Gleichung nach n auflösen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 So 02.07.2006 | | Autor: | Julia_1 |
| Aufgabe | [mm] 30000*1,05^n [/mm] + 5000* [mm] \bruch{1,05^n-1}{0,05} [/mm] = 500000
nach "n" auflösen |
Hallo.
Ich schaffe es nicht, o.g. Gleichung so nach n aufzulösen, dass ich für n=31,3 (das Ergebnis stimmt!) rausbekomme.
Kann mir bitte jemand den Lösungsweg detailliert aufschreiben?
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Hi, Julia,
Du musst so lange umformen, bis Du [mm] 1,05^{n} [/mm] isoliert hast. Dann ist der Rest einfach.
Ein paar Hilfen:
> [mm]30000*1,05^n[/mm] + 5000* [mm]\bruch{1,05^n-1}{0,05}[/mm] = 500000
[mm] 5000*\bruch{1,05^{n}-1}{0,05} [/mm] schreibst Du besser als:
[mm] \bruch{5000}{0,05}*(1,05^{n}-1) [/mm] = [mm] 100000*(1,05^{n}-1)
[/mm]
Jetzt dividiere erst mal die gesamte Gleichung durch 10000, dann werden die Zahlen kleiner:
[mm] 3*1,05^{n} [/mm] + [mm] 10*(1,05^{n}-1) [/mm] = 50
Ausmultiplizieren der Klammer, zusammenfassen der Summanden mit [mm] 1,05^{n}, [/mm] usw.
Am Schluss logarithmieren, dann kommt's richtig raus:
n = 31,346...
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 So 02.07.2006 | | Autor: | Julia_1 |
Hi Zwerglein.
Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich hatte es etwas anders probiert:
[mm] 30000*1,05^n [/mm] + 5000* [mm] \bruch{1,05^n-1}{0,05} [/mm] = 500000
um die 0,05 wegzubekommen, habe ich die ganze Gleichung mit 0,05 mal genommen:
[mm] 1500*1,05^n [/mm] + 250* [mm] (1,05^n-1) [/mm] = 25000
dann habe ich durch 250 geteilt:
[mm] 6*1,05^n [/mm] + [mm] 1,05^n-1 [/mm] = 100
dann habe ich die [mm] 1,05^n [/mm] "isoliert" und die "1" rübergebracht:
[mm] 1,05^n [/mm] * (6+1) = 101
n = ln ( [mm] \bruch{101}{6+1}) [/mm] / ln 1,05
n = 54,71
Das Ergebnis ist was doppelt so groß. Habe ich irgend welche mathematischen Grundrechenregeln außer Acht gelassen oder wo habe ich einen (mehrere?) Fehler gemacht?
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Hallo Julia!
Erst mal ein kleiner Tipp: Wenn du deine Umformungen direkt gepostet hättest, hätte Zwerglein sich nicht die Mühe machen müssen, und es selber auf seine Art zu rechnen. Und wir hätten deinen Fehler direkt finden können. 
> [mm]30000*1,05^n[/mm] + 5000* [mm]\bruch{1,05^n-1}{0,05}[/mm] = 500000
>
> um die 0,05 wegzubekommen, habe ich die ganze Gleichung mit
> 0,05 mal genommen:
>
> [mm]1500*1,05^n[/mm] + 250* [mm](1,05^n-1)[/mm] = 25000
Hier ist schon direkt ein Fehler. Wenn du ein Produkt mit 0,05 multiplizierst, darfst du nur einen der beiden Faktoren mit 0,05 multiplizieren. Du hast aber sowohl den Bruch damit multipliziert (das war ja Sinn, um den Bruch gerade wegzubekommen), und noch die 5000 davor. Das ist zuviel - die 5000 muss stehen bleiben.
Wenn du dann damit weiterrechnest - kommt es dann hin? Ich habe es nicht mehr nachgerechnet...
Viele Grüße
Bastiane
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