Globale extremstellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
| Aufgabe | Hallo alle zusammen ich habe im moment probleme bei einer Aufgabe:
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion:
f [mm] R^2 [/mm] pfeil R
f( x , y) = [mm] -x^4 [/mm] +3xy [mm] -y^4
[/mm]
Entscheiden Sie auch, ob jeweils ein Maximum oder ein Minimum vorliegt.
Hinweis Im Punkt ( 0 / 0 ) empfiehtt es sich, Folgen der Form ( 1/n , 1/n ) und ( 1/n / 0 )
zu betrachten.
Die Ableitungen habe ich bestimmt.
fx = [mm] -4x^3 [/mm] +3y
fxx = [mm] -12x^2
[/mm]
fxy = 3
fy = 3x [mm] -4y^3
[/mm]
fyy = [mm] -12y^2
[/mm]
Aber wie gehe ich genau weiter vor falls das richtig ist? |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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Hallo Kevin22,
> Hallo alle zusammen ich habe im moment probleme bei einer
> Aufgabe:
>
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion:
>
> f [mm]R^2[/mm] pfeil R
>
> f( x , y) = [mm]-x^4[/mm] +3xy [mm]-y^4[/mm]
Benutze den Editor!
>
> Entscheiden Sie auch, ob jeweils ein Maximum oder ein
> Minimum vorliegt.
>
> Hinweis Im Punkt ( 0 / 0 ) empfiehtt es sich, Folgen der
> Form ( 1/n , 1/n ) und ( 1/n / 0 )
>
> zu betrachten.
> Die Ableitungen habe ich bestimmt.
> fx = [mm]-4x^3[/mm] +3y
>
> fxx = [mm]-12x^2[/mm]
>
> fxy = 3
>
> fy = 3x [mm]-4y^3[/mm]
>
> fyy = [mm]-12y^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie gehe ich genau weiter vor falls das richtig ist?
Bestimme die stationären Punkte [mm](x,y)[/mm] mit [mm]f_x(x,y)=f_y(x,y)=0[/mm]
Dann werte die Hessematrix an diesen Stellen aus (--> Definitheit)
>
> Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Die Hesse matrix habe ich aufgestellt:
[mm] \begin{pmatrix}
-12x^2 & 3 \\
3 & -12y^2
\end{pmatrix}
[/mm]
Ich habe fx = 0 und fy = 0 gesetzt:
[mm] -4x^3 [/mm] +3y = 0
3x [mm] -4y^3 [/mm] = 0
2 Gleichung nach x aufgelöst:
x= 4/3 [mm] y^3 [/mm]
Aber ich komm jetzt irgendwie nicht so richtig weiter.
Bitte hilft mir.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Fr 03.08.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Ich habe fx = 0 und fy = 0 gesetzt:
>
> [mm]-4x^3[/mm] +3y = 0
>
> 3x [mm]-4y^3[/mm] = 0
>
> 2 Gleichung nach x aufgelöst:
>
> x= 4/3 [mm]y^3[/mm]
>
> Aber ich komm jetzt irgendwie nicht so richtig weiter.
Setze dein Ergebnis für x aus der 2. Gleichung in die 1. Gleichung ein:
[mm]-4*(\bruch{4}{3}*y^3)^3+3y=0 [/mm]
Bringe das auf die Form [mm]0=y*(\ldots)[/mm] und bestimme so die Nullstellen dieser Gleichung. Weiter weißt du, denke ich.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ich weiß nicht ob ich was falsch gemacht habe , daher poste ich meine Gleichung erstmal:
-4* 64/27 [mm] y^9 [/mm] +3y = 0. Ist es richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Fr 03.08.2012 | | Autor: | barsch |
> Ich weiß nicht ob ich was falsch gemacht habe , daher
> poste ich meine Gleichung erstmal:
> -4* 64/27 [mm]y^9[/mm] +3y = 0. Ist es richtig?
Das sieht gut aus. Jetzt y ausklammern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ich hab's jetzt ausgeklammert:
y*( [mm] -256/27*y^8 [/mm] +3)=0. Eine nullstele liegt bei 0 . Wie Kriege ich die anderen stellen raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Fr 03.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ich hab's jetzt ausgeklammert:
>
> y*( [mm]-256/27*y^8[/mm] +3)=0. Eine nullstele liegt bei 0 . Wie
> Kriege ich die anderen stellen raus?
Den Satz "Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist", solltest du als Naturwiss.-Student im Grundstudium kennen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ich versteh jetzt nicht genau wie ich die bullstellen raus bekomme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Fr 03.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ich versteh jetzt nicht genau wie ich die bullstellen raus
> bekomme.
Indem du die einzelnen Faktoren getrennt voneinander gleich Null setzt.
Du hattest:
[mm] $y\cdot\left(-\frac{256}{27}y^{8}+3\right)=0$
[/mm]
Also gilt entweder
y=0
oder
[mm] $-\frac{256}{27}y^{8}+3=0$
[/mm]
Marius
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Hallo Kevin22,
> Ich versteh jetzt nicht genau wie ich die bullstellen raus
> bekomme.
Um die Nullstellen von [mm]-\frac{256}{27}y^{8}+3[/mm] zu bestimmen,
kannst Du die Moivre-Formel verwenden.
Andere Möglichkeit ist den Faktor [mm]-\frac{256}{27}y^{8}+3[/mm]
gemäß der 3. binomischen Formel zu zerlegen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Fr 03.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo MathePower
> Hallo Kevin22,
>
> > Ich versteh jetzt nicht genau wie ich die bullstellen raus
> > bekomme.
>
>
> Um die Nullstellen von [mm]-\frac{256}{27}y^{8}+3[/mm] zu
> bestimmen,
> kannst Du die
> Moivre-Formel
> verwenden.
>
> Andere Möglichkeit ist den Faktor [mm]-\frac{256}{27}y^{8}+3[/mm]
> gemäß der
> 3. binomischen Formel
> zu zerlegen.
>
>
> Gruss
> MathePower
Warum so kompliziert? Hier kannst du doch direkt auflösen, über die 8. Wurzel.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Wie zerlege ich das jetzt genau nach der 3 binomishen formel ?
Puuh das scheint mir ein wenig schwer , da müsst ihr mir irgendwie noch ein wenig helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Fr 03.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Du hast:
$ -\frac{256}{27}y^{8}+3 $
$=3-\frac{256}{27}y^{8}$
$=3-\frac{2^{8}}{(\sqrt{3})^{8}}$
$=3-\left(\frac{2}{\sqrt{3}\right)^{8}$
Versuche nun mal weiterzukommen
Auch folgendes wäre möglich:
$ -\frac{256}{27}y^{8}+3=0 $
$ \Leftrightarrow\frac{256}{27}y^{8}=3 $
$ \Leftrightarrow y^{8}=\frac{81}{256} $
$ \Leftrightarrow y^{8}=\frac{(\sqrt{3})^{8}}{2^{8}} $
Das muss jetzt als Hilfe aber reichen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Kurze frage zu erst einmal ,warum hast du die Wurzel aus 3 genommen ?
Das verstehe ich nicht so ganz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Kevin,
Marius hat 81 als Potenz mit der Hochzahl 8 (wegen [mm] y^8) [/mm] geschrieben. Er hat Dir damit den Lösungsweg so einfach wie möglich gemacht.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
> Hallo
>
> Du hast:
>
> [mm]-\frac{256}{27}y^{8}+3[/mm]
> [mm]=3-\frac{256}{27}y^{8}[/mm]
> [mm]=3-\frac{2^{8}}{(\sqrt{3})^{8}}[/mm]
> [mm]=3-\left(\frac{2}{\sqrt{3}\right)^{8}[/mm]
>
> Versuche nun mal weiterzukommen
>
> Auch folgendes wäre möglich:
> [mm]-\frac{256}{27}y^{8}+3=0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow\frac{256}{27}y^{8}=3[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow y^{8}=\frac{81}{256}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow y^{8}=\frac{(\sqrt{3})^{8}}{2^{8}}[/mm]
>
> Das muss jetzt als Hilfe aber reichen.
>
> Marius
>
>
Aber wie kriege ich hieraus :
[mm]\Leftrightarrow y^{8}=\frac{(\sqrt{3})^{8}}{2^{8}}[/mm]
Die Nullstellen raus?
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Hallo Kevin22,
> > Hallo
> >
> > Du hast:
> >
> > [mm]-\frac{256}{27}y^{8}+3[/mm]
> > [mm]=3-\frac{256}{27}y^{8}[/mm]
> > [mm]=3-\frac{2^{8}}{(\sqrt{3})^{8}}[/mm]
> > [mm]=3-\left(\frac{2}{\sqrt{3}\right)^{8}[/mm]
> >
> > Versuche nun mal weiterzukommen
> >
> > Auch folgendes wäre möglich:
> > [mm]-\frac{256}{27}y^{8}+3=0[/mm]
> > [mm]\Leftrightarrow\frac{256}{27}y^{8}=3[/mm]
> > [mm]\Leftrightarrow y^{8}=\frac{81}{256}[/mm]
> > [mm]\Leftrightarrow y^{8}=\frac{(\sqrt{3})^{8}}{2^{8}}[/mm]
> >
> > Das muss jetzt als Hilfe aber reichen.
> >
> > Marius
> >
> >
>
> Aber wie kriege ich hieraus :
>
> [mm]\Leftrightarrow y^{8}=\frac{(\sqrt{3})^{8}}{2^{8}}[/mm]
>
> Die Nullstellen raus?
>
Ziehe auf beiden Seiten die 8. Wurzel.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
> > >
> > >
> >
> > Aber wie kriege ich hieraus :
> >
> > [mm]\Leftrightarrow y^{8}=\frac{(\sqrt{3})^{8}}{2^{8}}[/mm]
> >
> > Die Nullstellen raus?
> >
>
>
> Ziehe auf beiden Seiten die 8. Wurzel.
>
>
> Gruss
> MathePower
>
>
Wenn man die 8te Wurzel zieht , dann müsste glaub ich nur das stehen bleiben:
y= [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Fr 03.08.2012 | | Autor: | barsch |
> Wenn man die 8te Wurzel zieht , dann müsste glaub ich nur
> das stehen bleiben:
>
> y= [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
.. wie war das noch gleich mit den Vorzeichen...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Was ist an dem vorzeichen falsch ?
Soll es minus sein?
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Hi!
[mm]\Bigg(\frac{(\sqrt{3})}{2}\Bigg)^8 =\Bigg(-\frac{(\sqrt{3})}{2}\Bigg)^8 [/mm]
Daher hast du hier zwei reelle Lösungen.
Valerie
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Also einmal das hier als Nullstelle:
y1 = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
und einmal y2= - [mm] \bruch{ \wurzel{3}}{2}
[/mm]
Weil die ^8 kürzen sich doch wegen der 8ten wurzel?
Und kannst du mir bitte sagen wie ich weiter vorgehen soll.
Ich bin nämlich bei diesem thema noch niht ganz so fitt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Sa 04.08.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo Kevin22,
> Also einmal das hier als Nullstelle:
>
>
> y1 = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> und einmal y2= - [mm]\bruch{ \wurzel{3}}{2}[/mm]
Ja.
Jetzt nur nicht die Nullstelle vergessen, die oben bereits berechnet wurde (y=0) - einfach noch mal ein paar Antworten früher nachsehen.
>
> Weil die ^8 kürzen sich doch wegen der 8ten wurzel?
>
> Und kannst du mir bitte sagen wie ich weiter vorgehen
> soll.
> Ich bin nämlich bei diesem thema noch niht ganz so fitt.
Du musst auch schon ein wenig Eigenleistung zeigen - zumindest sollte der Wille dazu erkennbar sein.
Es wird langsam auch für potentielle Helfer unübersichtlich.
Wenn du jetzt die y-Werte hast, musst du die dazugehörigen x-Werte bestimmen. Dann hast du die stationären Punkte.
Dann: siehe 1. Antwort von schachuzipus.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Wenn du jetzt die y-Werte hast, musst du die dazugehörigen x-Werte bestimmen. Dann hast du die stationären Punkte.
Du meinst sicherlich den Punkt y = 0 oder den ich nicht vergessen soll?
Wo muss ich dafür die y Werte einsetzen um die x Werte zu bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Sa 04.08.2012 | | Autor: | barsch |
> Wo muss ich dafür die y Werte einsetzen um die x Werte
> zu bestimmen?
Ich habe geahnt, dass die Frage kommt.
Siehe noch mal in deine eigenen Posts:
> Ich habe fx = 0 und fy = 0 gesetzt:
> $ [mm] -4x^3 [/mm] $ +3y = 0
> 3x $ [mm] -4y^3 [/mm] $ = 0
> 2 Gleichung nach x aufgelöst:
> x= 4/3 $ [mm] y^3 [/mm] $
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Zuerst einmal die 2 Gleichungen:
>
> > [mm]-4x^3[/mm] +3y = 0
>
> > 3x [mm]-4y^3[/mm] = 0
>
In 1 Gleichung y= 0 eingesetzt :
[mm] -4x^3 [/mm] = 0 [mm] x^3 [/mm] = 4
x1 = [mm] \wurzel{4} [/mm]
x2= - [mm] \wurzel{4}
[/mm]
Ein x3 gibt es nicht oder?
Jetzt y = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] eingesetzt und es kommen wieder die ersten Probleme leider.
2 Gleichung :
3x -4* ( [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} )^3
[/mm]
Oh mann wie rechne ich das jetzt aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 04.08.2012 | | Autor: | barsch |
> Zuerst einmal die 2 Gleichungen:
>
> >
> > > [mm]-4x^3[/mm] +3y = 0
> >
> > > 3x [mm]-4y^3[/mm] = 0
> >
> In 1 Gleichung y= 0 eingesetzt :
Ich weiß nicht, wer von uns beiden verzweifelter ist.
> [mm]-4x^3[/mm] = 0 [mm]x^3[/mm] = 4
Das ist nicht dein Ernst...!
Da steht [mm]-4*x^3=0[/mm]. Und du schließt daraus, dass
>
> x1 = [mm]\wurzel{4}[/mm]
>
> x2= - [mm]\wurzel{4}[/mm]
Nein!
> Ein x3 gibt es nicht oder?
>
> Jetzt y = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] eingesetzt und es kommen
> wieder die ersten Probleme leider.
>
> 2 Gleichung :
>
> 3x -4* ( [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2} )^3[/mm]
Das ist keine Gleichung, du meinst ...=0
Du hattest das irgendwo doch schon einmal umgestellt:
[mm]x= \bruch{4}{3}* y^3 [/mm]
1. Fall: [mm]y=\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
[mm]x= \bruch{4}{3}* \left (\bruch{\wurzel{3}}{2} \right )^3 =\bruch{4}{3}*\bruch{\wurzel{3}^3}{8}=\bruch{4}{3}*\bruch{\wurzel{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}}{8}=\bruch{4}{3}*\bruch{3*\wurzel{3}}{8}=\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> Oh mann wie rechne ich das jetzt aus?
Jetzt noch [mm]y=-\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm].
Vielleicht hast du heute nur einen schlechten Tag erwischt. Schon die einfachsten Rechenoperationen gehen schief. Vielleicht siehst du auch nur den Wald vor lauter Bäumen nicht, bist überarbeitet. Tipp: Bevor du eine Frage nach der anderen raushaust, setze dich an deinen Schreibtisch, nehme ein Blatt Papier und rechne mal. Schreibe dir auf, was dir unklar ist. Dann sieht man in solchen Fällen meist, wo eigene (Rechen-)Fehler liegen.
Mittlerweile ist diese Diskussion auch schon so unübersichtlich, dass da niemand mehr so richtig durchblickt. Deswegen schreibe dir die Schritte alle mal untereinander auf ein Blatt Papier.
Und einfach mal Pause machen und kurz abschalten - Zum Beispiel mal 'ne halbe Stunde Olympia gucken.
Aus eigenem Interesse: Was studierst du denn? (Musst du nicht beantworten, wenn du nicht willst)
Berechne nun [mm]\underline{\textrm{alle}}[/mm] stationären Punkte. Dann bestimmst du die dazugehörigen Hessematrizen... (Aber bitte nicht in 5 Minuten mit der nächsten Frage kommen - dann weiß ich nämlich, dass du dir keine Gedanken gemacht hast!)
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Der andere y Punkt ist: -Wurzel aus3/2
Ich hab jetzt nicht genau verstanden wie ich jetzt die stationären Punkte berechnen kann.
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Hallo,
Du suchst ja Extremwerte von deiner Funktion - also Stellen, an denen die Funktion maximale oder minimale Werte annimmt.
Bei eindimensionalen Funktionen sind stationäre Punkte all' jene Punkte, an denen die erste Ableitung gleich null ist. Das bedeutet, dass die Funktion an dieser Stelle keine Steigung hat. Solche Stellen sind MÖGLICHE Punkte für Minima und Maxima der Funktion.
Hier wird nun eine zweidimensionale Funktion f(x, y) untersucht, die von zwei Variablen (x und y) abhängt. In diesem Fall muss der Gradient von f gleich null sein: also [mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y} [/mm] müssen null sein. Dies bedeutet anschaulich wieder, dass die Funktion an dieser Stelle keine Steigung hat und somit als MÖGLICHE Stelle für ein Minimum oder Maximum in Betracht kommt. Da du eine zweidimensionale Funktion untersuchst, gehören zu einem stationären Punkt somit auch immer zwei Angaben: ein x-Wert und ein y-Wert. Das heißt konkret für Dich: du musst jetzt alle Punkte (mit je einem x- und einem y-Wert) angeben, an denen gilt:
[mm] f_{x} [/mm] = 0 und [mm] f_{y} [/mm] = 0
Hast Du alle stationären Punkte gefunden, musst du für jeden Punkt mit Hilfe der Hessematrix (die sozusagen der zweiten Ableitung entspricht) untersuchen, ob dort ein Maximum, ein Minimum oder ein Sattelpunkt (= weder Maximum noch Minimum) vorliegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Also muss ich jetzt die vorher berechneten x und y werte in die hessematrix einsetzen?
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Hallo Kevin22,
> Also muss ich jetzt die vorher berechneten x und y werte in
> die hessematrix einsetzen?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hallo leute .
Ich poste euch mal meine rechnung mit den stationären Punkte als foto da sie ziemlich lang war.
Kann mir noch bitte jemand sagen woran ich jetzt an der hessematrix sehe ob ein maxima oder minimum vorliegt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Kevin22,
> Hallo leute .
> Ich poste euch mal meine rechnung mit den stationären
> Punkte als foto da sie ziemlich lang war.
>
Es gibt doch nur 3 stationäre Punkte.
> Kann mir noch bitte jemand sagen woran ich jetzt an der
> hessematrix sehe ob ein maxima oder minimum vorliegt.
>
Die Definitheit der Hesse-Matrix entscheidet über die Art des Extremums.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
War jetzt meine rechnung falsch?
Ich dachte , dass man jeweils die x und y werte kombinieren muss um 100 % sagen zu können , welche punkte die richtigen Maxima und minima punkte sind.
Ich glaübe wenn der linkere obere Punkt in der matrix minus ist , dann kann man doch sagen dass ein minimum vorliegt oder?
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Hallo Kevin22,
> War jetzt meine rechnung falsch?
>
> Ich dachte , dass man jeweils die x und y werte kombinieren
> muss um 100 % sagen zu können , welche punkte die
> richtigen Maxima und minima punkte sind.
>
Jedem y-Wert, den Du herausbekommen hast,
ist ein x-Wert zugeordnet.
> Ich glaübe wenn der linkere obere Punkt in der matrix
> minus ist , dann kann man doch sagen dass ein minimum
> vorliegt oder?
Nein.
Falls die Hauptminoren dieser Matrix alle positiv sind,
so handelt es sich um ein Minimum.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Obwohl ich schon die matrix als foto schon gepostet hab schreibe ich sie nochmal mit dem editor .
Sind das die drei richtigen Matrix:
(
0 3
3 0
2te
-9 3
3 -9
dritte
(
-9 3
3 -9
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Hallo Kevin22,
> Obwohl ich schon die matrix als foto schon gepostet hab
> schreibe ich sie nochmal mit dem editor .
>
> Sind das die drei richtigen Matrix:
>
> (
>
> 0 3
>
> 3 0
>
>
> 2te
>
> -9 3
>
> 3 -9
>
>
> dritte
>
> (
>
> -9 3
>
> 3 -9
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Bei der ersten matrix bekomme ich als Minor:
-9 also Maximum
Bei der zweiten : 72 also minimum
Bei der dritten wieder 72 also minimum
Bin ich jetzt mit der aufgabe fertig oder muss ich noch was machen?
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Hallo Kevin22,
> Bei der ersten matrix bekomme ich als Minor:
>
> -9 also Maximum
>
> Bei der zweiten : 72 also minimum
>
> Bei der dritten wieder 72 also minimum
>
> Bin ich jetzt mit der aufgabe fertig oder muss ich noch was
> machen?
Es sind alle Hauptminoren einer (2,2)-Matrix zu bestimmen.
Bei einer (2,2)-Matrix sind die Hauptminoren das erste Diagonalelement,
also das Element, das in der 1. Zeile und 1. Spalte steht.
Der zweite Hauptminor einer (2,2)-Matrix
ist die Determinante dieser Matrix.
Sind beide Hauptminoren positiv,
so handelt es sich um ein Minimum.
Haben beide Minoren unterschiedliche Vorzeichen,
so handelt es sich um ein Maximum.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Tut mir leid mathepower ich hab noch nicht so ganz verstanden , ich habe ja die determinanten von den drei Matrizen berechnet , war das jetzt flasch? Was soll ich den genau jetzt machen? Kannst du mir bitte jetzt genau sagen, weil ich stecke jetzt an dieser AUfgabe ziemlich lange fest.
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Hallo Kevin22,
> Tut mir leid mathepower ich hab noch nicht so ganz
> verstanden , ich habe ja die determinanten von den drei
> Matrizen berechnet , war das jetzt flasch? Was soll ich den
> genau jetzt machen? Kannst du mir bitte jetzt genau sagen,
> weil ich stecke jetzt an dieser AUfgabe ziemlich lange
> fest.
Jetzt kommt es daraus an, welches Vorzeichen das Element in
der ersten Zeile und ersten Spalte der Matrix hat.
[mm]\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}[/mm]
Es kommt also darauf an, welches Vorzeichen [mm]a_{11}[/mm] hat.
Die Hauptminoren sind dann: [mm]a_{11}, \ a_{11}*a_{22}-a_{21}*a_{12}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ok bei der ersten matrix ist das vorzeichen +0 halt.
Bei der zweiten und dritten jeweils -.
Dann könnte ich ja sagen das bei der ersten matrix auch ein Minimum vorliegt oder?
Bei der zweiten und dritten matrix aber ein maximum , weli der Wert der ersten Zeile und Spalte ein minusvorzeichen hat.
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Hallo Kevin22,
> Ok bei der ersten matrix ist das vorzeichen +0 halt.
>
> Bei der zweiten und dritten jeweils -.
>
> Dann könnte ich ja sagen das bei der ersten matrix auch
> ein Minimum vorliegt oder?
>
Nein, das kannst Du nicht sagen.
Beachte dazu den Hinweis in der Aufgabe.
> Bei der zweiten und dritten matrix aber ein maximum , weli
> der Wert der ersten Zeile und Spalte ein minusvorzeichen
> hat.
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hinweis Im Punkt ( 0 / 0 ) empfiehtt es sich, Folgen der Form ( 1/n , 1/n ) und ( 1/n / 0 ).
Die Folge 1/n geht ja gegen 0 , aber inwieweit hilft mir das weiter.
Jetzt langsam bin ich mit meinem Wissen am ende, hier musst du mir bitte ein wenig auf die sprünge helfen.
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Hallo Kevin22,
> Hinweis Im Punkt ( 0 / 0 ) empfiehtt es sich, Folgen der
> Form ( 1/n , 1/n ) und ( 1/n / 0 ).
>
> Die Folge 1/n geht ja gegen 0 , aber inwieweit hilft mir
> das weiter.
>
> Jetzt langsam bin ich mit meinem Wissen am ende, hier musst
> du mir bitte ein wenig auf die sprünge helfen.
Setze die beiden Folgen in f(x,y) ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
f( x , y) = [mm] -x^4 [/mm] +3xy [mm] -y^4 [/mm]
Punkt ( 1/n / 1/n )
- [mm] \bruch{1}{n^4} [/mm] + 3* [mm] \bruch{1}{n^4}*\bruch{1}{n^4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^4}
[/mm]
Habs zusammengefasst und bekomme das raus:
- [mm] \bruch{2}{n^4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{n^8}
[/mm]
Für den zweiten Punkt bekomme ich nur - [mm] \bruch{1}{n^4} [/mm] raus.
Aber was sagen mir die ergebnisse ?
- [mm] \bruch{1}{n^4} [/mm] geht gegen 0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 So 05.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> f( x , y) = [mm]-x^4[/mm] +3xy [mm]-y^4[/mm]
>
> Punkt ( 1/n / 1/n )
>
> - [mm]\bruch{1}{n^4}[/mm] + 3* [mm]\bruch{1}{n^4}*\bruch{1}{n^4}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{n^4}[/mm]
Das stimmt doch nicht.
Es ist f(1/n,1/n)= [mm]-\bruch{2}{n^4}[/mm] + [mm]\bruch{3}{n^2}[/mm]
>
> Habs zusammengefasst und bekomme das raus:
> - [mm]\bruch{2}{n^4}[/mm] + [mm]\bruch{3}{n^8}[/mm]
>
> Für den zweiten Punkt bekomme ich nur - [mm]\bruch{1}{n^4}[/mm]
> raus.
>
> Aber was sagen mir die ergebnisse ?
Es ist f(1/n,1/n)>0=f(0,0)>f(1/n,0) für alle n. Kann f in (0,0) ein Extremum haben ?
FRED
>
> - [mm]\bruch{1}{n^4}[/mm] geht gegen 0 ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 05.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Der erste Punkt müsste ein minimum sein da > 0 .
Der zweite bei [mm] -1/n^4 [/mm] ein Maximum aber was bedeutet das für meinen Punkt ( 0 / 0 )
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Hallo,
versuche bitte, Dich klar und deutlich auszudrücken, also so, daß man weiß, worüber Du gerade sprichst.
Dann kann man auch klar und deutlich antworten.
> Der erste Punkt müsste ein minimum sein da > 0 .
Welcher erste Punkt? Sag doch von welchem Punkt Du redest!
Was meinst Du mit "da > 0"?
Was ist größer als Null? Der Punkt? Wohl kaum...
Wieso folgt aus ">0", daß es ein Minimum ist?
>
> Der zweite bei [mm]-1/n^4[/mm] ein Maximum
???
Welcher zweite?
Was meinst Du damit?
Du argumentierst irgendwie seltsam...
Ist Dir rein anschaulich klar, was "Minimum"und "Maximum" bedeuten?
Beim Minimum gibt's drumherum nix Kleineres, beim Maximum gibt's drumherum nix Größeres.
>aber was bedeutet das
> für meinen Punkt ( 0 / 0 )
Am Punkt (0|0) ist der Funktionswert f(0,0)=0.
Fred hat Dir gezeigt, daß man - mal in Hausfrauensprache ausgedrückt - beliebig dicht am Punkt (0|0) dran Punkte findet, deren Funktionswerte größer bzw. kleiner als f(0,0) sind.
Nun solltest Du mal drüber nachdenken, was das für den Punkt (0|0) bedeutet. Liegt hier ein Max vor, ein Min, oder keins von beidem?
LG Angela
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 05.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Es ist f(1/n,1/n)>0=f(0,0)>f(1/n,0) für alle n. Kann f in (0,0) ein Extremum haben ?
Woran merke ich das denn ?
Es hat auf jeden Fall ein Extremum aber oran erkenne ich das an dieser Bedingung ob ein Maximum oder Minimum vorliegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 So 05.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
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> Es ist f(1/n,1/n)>0=f(0,0)>f(1/n,0) für alle n. Kann f in
> (0,0) ein Extremum haben ?
>
> Woran merke ich das denn ?
Was bedeutet denn Freds Gleichungskette für f(0,0)?
[mm]-\frac{2}{n^4}+\frac{3}{n^2}=f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)>\underbrace{0}_{\red{=f(0,0)}}>f\left(\frac{1}{n},0\right)=-\frac{1}{n^4} [/mm]
> Es hat auf jeden Fall ein Extremum aber oran erkenne ich
> das an dieser Bedingung ob ein Maximum oder Minimum
> vorliegt?
Überlege nochmal, ob du wirklich bei der Behuaptung bleibst, f(0,0) sei eine Extremstelle.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 05.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Aber warum soll es keine geben?
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Hallo Kevin22,
> Aber warum soll es keine geben?
Weil es in einer Umgebung des Punktes (0,0), Werte gibt,
die sowohl größer als auch kleiner 0 sind.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 05.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Kann es sein , dass es sich um einen sattelpunkt handelt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 So 05.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Kann es sein , dass es sich um einen sattelpunkt handelt?
Es kann, es kann aber auch nicht.
Ihr habt doch sicherlich Verfahren kennengelernt, um die Existenz eines Sattelpunktes zu belegen.
Nutze diese.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 So 05.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Oh nein wir mache ich das jetzt?
Bitte hilft mir und danke für eure Geduld.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 So 05.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Oh nein wir mache ich das jetzt?
> Bitte hilft mir und danke für eure Geduld.
Suche die die Kriterien für einen Sattelpunkt heraus, und schaue, ob diese für P(0/0), also x=0 und y=0 erfüllt sind.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 05.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Das sattelpunkt kriterium ist nach meinem skript der, wenn
fxx < 0 dann liegt ein sattelpunkt vor.
Bei uns ist es genau 0 , also muss ein sattelpunkt sein.
Reicht das aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 05.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Das sattelpunkt kriterium ist nach meinem skript der, wenn
> fxx < 0 dann liegt ein sattelpunkt vor.
>
> Bei uns ist es genau 0 , also muss ein sattelpunkt sein.
> Reicht das aus?
Hier wirfst du einiges durcheinander. Außerdem widersprichst du deiner falschen Behauptung.
Du bist hier im mehrdimensionalen unterwegs, dort gilt: Die notwendige Bedingung, dass die Funktion f einen Sattelpunkt an der Stelle [mm] \overline{x_{0}}=(x_{0}/y_{0}), [/mm] hier [mm] \overline{x_{0}}=(0/0) [/mm] hat, ist, dass alle partiellen Ableitungen an [mm] \overline{x_{0}} [/mm] gleich Null sind.
Die hinreichende Bedingung ist, dass die Hesse-Matrix dort indefinit ist.
Prüfe das mit deiner Funktion f und (0/0)
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:32 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Wie mache ich das genau rechnerisch?
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> Wie mache ich das genau rechnerisch?
Hallo,
geht es Dir gerade darum, wie Du anhand der Hessematrix feststellen kannst, ob es sich um ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt handelt?
Gehen wir also davon aus, Du hast durch Nullsetzen des Gradienten einen kritischen Punkt [mm] P_0(x_0|y_0) [/mm] bestimmt und nun die Hessematrix
[mm] H_f(x_0,y_0)=\pmat{f_x_x(x_0,y_0)&f_x_y(x_0, y_0)\\f_y_x(x_0,y_0)&f_y_y(x_0,y_0)}
[/mm]
aufgestellt.
Ist nun
1.
[mm] detH_f(x_0,y_0)>0 [/mm] und [mm] f_x_x(x_0,y_0)>0, [/mm] so hast Du ein Minimum an der Stelle [mm] (x_0,y_0),
[/mm]
2.
[mm] detH_f(x_0,y_0)>0 [/mm] und [mm] f_x_x(x_0,y_0)<0, [/mm] so hast Du ein Maximum an der Stelle [mm] (x_0,y_0),
[/mm]
3.
[mm] detH_f(x_0,y_0)<0, [/mm] so hast Du einen Sattelpunkt an der Stelle [mm] (x_0, y_0).
[/mm]
Trifft keiner der drei Fälle zu, so muß man anders als mit der Hessematrix eine Entscheidung treffen.
So, nun kommt Dein Job:
nenne den Punkt, den Du gerade untersuchen möchtest,
sag die zugehörige Hessematrix,
berechne in aller Ausführlichkeit, was ich oben gesagt habe und ziehe Deine Schlüsse daraus.
Keine Scans, kein Laberlaber. Konkretes müssen wir hier sehen.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Aus Wiki (ist zwar nicht die heilige Schrift, im vorliegenden Fall stimmts aber):
In der Mathematik bezeichnet man als Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt einen kritischen Punkt einer Funktion, der kein Extrempunkt ist.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Kevin22,
>
> > Aber warum soll es keine geben?
>
> Weil es in einer Umgebung des Punktes (0,0), Werte gibt,
> die sowohl größer als auch kleiner 0 sind.
Hallo Mathepower,
"in einer Umgebung" reicht nicht. Es muß lauten: "in jeder Umgebung" .
Beispiel: die Funktion [mm] f(x)=2x^3-3x^2 [/mm] hat in [mm] x_0=0 [/mm] ein lok. Max. U:= [mm] \IR [/mm] ist eine Umgebung von [mm] x_0. [/mm] f nimmt in U Funktionswerte an , die die sowohl größer als auch kleiner [mm] f(x_0)=0 [/mm] sind.
Gruß FRED
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
> Obwohl ich schon die matrix als foto schon gepostet hab
> schreibe ich sie nochmal mit dem editor .
>
> Sind das die drei richtigen Matrix:
>
> (
>
> 0 3
>
> 3 0
>
>
> 2te
>
> -9 3
>
> 3 -9
>
>
> dritte
>
> (
>
> -9 3
>
> 3 -9
Hatte ich doch bereits gemacht , die erste matrix ist die hessematrix vom Punkt ( 0/0) . Die Determinante ist -9. Ist es damit bewiesen?
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> > Obwohl ich schon die matrix als foto schon gepostet hab
> > schreibe ich sie nochmal mit dem editor .
> >
> > Sind das die drei richtigen Matrix:
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> > (
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> > 0 3
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> > 3 0
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> > 2te
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> > -9 3
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> > 3 -9
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> >
> > dritte
> >
> > (
> >
> > -9 3
> >
> > 3 -9
>
> Hatte ich doch bereits gemacht ,
Hallo,
Du kannst davon ausgehen, daß nicht jeder Lust hat, einen 3.75m langen Thread zu durchwühlen.
> die erste matrix ist die
> hessematrix vom Punkt ( 0/0) .
Achso.
(Ich frage mich halt, warum Du es nicht so aufschreibst, daß deutlich ist, welche Matrix zu welchem Punkt gehört.)
> Die Determinante ist -9. Ist
> es damit bewiesen?
Ich weiß grad nicht genau, was Du mit "es" meinst, aber:
ja, man kann nun mithilfe des hinreichenden Kriteriums sagen, von welcher Art der kritische Punkt ist.
LG Angela
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ja aber was genau muss ich noch machen damit ich mit der Aufgabe fertig werde?
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> Ja aber was genau muss ich noch machen damit ich mit der
> Aufgabe fertig werde?
Hallo,
ich bin mir wirklich nicht ganz sicher, ob Du "echt" bist oder jemand, der seine Späßchen mit uns treibt...
Ich weiß ja gar nicht, was Du schon alles gemacht hast und wie Du es notiert hast...
Es kommt ja, wenn es darum geht, ob man Punkte auf die Aufgabe bekommt oder nicht, auch wesentlich darauf an, ob man es schlüssig und nachvollziehbar aufgeschrieben hat.
Zu tun ist dies:
1. partielle Ableitungen hinschrieben
2. partielle Ableitungen =0 setzen und das Gleichungssystem lösen
3. Die Lösungen, die man erhält, sind die kritischen Punkte, an denen Extremwerte vorliegen könnten.
Diese sind nun zu nötieren mit dem Satz: "Hier könnten Extremstellen vorliegen."
4. 2.partielle Ableitungen hinschreiben, Hessematrix für den allgemeinen Punkt (x,y) hinschreiben, also [mm] H_f(x,y)=...
[/mm]
5. Nun alle kritischen Punkte getrennt untersuchen.
Jeweils:
5a. Hinschreiben, welcher Punkt gerade untersucht wird.
5b. Hessematrix für den zu untersuchenden Punkt hinschreiben
5c. Determinante und Elelemnt von links oben hinschreiben.
5d. Anhand der Kriterien, die ich Dir genannt habe, feststellen, um welche Art von Punkt es sich handelt und einen klaren, deutlichen Abschlußsatz schreiben: "An der Stelle ... liegt ein ... vor."
LG Angela
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