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H-ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Fr 05.12.2003
Autor: Hans

Hi Stefan, Marc und der Rest von dieser coolen Gemeinde :-)
Hab da noch eine kleine Frage bez. folgender Aufgabe.

K, Koerper, [mm] V=K^n [/mm] sowie a1, .., an aus K wobei nicht alle ai=0 sind.
Beweise: H:={(x1, .., xn) aus V, : Summe i=1 bis n von ai * xi =0}
ein UVR von V ist mit dim = n-1.

Ueber ne Antwort wuerd ich mich freuen.
Schoenes WE euch allen.
Danke
Hans

        
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H-ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Sa 06.12.2003
Autor: Marc

Hallo Hans,

habe jetzt doch keine Zeit mehr, die Frage zu beantworten (verschlafen...) und komme wahrscheinlich erst morgen Abend dazu.

Sorry,
Marc


Bezug
        
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H-ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:54 So 07.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Hans,

also: Die Tatsache, dass [mm]H[/mm] ein Untervektorraum von [mm]V[/mm] ist, ist nicht sonderlich schwer zu beweisen.

Es gilt ja:

[mm]H= \{(x_1,\ldots,x_n)\, : \, \sum_{i=1}^n a_i \, x_i = 0\}.[/mm]

Zu zeigen ist (es gibt alternative Definitionen eines UVR, aber alle sind äquivalent):

1) [mm]0 \in H[/mm],

2) [mm]v,\, w \in H \ \Rightarrow \ v+w \in H[/mm],

3) [mm]v \in H,\ \lambda \in \IK \ \Rightarrow \ \lambda\, v \in H[/mm].


zu 1): Natürlich gilt: [mm]\sum_{i=1}^n a_i\, 0 = 0[/mm].

zu 2) Aus [mm]v=(v_1,\ldots,v_n)\in H[/mm] und [mm]w=(w_1,\ldots,w_n) \in H[/mm], also [mm]\sum_{i=1}^n a_i \, v_i = 0[/mm] und [mm]\sum_{i=1}^n a_i \, w_i = 0[/mm], folgt auch:

[mm]\sum_{i=1}^n a_i\, (v_i + w_i) = \sum_{i=1}^n a_i\, v_i + \sum_{i=1}^n a_i\, w_i = 0 + 0 = 0[/mm],

also: [mm]v+w \in H[/mm].

zu 3) Aus [mm]v=(v_1,\ldots,v_n)\in H[/mm], also:  [mm]\sum_{i=1}^n a_i \, v_i = 0[/mm], und [mm]\lambda \in \IK[/mm] folgt:

[mm]\sum_{i=1}^n a_i\, (\lambda\, v_i) = \lambda \sum_{i=1}^n a_i\, v_i = \lambda\cdot 0 = 0[/mm],

also: [mm]\lambda\, v \in H[/mm].

Es verbleibt die Dimension von [mm]H[/mm] zu bestimmen. Hat man geeignete Sätze zur Verfügung, so ist der Bereis trivial.

Für jede lineare Abbildung [mm]f:V \to W[/mm] gilt nämlich die Dimensionsformel:

[mm]dim\, V = dim\, Bild(f) + dim\, Kern(f)[/mm].

Die Abbildung:

[mm]f(x) = f((x_1,\ldots,x_n)) = \sum_{i=1}^n a_i\, x_i[/mm]

definiert eine lineare (!) Abbildung [mm]f: \IK^n \to \IK[/mm].

(Bemerkung: Wenn du das eh zeigen willst, kannst du dir die Punkte mit dem Untervektorraum sparen. Dann ist nämlich [mm]H = Kern(f)[/mm] als  Kern einer linearen Abbildung trivialerweise ein Untervektorraum. Du kannst es dir also aussuchen, wie du die Aussagen beweist, je nachdem, ob ihr lineare Abbildungen und die Dimensionsformel bereits behandelt habt  oder nicht.)

Zurück zur Dimensionsbestimmung. Da [mm]f[/mm] eine lineare Abbildung in den Körper ist, kann nur [mm]dim\, Bild(f)=0[/mm] oder  [mm]dim\, Bild(f)=1[/mm] wahr sein. Ersteres gilt genau dann, wenn [mm]f[/mm] die konstante Nullabbildung ist, was aber nach Voraussetzung (nicht alle [mm]a_i[/mm] sind gleich 0) nicht der Fall ist. (Warum? Bitte beweisen, ist aber leicht.) Daher folgt: [mm]dim\, Bild(f)=1[/mm] und somit:

[mm]dim \, H = dim\, Kern(f) = dim \, V \, - \, dim\, Bild(f) = n - 1,[/mm]

wie behauptet.

Solltet ihr die Dimensionsformel noch nicht besprochen haben, so lässt sich eine Basis von [mm]H[/mm] auch ganz leicht explizit angeben und damit die Dimension  bestimmen.

Wir überlegen uns zunächst, dass die Dimension von [mm]H[/mm] höchstens gleich [mm]n-1[/mm] sein kann. Aber dies gilt natürlich. In der Tat: Wäre sie gleich [mm]n[/mm], so wäre [mm]H[/mm] ein n-dimensionaler Untervektorraum des n-dimensionalen Vektorraums [mm]V[/mm], woraus aus bekannten Sätzen für endlichdimensionale Vektorräume (schau bitte in dein Skript) die Beziehung [mm]H=V[/mm] folgt, was wegen [mm]a \ne (0,\ldots,0)[/mm] ein Widerspruch ist. (Wiederum: Das solltest du noch kurz beweisen.) Um zu zeigen, dass [mm]dim\, H = n-1[/mm] ist, genügt es also, [mm]n-1[/mm] linear unabhängige Vektoren aus [mm]H[/mm] anzugeben.

Der Einfachheit halber nehmen wir einmal an, die Einträge des Vektors [mm]a=(a_1,\ldots,a_n)[/mm] seien so beschaffen, dass [mm]a_i \ne 0[/mm] für alle [mm]i=1,\ldots,i_0[/mm] und  [mm]a_i = 0[/mm] für alle [mm]i=i_0 + 1, \ldots,n[/mm] gilt. Ansonsten modifizieren wir den Beweis durch Umnumerierung der Indizes.

Dann liegen

[mm](1,-a_2^{-1}a_1,0,\ldots,0),[/mm], [mm](1,0,-a_3^{-1}a_1,0,\ldots,0),[/mm],..., [mm](1,0,0,\ldots, -a_{i_0}^{-1}a_1,0,\ldots,0),[/mm],[mm](0,\ldots,0,\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{1}_{\, \mbox{\scriptsize Eintrag an der}\, i_0+1-\mbox{\scriptsize ten Stelle}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!,0,\ldots,0)[/mm],..., [mm](0,\ldots,0,1)[/mm]

offenbar alle in [mm]H[/mm] und sind ebenso offensichtlich alle linear unabhängig. (Den Nachweis überlasse ich dir zur Übung).

Damit ist die Aussage bewiesen. :-)

Alles Gute
Stefan


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H-ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 So 07.12.2003
Autor: Hans

Hi Stefan!
Deine Antwort laesst keine Fragen offen. Großes Lob und Dankeschoen.
mfg Hans

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H-ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 So 07.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Hans,

das freut mich. Was macht die andere Aufgabe, die mit dem Gauß-Algorithmus in [mm]\IZ_5[/mm]? Hast du die hinbekommen oder sollen wir sie dir vorrechnen? Vielleicht schreibst du an der entsprechenden Stelle einfach mal, wie du vorgegangen bist und wir kontrollieren es dann?
Hast du auch verstanden, warum man den Gauß-Algorithmus anwendet?

Alles Gute
Stefan


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