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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:58 Di 30.12.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe |
Prüfen Sie ob sich die Gerade g durch die Punkte A und B und die
Strecke CD schneiden !
a) $A [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] B [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 3} [/mm] C [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 3} [/mm] D [mm] \vektor{-4 \\ 5 \\ 9}$
[/mm]
b) $A [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1} [/mm] B [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] C [mm] \vektor{6 \\ 5 \\ 3} [/mm] D [mm] \vektor{8 \\ 6 \\ 4}$
[/mm]
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a)A [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] B [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 3} [/mm] C [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 3} [/mm] D [mm] \vektor{-4 \\ 5 \\ 9}
[/mm]
Zuerst stelle ich die Geradengleichung g (mit den Punkten A und B), dann die Geradengleichung h (mit den Punkten C und D) auf. Dann setze ich die Geradengleichungen gleich, um einen Schnittpunkt S zu ermitteln. Wenn die Skalare [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] je einen Wert ergeben, gibt es einen Schnittpunkt S. Wenn zusätzlich gilt: 0 [mm] \le \mu \le [/mm] 1, dann liegt S auf [mm] \overline{CD} [/mm] !
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}+\lambda\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\vektor{2 \\ 5 \\ 3}+\mu\vektor{-6 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
Schnittpunkt [mm] S(S_1|S_2|S_3)=\vec{S}=\vektor{S_1 \\ S_2 \\ S_3} [/mm] wird durch Gleichsetzen der Geradengleichungen ermittelt:
[mm] \vektor{S_1 \\ S_2 \\ S_3}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}+\lambda\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}=\vektor{2 \\ 5 \\ 3}+\mu\vektor{-6 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
als LGS geschrieben:
I 1 - [mm] \lambda [/mm] = 2 - [mm] 6\mu
[/mm]
II 2 + [mm] \lambda [/mm] = 5 + [mm] 0\mu \Rightarrow \lambda [/mm] = 3 eingesetzt in I und III
III 1 + [mm] 2\lambda [/mm] = 3 + [mm] 6\mu
[/mm]
ergibt:
I 1 - 3 = 2 - [mm] 6\mu \Rightarrow \mu [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
II 1 + 6 = 3 + [mm] 6\mu \Rightarrow \mu [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Damit gibt es einen Schnittpunkt S, der auf g und wegen 0 [mm] \le \mu \le [/mm] 1 auch auf [mm] \overline{CD} [/mm] liegt !
Den genauen Wert von S brauchte man laut Aufgabenstellung nicht ermitteln !
b)A [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1} [/mm] B [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] C [mm] \vektor{6 \\ 5 \\ 3} [/mm] D [mm] \vektor{8 \\ 6 \\ 4}
[/mm]
Vorgehensweise wie bei Aufgabe a):
[mm] g:\vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1}+\lambda\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\vektor{6 \\ 5 \\ 3}+\mu\vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{S_1 \\ S_2 \\ S_3}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1}+\lambda\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}=\vektor{6 \\ 5 \\ 3}+\mu\vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
als LGS geschrieben:
I 3 - [mm] \lambda [/mm] = 6 + [mm] 2\mu
[/mm]
II 3 - [mm] \lambda [/mm] = 5 + [mm] \mu
[/mm]
III 1 - [mm] \lambda [/mm] = 3 + [mm] \mu \Rightarrow \mu [/mm] = - 2 [mm] -\lambda [/mm] setze in I und II ein:
I 3 - [mm] \lambda [/mm] = 6 - 4 - [mm] 2\lamda \Rightarrow \lambda [/mm] = -1 [mm] \Rightarrow \mu [/mm] = -1
Damit gibt es zwar einen Schnittpunkt (von g und h) S. Dieser liegt aber wegen [mm] \mu [/mm] < 0 nicht auf [mm] \overline{AB}
[/mm]
Schorsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 So 26.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Korrekt gelöst.
Gruß
Loddar
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