Hilfe bei Facharbeit < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 So 05.02.2006 | | Autor: | Kevka |
hallo erstmal,
also ich habe vor kurzem mein facharbeitsthema bekommen, was da lautet "Analytische Untersuchung der Arcus Funktionen".
ich habe mir zwar schon im internet was dazu angeguckt, wie z.B. auf wikipedia, aber das is mir zu schwierig oder unverständlich erklärt. deshalb bitte ich euch darum, falls jemand von euch ahnung von dem thema hat, mir bücher oder internetseiten zu empfehlen, indenen es gut und relativ verständlich erklärt ist. natürlich wäre ich auch für jeden weiteren tip oder rat z.B. was ich zu dem thema erläutern sollte, sehr sehr dankbar!
na gut ich hoffe jemand von euch kann mir ein wenig weiterhelfen.
ich bedanke mich schonmal im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Kevka,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hallo erstmal,
> also ich habe vor kurzem mein facharbeitsthema bekommen,
> was da lautet "Analytische Untersuchung der Arcus
> Funktionen".
> ich habe mir zwar schon im internet was dazu angeguckt,
> wie z.B. auf wikipedia, aber das is mir zu schwierig oder
> unverständlich erklärt.
Was hast du gegen die Ausführungen in ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia?
Dort findest du alles Wesentliche, wenn du noch den Begriff Umkehrfunktion in deine Überlegungen einbeziehst und die einzelnen Schritte zu den Formeln ausformulierst.
Das sollte für eine Facharbeit schon genügen, sonst lass dir von deinem Fachlehrer erläutern, was er zusätzlich haben möchte.
Aber:
verarbeite zunächst mal das, was du dort findest; und wenn du Einzelfragen hast, kannst du sie gerne hier stellen, aber bitte immer mit dem Hinweis auf die Facharbeit!
> deshalb bitte ich euch darum, falls
> jemand von euch ahnung von dem thema hat, mir bücher oder
> internetseiten zu empfehlen, indenen es gut und relativ
> verständlich erklärt ist. natürlich wäre ich auch für jeden
> weiteren tip oder rat z.B. was ich zu dem thema erläutern
> sollte, sehr sehr dankbar!
> na gut ich hoffe jemand von euch kann mir ein wenig
> weiterhelfen.
> ich bedanke mich schonmal im vorraus!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 So 12.02.2006 | | Autor: | Kevka |
Also ich bedanke mich erstmal für deine Antwort (das "danke" von mir kommt vllt ein bisschen spät...), aber ich habe schon die nächste Frage.
Also ich denke mir, dass in meine Facharbeit mit reingehört, wie sich die Arcusfunktionen durch die Taylor-Reihe darstellen lassen. Nur leider verstehe ich die Taylor-Reihe an sich nich und die herleitung auch nicht. Um etwas präziser zu werden, ich habe noch nicht ganz verstanden was dieses zeichen [mm] --->\summe_{i=1}^{n} [/mm] zu bedeuten hat, ebenfalls diese Fakulität mit dem "!". Wäre schön wenn mir jemand diese sachen erklären könnte....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Di 14.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kevka
> Also ich denke mir, dass in meine Facharbeit mit
> reingehört, wie sich die Arcusfunktionen durch die
> Taylor-Reihe darstellen lassen. Nur leider verstehe ich die
> Taylor-Reihe an sich nich und die herleitung auch nicht.
Frag dieinen Lehrer erst mal, ob er die Taylor reihe will! oft ist das ne extra facharbeit!
Um
> etwas präziser zu werden, ich habe noch nicht ganz
> verstanden was dieses zeichen [mm]--->\summe_{i=1}^{n}[/mm] zu
> bedeuten hat, ebenfalls diese Fakulität mit dem "!".
1.Fangen wir mit dem Einfachsten an: 6! gesprochen sechs Fakultät ist ne Abkürzung für 1*2*3*4*5*6 damit n!=1*2*.........*(n-1)*n
Also wirklich einfach als Begriff,( man sollte sich klar machen, dass das ziemlich große Zahlen sind.)
2. [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] gesprochen Summe von i gleich 1 bis i gleich n über....
also [mm]\summe_{i=1}^{n} i =1+2+3+4+...+n[/mm]
[mm] [mm\summe_{i=1}^{n}2^{i}=2^1+2^2+2^3+.........+2^n[/mm]
[/mm]
Am Anfang lernt man damit umgehen indem man sie so mit Pünktchen ausschreibt, dann gewöhnt man sich schnell dran.
Zur Taylorreihe in ner Stunde, wenns bis dahin sonst nicht wer geschafft hat.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Di 14.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist eine Taylorreihe?
Wenn du von einem Polynom z.Bsp. 3. Grades also [mm] $p(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d$ [/mm] 4 Punkte kennst ist es eindeutig festgelegt.
Wenn du in EINEM Punkt den Funktionswert, den Wert der ersten Ableitung, und den der 2. und 3. Ableitung kennst, kannst du a,b,c,d bestimmen.
Der Einfachheit halber nehm ich als Stelle x=0: dann ist d=f(0), c=f'(0), b=f''(0)/2; a=f'''(0)/3!
also [mm] $p(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(0)/2!*x^2+f'''(0)/3!*x^3$
[/mm]
also das Polynom rekonstruiert aus den Werten der Funktion und ihrer Ableitungen.
Für ein Polynom 5. Grades brauchst du 5 Ableitungen usw.
Wenn man jetzt eine Funktion wie z. Bsp sin(x) hat, die man an der Stelle x=0 mit allen Ableitungen kennt, dann kann man ein Polynom herstellen, das dieselben Werte der Ableitung bei x=0 hat wie der sin(x), dieses Polynom nähert sin(x) in der Nähe von x=0 sehr gut an, wenn man nur bis zum 3. grad geht, wenn man Polynome höheren Grades nimmt wird sin auch in einer größeren Umgebung von 0 noch gut angenähert, Je höher die Ordnung des Polynoms, d.h. je mehr Ableitungen mit denen von sin(x) bei x=0 übereinstimmen, umso besser wird sin(x) angenähert. Wenn man das immer weiter Treibt, nennt man es die Taylorreihe, wenn man nur bis z.Bsp Polynom 6. Grades geht, nennt man es das 6. Taylorpolynom.
Eigentlich solltest du dir das mal für sinx und die ersten paar seiner Taylopolynome ansehen und zeichnen lassen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 So 19.02.2006 | | Autor: | Kevka |
Ok danke leduart, ich habe jetzt die taylorreihe an sich eigentlich verstanden. ich kann sie zwar noch nicht wirklich auf die arcus funktionen anwenden, aber ich werde wie von dir empfohlen, die taylorreihe erstmal an sin(x) üben. Wenn ich noch irgendwelche fragen habe werde ich mich hier sicherlich noch auslassen ;). aufjedenfall erstmal rechtherzlichen dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Di 28.02.2006 | | Autor: | Kevka |
Hallo nochmal,
hier kommt eine weitere frage meinerseits. wie soll ich die arcus funktionen auf symmetrie untersuchen???
1. ich weiß nicht wie ich das allgemein anwenden soll auf die symmetrie
2. wenn ich das auf ein konkretes beispiel mache wie z.B.
[mm] arctan(x^{4}-6x{2}+8)
[/mm]
Es is [mm] f(-x)=artan((-x^{4})-6(-x{2})+8)=arctan(x^{4}-6x{2}+8)=f(x)
[/mm]
also achsensymmetrisch zur 2. Achse, gilt das aber auch bei arcsinus und aruscos????? also bei z.B. [mm] arcsin(x^{4}-6x{2}+8) [/mm] oder [mm] arcos(x^{4}-6x{2}+8) [/mm] ??????
wäre schön wen mir jemand helfen könnte.
achja ich kann nirgendswo die 2. Ableitung der Arcus Funktion finden, da überall steht es wäre zu komplex sie zu bilden, soll ich sie dann aus meiner facharbeit raus nehmen???
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:25 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Kevka |
danke ertsmal informix,
na gut ich hatte mich da oben vertippt bei der rechnung, ich meinte natürlich [mm] x^{2}....
[/mm]
gilt das jetzt also nicht nur für den arctang sondern auch für arcsin und arcos, also ich meine dass f(-x)= arcsin(-x°{2})=arcsin(x°{2})=f(x) ist.
jedoch ist dann ja z.B. [mm] f(x)=arcsin(x^{3}+3) \Rightarrow [/mm] f(-x)= arcsin(-x°{3}+3) [mm] \not= [/mm] f(x)
dann wäre die funktion ja nicht symmetrisch, da auch keine punktsymmetrie vorliegt, die rechnung dazu spare ich mal jetzt... liege ich mit der Vermutung richtig????
achja und wegen nullstellen ist die annahme von mir richtig, dass ich das so angehen, dass ich sage z.B. f(x)=o [mm] \Rightarrow [/mm] arcsin(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] arcsin(0)=0???
und wenn ja gilt, dass auch wieder für alle arcusfunktionen???
bedanke mich schonmal im vorraus für die Hilfe.
P.S.: ich muss euch hier leider damit so nerven, da in allen büchern, in denen ich nachschlage, immer nur 3 seiten über thema verfasst sind. Und das was da steht sind nur fakten und keinerlei rechnungen wie man auf die fakten kommt......
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Kevka |
also....
ich habe meine FA soweit fertig, mir fehlt nur eine Sache, nämlich die blöde Taylorreihe! Ich habe das Taylorpolynom und Taylorreihe allgemein gesehn in meiner Facharbeit erklärt, nur kann ich es echt nicht auf die Arcusfunktionen Anwenden. Ich meine es steht auch echt nirgendswo wie es geht, nur in wikipedia steht das ergebnis, toll!, und das man den binomischen Lehrsatz angewandt hat, den ich aber überhaupt nicht verstehe und ich gar kein Bezug zur Taylorreihe finden kann.
wäre schön wenn mir jemand die Taylorreihe des Arcussinus und Arcustangens ein wenig näher bringen könnte! danke schon mal im vorraus!
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Hallo,
also ich würde hier einfach die Ableitung integrieren:
Betrachte f(x)=arctan(x). Die Ableitung ist [mm] f'(x)=\bruch{1}{1+x^{2}}.
[/mm]
Nun folgt mit [mm] \varepsilon:=-x^{2}:
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1-\varepsilon} [/mm] (geometrische Reihe)
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\varepsilon^{k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}(-x^{2})^{k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{2k}
[/mm]
[mm] =1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+-...
[/mm]
Es wird hierbei natürlich benutzt, dass die Ableitung von arctan bekannt ist. Diese solltest du also vorher in deinem Text besprochen haben.
Die Taylorreihe gewinnt man nun durch Integration von
[mm] f'(x)=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+-...:
[/mm]
[mm] f(x)=x-\bruch{x^{3}}{3}+\bruch{x^{5}}{5}-\bruch{x^{7}}{7}+-...+C
[/mm]
Die Konstante C ergibt sich dabei durch Einsetzen von x=0 als Entwicklungspunkt und damit die vermutete Taylorreihe:
[mm] f(x)=x-\bruch{x^{3}}{3}+\bruch{x^{5}}{5}-\bruch{x^{7}}{7}+-...
[/mm]
Für den arcsin kannst du analog verfahren.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 So 12.03.2006 | | Autor: | Kevka |
also die ableitung habe ich verstanden und in meiner arbeit ausführlich erklärt.
ich verstehe nur nicht warum du [mm] \varepsilon=x^{2} [/mm] setzt,
und warum [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] dann gleich [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \varepsilon^{k} [/mm] . und ich verstehe die Ranbemerkung geometrische Reihe nicht.
wäre nett wenn du oder wer anders mir, dass nochmal erklären könntet.
aber trotzdem danke für deine antwort und hoffentlich auch danke für die kommende....
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Hallo,
also die geometrische Reihe habe Ihr bestimmt mal behandelt. Der Grenzwert der geometrischen Reihe ist dieser:
$ [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \varepsilon^{k} $=\bruch{1}{1-\varepsilon}
[/mm]
für [mm] |\varepsilon|<1. [/mm]
Die Substitution von [mm] \varepsilon [/mm] habe ich nur der Übersicht halber gemacht, damit man das mit der Reihe leichter durchschaut. Die Substitution ist übrigens [mm] \varepsilon=-x^{2}. [/mm] Das Vorzeichen ist an der Stelle entscheidend. Der Witz an dem Beweis ist, dass du die Ableitung bereits kennst, diese entwickelst und dann wieder integrierst und wir bekommen dieses ziemlich einfache Polynom.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 So 12.03.2006 | | Autor: | Kevka |
danke erstmal für deine schnelle und hilfreiche antwort!!!!!
aber kann man auf gleicher weise auch arcsinus und arcuscosinus darstellen, bzw so herleiten, denn bei wikipedia, meine eigentlich einzige infoquelle in bezug auf taylorreihe von arcusfunktionen, steht, dass man den binomischen lehrsatz anwenden muss, kannst du mir helfen????
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Hallo,
ja sicher, du kannst es auch wesentlich komplizierter machen, würdest es aber dann nicht verstehen, weil du nach eigener Angabe mit dem binomischen Satz nichts anfangen kannst.
Mit den anderen beiden kann man es ähnlich machen. Da müsste man sich für die Wurzel etwas einfallen lassen...!
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Di 14.03.2006 | | Autor: | Kevka |
so bin fertig, habe soweit alles verstanden und gib die FA morgen endlich ab, danke nochmal an jeden der mir hier weiterhelfen konnte!
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hallo kevka,
ich studiere elektrotechnik und habe somit jeden tag mit winkelfunktionen zu tun. in meinem studium ist es zwar nicht notwendig diese herzuleiten aber mich persönlich würde es schon brennend interessieren. ich habe allerdings nicht soviel zeit mir das alles selber herzuleiten, darum wollte ich dich fragen ob ich deine facharbeit einmal lesen könnte! könen wir irgendwie in kontakt treten?
gruß, schmaikel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Sa 24.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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