
[mm] x_{n}_{n \ge 1 }eine [/mm] monoton fallende Folge ist.Bestimmen
Sie dann den (eindeutigen) Grenzwert aus einer
Stationaritätsbedingung.
|
|
|
| |
|
Hallo kuminitu,
Einen Tipp hätte ich für Dich.
Versuche die Definition so umzustellen das Du [mm] x_{n+1}^2+a^2\ge [/mm] 0 schlußfolgern kannst.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Heron-Verfahren