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Grenzwert von FKT. HILFE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Mo 03.10.2005
Autor: searchgirl

Hallo erstmal,

ich habe da mal wieder ein kleines Problem und hoffe das ihr mir ein wenig helfen könnt. Es geht um Grenzwerte von Funktionen und ich wollte ganz einfach mal fragen wie man den errechnen kann.
Bei Zahlenfolgen kann man ja so vorgehen, dass man die höchst mögliche Variable ausklammert wie bei  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((2*n+1)/n) [/mm] = (n(2+1/n))/n = 2
Aber wie errechnet man den Grenzwert bei Funktionen, gibt es da eine algemein günstige Variante?
Wie kommt man denn z.B. bei der funktion f(x)= [mm] (2x^2-2x-12)/(x-3) [/mm] auf den Grenzwert g=10??????
Falls ihr Ideen habt, schreibt mir bitte.
Danke
Liebe grüße

searchgirl
        
Bezug
Grenzwert von FKT. HILFE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Mo 03.10.2005
Autor: Stefan

Hallo searchgirl!

Zu berechnen ist also

[mm] $\lim\limits_{x \to 3} \frac{2x^2-2x-12}{x-3}$. [/mm]

Hier hilft eine MBPolynomdivision.

Ich mache es dir mal vor:

[mm] $(2x^2-2x-12):(x-3)=2x+4$ [/mm]
[mm] $-(2x^2-6x)$ [/mm]
$------$
$4x-12$
$-(4x-12)$
$------$
$0$

Daher gilt:

[mm] $\lim\limits_{x \to 3} \frac{2x^2-2x-12}{x-3} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 3}(2x+4) [/mm] = 10$.

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Grenzwert von FKT. HILFE: Rückfrage Grenzwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Mo 03.10.2005
Autor: Disap

Moin zusammen & eine extra Begrüssung für Stefan: Hallo Stefan.

>  
> [mm]\lim\limits_{x \to 3} \frac{2x^2-2x-12}{x-3}[/mm].
>  
> Hier hilft eine MBPolynomdivision.
>  
> Ich mache es dir mal vor:
>  
> [mm](2x^2-2x-12):(x-3)=2x+4[/mm]
>  [mm]-(2x^2-6x)[/mm]
>  [mm]------[/mm]
>  [mm]4x-12[/mm]
>  [mm]-(4x-12)[/mm]
>  [mm]------[/mm]
>  [mm]0[/mm]
>  
> Daher gilt:
>  
> [mm]\lim\limits_{x \to 3} \frac{2x^2-2x-12}{x-3} = \lim\limits_{x \to 3}(2x+4) = 10[/mm].


Also so ganz kann ich da nicht folgen, und zwar was macht der limes für
x -> 3 für einen Sinn?
Diese Funktion hat für x=3 (okay, ich weiss, dass das nicht das selbe ist ;-)) eine hebare Definitionslücke.

Was sagt mir das nun [mm] \lim\limits_{x \to 3} \frac{2x^2-2x-12}{x-3} [/mm] = 10?
Was soll mir jetzt die 10 sagen?
Denn wenn man die Stelle um x=3 betrachtet, kommen viel größere Y-Werte heraus.

Die Mathebank beantwortet mir diese Frage nicht - und Wikipedia auch nicht, also bitte keine Links.

Schöne Grüße Disap


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert von FKT. HILFE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Mo 03.10.2005
Autor: Bastiane

Hallo Disap!

> > [mm]\lim\limits_{x \to 3} \frac{2x^2-2x-12}{x-3}[/mm].
>  >  
> > Hier hilft eine MBPolynomdivision.
>  >  
> > Ich mache es dir mal vor:
>  >  
> > [mm](2x^2-2x-12):(x-3)=2x+4[/mm]
>  >  [mm]-(2x^2-6x)[/mm]
>  >  [mm]------[/mm]
>  >  [mm]4x-12[/mm]
>  >  [mm]-(4x-12)[/mm]
>  >  [mm]------[/mm]
>  >  [mm]0[/mm]
>  >  
> > Daher gilt:
>  >  
> > [mm]\lim\limits_{x \to 3} \frac{2x^2-2x-12}{x-3} = \lim\limits_{x \to 3}(2x+4) = 10[/mm].
>  
>
> Also so ganz kann ich da nicht folgen, und zwar was macht
> der limes für
> x -> 3 für einen Sinn?
>  Diese Funktion hat für x=3 (okay, ich weiss, dass das
> nicht das selbe ist ;-)) eine hebare Definitionslücke.
>  
> Was sagt mir das nun [mm]\lim\limits_{x \to 3} \frac{2x^2-2x-12}{x-3}[/mm]
> = 10?
>  Was soll mir jetzt die 10 sagen?

Das ist der Funktionswert an der Stelle x=3, wenn du die Definitionslücke "hebst". Wie du ja selbst sagst, ist es eine hebbare Definitionslücke.

> Denn wenn man die Stelle um x=3 betrachtet, kommen viel
> größere Y-Werte heraus.

Das verstehe ich nicht - da musst du dich wohl irgendwie verrechnet haben. Die Funktion ist eine Gerade mit Steigung 2 und y-Achsenabschnitt 4 - da können um 3 herum keine viel größeren Werte rauskommen.
  
Oder was möchtest du sonst noch wissen?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert von FKT. HILFE: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:57 Mo 03.10.2005
Autor: Disap


> Hallo Disap!

Hallo Bastiane.

> > Denn wenn man die Stelle um x=3 betrachtet, kommen viel
> > größere Y-Werte heraus.
>  Das verstehe ich nicht - da musst du dich wohl irgendwie
> verrechnet haben.

Huch, da habe ich tatsächlich die falsche Funktion betrachtet => Vorzeichen vertauscht:

$  [mm] \bruch{2x^2-2x+12}{x-3} [/mm] $

Nichts desto trotz - danke für deine Antwort.  

> Viele Grüße
>  Bastiane
>  [cap]

LG Disap
Bezug
        
Bezug
Grenzwert von FKT. HILFE: Möglichkeit 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Mo 03.10.2005
Autor: DaveC86

Hallo,
eine weiter Möglichkeit ist die Annäherung an xp=3:

f(x)=(2x²-2x-12)/(x-3)
D(f)= [mm] \IR [/mm] \  [mm] \{3} [/mm]

         r- [mm] \limes_{x\rightarrow3} f(x)=\limes_{h\rightarrow0} [/mm] (3+h)
            [mm] \limes_{h\rightarrow0} [/mm] [2(3+h)²-2(3+h)-12]/(3+h-3)
>> ausmultiplizieren                                
            [mm] \limes_{h\rightarrow0} [/mm] [2h(h+5)]/h = 10

für l-lim, also der Annäherung von der anderen Seite einfach h*(-1) einsetzen.
Bezug
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