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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Herleiten von Eigenvectoren

Herleiten von Eigenvectoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Herleiten von Eigenvectoren: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:51 Mi 02.08.2006
Autor:	Paddi

Aufgabe

 gegeben: Matrix A:  [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
 [/mm]

a) leiten Sie alle Eigenwerte zu Matrix A her

b) leiten Sie die Eigenvectoren zu den jeweiligen Eigenwerten aus a)  her. 

c) welche geometrische Operation wird durch die Funktion f(x) = A * X durchgeführt?

Hallo,

ich habe ein paar kleine Probleme mit der oben genannten Aufgabe.

a) habe ich gelöst. Da kommen die Eigenwerte -1 und + 1 heraus.

bei Teil b) muss man ja um zu den Eigenvectoren zu gelangen folgendes Schema anwenden:

(Matrix A - (alpha * Einheitsmatrix)) = 0

Dieses Gleichungssystem wird dann mit dem Gauß-algorithmus gelöst.

Da habe ich folgendes heraus:

für Eigenwert 1:

[mm] \vmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0 } \vmat{0 \\ 0} [/mm]

für Eigenwert -1:

[mm] \vmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } \vmat{0 \\ 0} [/mm]

Aus diesen Lösungen muss es letztlich möglich sein die zugehörigen Eigenvectoren herzuleiten. Genau da hab ich Probleme!

was Aufgabe c) angeht, so denke ich, dass die Funktion eine Grade im zweidimensionalen Raum darstellt. Auch da bin ich mir nicht sicher. Bin dankbar für Verbesserungen und Ratschläge.

Wäre lieb wenn mir jemand kurz helfen könnte.

Liebe Grüße

Paddi

Bezug

Herleiten von Eigenvectoren: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:21 Mi 02.08.2006
Autor:	Bastiane

Hallo!

> gegeben: Matrix A:  [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> a) leiten Sie alle Eigenwerte zu Matrix A her
>
> b) leiten Sie die Eigenvectoren zu den jeweiligen
> Eigenwerten aus a)  her.
>
> c) welche geometrische Operation wird durch die Funktion
> f(x) = A * X durchgeführt?
>  Hallo,
>
> ich habe ein paar kleine Probleme mit der oben genannten
> Aufgabe.
>
> a) habe ich gelöst. Da kommen die Eigenwerte -1 und + 1
> heraus.

> bei Teil b) muss man ja um zu den Eigenvectoren zu gelangen
> folgendes Schema anwenden:
>
> (Matrix A -  (alpha * Einheitsmatrix)) = 0
>
> Dieses Gleichungssystem wird dann mit dem Gauß-algorithmus
> gelöst.
>
> Da habe ich folgendes heraus:
>
> für Eigenwert 1:
>
> [mm]\vmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0 } \vmat{0 \\ 0}[/mm]
>
> für Eigenwert -1:
>
>
> [mm]\vmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } \vmat{0 \\ 0}[/mm]
>
>
> Aus diesen Lösungen muss es letztlich möglich sein die
> zugehörigen Eigenvectoren herzuleiten. Genau da hab ich
> Probleme!

Ich weiß nicht, was du hier überhaupt machst. Ich würde das so machen:
Für einen Eigenvektor v zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] muss doch gelten:

[mm] $Av=\lambda [/mm] v$

Also hast du die beiden Gleichungen:

[mm] \pmat{0&1\\1&0}\vektor{v_1\\v_2}=\vektor{v_1\\v_2} [/mm]

und

[mm] \pmat{0&1\\1&0}\vektor{v_1\\v_2}=\vektor{-v_1\\-v_2} [/mm]

Wenn du die erste Gleichung auflöst, erhältst du:

[mm] \vektor{v_2\\v_1}=\vektor{v_1\\v_2} [/mm]

also wäre ein Eigenvektor zu [mm] \lambda=1: v=\vektor{1\\1} [/mm]

Und genauso machst du das für die zweite Gleichung.

> was Aufgabe c) angeht, so denke ich, dass die Funktion eine
> Grade im zweidimensionalen Raum darstellt. Auch da bin ich
> mir nicht sicher. Bin dankbar für Verbesserungen und
> Ratschläge.

Mmh, aber eine Gerade ist doch keine Operation.

Naja, was passiert denn mit dem Vektor [mm] \vektor{x_1\\x_2} [/mm] wenn du A darauf loslässt? Du erhältst den Vektor [mm] \vektor{x_2\\x_1}. [/mm] Zeichne dir das doch mal in ein Koordinatensystem ein - was bedeutet das? Was ist mit diesem Vektor passiert?

Viele Grüße
Bastiane