Grenzwerte bei Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Kann mir bitte mal jemand sagen, was folgende Definition aussagt? Irgendwie blicke ich da nicht so ganz durch:
Sei [mm] f:D\to\IR [/mm] eine reelle Funktion auf [mm] D\subset\IR [/mm] und [mm] a\in\IR [/mm] ein Punkt derart, dass es mindestens eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN}, a_n\in [/mm] D, gibt mit [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=a. [/mm] (Dies ist z. B. für [mm] a\in [/mm] D erfüllt.) Man schreibt
[mm] \lim_{x\to a}f(x)=c,
[/mm]
falls für jede Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN}, x_n\in [/mm] D, mit [mm] \lim_{n\to\infty}x_n=a [/mm] gilt:
[mm] \lim_{n\to\infty}f(x_n)=c.
[/mm]
Hier soll der Grenzwert für Funktionen definiert werden, aber so eine Definition habe ich noch nie gesehen. Vielleicht könnte das jemand kurz mit Worten erklären?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
Zugegebenermaßen, ich finde diese Definition auch ein wenig verquert. Nichtsdestotrotz trägt sie ihren Namen zu recht, denn die Aussage
(1) FÜr alle Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}, x_n\in [/mm] D$, [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n [/mm] = a$ ist [mm] $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=c$.
[/mm]
ist äquivalent zu
(2) Für alle [mm] $\epsilon\in\IR^+$ [/mm] existiert ein [mm] $\delta\in\IR^+$ [/mm] mit [mm] $\vert f(x)-c\vert <\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $x\in (a-\delta,a+\delta)$.
[/mm]
Letztere Aussage ist es, die du wahrscheinlich eher mit der Kurzform [mm] $\lim_{x\to a} [/mm] f(x)=c$ assoziiert hättest.
Hier eine kleine Ergänzung, für dich hoffenltich nur Erinnerung: wenn eine der beiden obigen Aussagen gilt, sagen wir $f$ konvergiere gegen $c$ für $x$ gegen $a$. Wir sagen, $f$ sei stetig im Punkt $a$, wenn [mm] $a\in [/mm] D$ und $f(a)=c$ gilt.
Nun, die Äquivalenz von beiden Aussagen muss natürlich erstmal beweisen werden. Weil ich glaube, dass Beweise immer beim Verständnis helfen, und letztere ja unser größte Ziel ist (*schwafel* ;) ), hier der Beweis für die Äquivalenz beider Aussagen:
Sei [mm] $\lim_{x\to a} [/mm] f(x)=c$ im Sinne von (2) und [mm] $(x_n)_{n\in\IN},x_n\in [/mm] D$ konvergent gegen $a$. Für beliebiges [mm] $\epsilon\in\IR^+$ [/mm] existiert nun nach Voraussetzung ein [mm] $\delta$ [/mm] mit [mm] $\vert f(x)-c\vert <\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $x\in (a-\delta,a+\delta)$. [/mm] Da [mm] $(x_n)_{n\in\IN}\to [/mm] a$, existiert ein [mm] $n_\delta\in\IN$ [/mm] so, dass für alle [mm] $n\geq n_\delta$ [/mm] stets [mm] $x_n\in (a-\delta,a+\delta)$ [/mm] gilt. Es folgt [mm] $\vert f(x_n)-c\vert <\epsilon$, [/mm] was [mm] $f(x_n)\to [/mm] a$ d.h. [mm] $\lim_{x\to a} [/mm] f(x)=c$ im Sinne von (1) bedeutet.
Sei nun umgekehrt [mm] $\lim_{x\to a} [/mm] f(x)=c$ im Sinne von (1) und nehmen wir an, Aussage (2) sein nicht wahr. Dann gäbe es ein [mm] $\epsilon\in\IR^+$ [/mm] so, dass für alle [mm] $\delta\in\IR^+$ [/mm] ein [mm] $x_\delta\in (a-\delta,a+\delta)$ [/mm] mit [mm] $\vert f(x_\delta)-c\vert \not< \epsilon$. [/mm] Die Folge [mm] $(x_{\frac{1}{n}})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert dann gegen $a$ und es folgt [mm] $f(x_n)\to [/mm] c$; insbesondere gibt es ein [mm] $n_\epsilon$ [/mm] so, dass für alle [mm] $n_0
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hanno!
> Zugegebenermaßen, ich finde diese Definition auch ein wenig
> verquert. Nichtsdestotrotz trägt sie ihren Namen zu recht,
> denn die Aussage
>
> (1) FÜr alle Folgen [mm](x_n)_{n\in\IN}, x_n\in D[/mm],
> [mm]\lim_{n\to\infty} x_n = a[/mm] ist [mm]\lim_{n\to\infty} f(x_n)=c[/mm].
>
> ist äquivalent zu
>
> (2) Für alle [mm]\epsilon\in\IR^+[/mm] existiert ein [mm]\delta\in\IR^+[/mm]
> mit [mm]\vert f(x)-c\vert <\epsilon[/mm] für alle [mm]x\in (a-\delta,a+\delta)[/mm].
>
> Letztere Aussage ist es, die du wahrscheinlich eher mit der
> Kurzform [mm]\lim_{x\to a} f(x)=c[/mm] assoziiert hättest.
Ist (2) dann die eher gebräuchliche Form? Dann werde ich mir diese auch mal merken. 
> erstmal beweisen werden. Weil ich glaube, dass Beweise
> immer beim Verständnis helfen, und letztere ja unser größte
Naja, also mir helfen Beweis selten beim Verständnis, ich finde sie oft so verwirrend, dass ich sie lieber überlese... Ich finde Beispiele immer toll. 
Aber was sagt (1) denn dann in Worten aus? Kann man das nicht irgendwie formulieren? Auch wenn du mir jetzt bewiesen hast, dass es äquivalent zu (2) ist, kann ich mir unter (1) noch immer nicht wirklich was vorstellen, und dann wird es mir schwer fallen, mir diese Definition zu merken...
Viele Grüße
Christiane
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]")
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