Funktionsschar - Wendestellen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:44 Fr 09.09.2005 | | Autor: | der_benni |
Hallo mal wieder,
heute stehe ich vor einer Funktionsschar - und komme da nicht weiter. Ich zeige euch erst mal, wo ich bin:
[mm]f_{t}(x)=\bruch{1}{4}x^{4}-t^{2}x^{2}[/mm] wobei [mm]t\ge0[/mm].
[mm]t=0[/mm] ist also Sonderfall und wird gesondert behandelt.
Die Aufgabe lautet: "Untersuchen Sie [mm]f_{t}[/mm] (unter Beachtung des Sonderfalles [mm]t=0[/mm]) und zeichnen Sie für [mm]t=0[/mm] und [mm]t=1[/mm] die Graphen [mm]G_{0}[/mm] und [mm]G_{1}[/mm]."
Nullstellen sind kein Problem.
Bei den Waagpunkten gefällt mir das schon weniger:
[mm]f_{t}'(x)=x^3-2t^{2}x[/mm]
[mm]x^3-2t^{2}x=0[/mm]
[mm]x(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
[mm]x_{5_die_restlichen_vier_sind_die_Nullstellen}=0\vee(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
[mm] x^2=2t^2
[/mm]
[mm] x_{6,7}=\pm\wurzel{2}t
[/mm]
Entsprechend sind die Waagpunkte für t>0 ([mm]+\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]) und ([mm]-\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]). Waagpunkt für t=0 ist folglich ([mm]0[/mm]|[mm]0[/mm]) - hoffe ich doch.
Nur wie komme ich jetzt an Hoch- und Tiefpunkte? Durch die Quadratur beim Einsetzen komme ich doch- sowohl in der 2. Ableitung als auch in der Originalfunktion auf identische Werte für die Wurzeln - die Punkte liegen auf gleicher Höhe?! Das ist doch nur möglich, wenn sie mit der Wendestelle zusammenfallen, oder? Irgendwie habe ich wieder das Gefühl direkt davor zu stehen - und nicht weiter zu kommen
Freue mich über Hinweise, danke für eure Mühen
der_benni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo der_benni!
> [mm]f_{t}(x)=\bruch{1}{4}x^{4}-t^{2}x^{2}[/mm] wobei [mm]t\ge0[/mm].
> [mm]t=0[/mm] ist also Sonderfall und wird gesondert behandelt.
>
> Die Aufgabe lautet: "Untersuchen Sie [mm]f_{t}[/mm] (unter Beachtung
> des Sonderfalles [mm]t=0[/mm]) und zeichnen Sie für [mm]t=0[/mm] und [mm]t=1[/mm] die
> Graphen [mm]G_{0}[/mm] und [mm]G_{1}[/mm]."
>
> Nullstellen sind kein Problem.
>
> Bei den Waagpunkten gefällt mir das schon weniger:
Was sind denn Waagpunkte? Das habe ich noch nie gehört, und google gibt auch nicht wirklich was her...
> [mm]f_{t}'(x)=x^3-2t^{2}x[/mm]
> [mm]x^3-2t^{2}x=0[/mm]
> [mm]x(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
>
> [mm]x_{5_die_restlichen_vier_sind_die_Nullstellen}=0\vee(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
Was meinst du hiermit? Was für restliche vier und was für Nullstellen??? Ich versteh hier irgendwie gar nichts. :-(
> [mm]x^2=2t^2[/mm]
> [mm]x_{6,7}=\pm\wurzel{2}t[/mm]
>
> Entsprechend sind die Waagpunkte für t>0
> ([mm]+\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]) und ([mm]-\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]). Waagpunkt für
> t=0 ist folglich ([mm]0[/mm]|[mm]0[/mm]) - hoffe ich doch.
Also, ich vermute mal, dass du hier die Nullstellen der Ableitung berechnen wolltest. Die x-Werte sind auch alle richtig, aber wie du jetzt den Waagpunkt ausgerechnet hast, verstehe ich nicht. Und wofür überhaupt? Du benötigst doch nur den x-Wert der Stelle, an der die Ableitung 0 wird. Und jetzt musst du nur noch untersuchen, wie die zweite Ableitung an dieser Stelle (also wenn du diesen x-Werte einsetzt) aussieht.
> Nur wie komme ich jetzt an Hoch- und Tiefpunkte? Durch die
> Quadratur beim Einsetzen komme ich doch- sowohl in der 2.
> Ableitung als auch in der Originalfunktion auf identische
> Werte für die Wurzeln - die Punkte liegen auf gleicher
> Höhe?! Das ist doch nur möglich, wenn sie mit der
> Wendestelle zusammenfallen, oder? Irgendwie habe ich wieder
> das Gefühl direkt davor zu stehen - und nicht weiter zu
> kommen
Leider verstehe ich auch hier nicht so ganz, was du meinst. Aber das Prinzip ist doch folgendes: Du berechnest die Nullstellen der ersten Ableitung. Nun setzt du diese Stellen in die zweite Ableitung ein. Wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle >0 ist, haben wir einen Tiefpunkt, wenn die zweite Ableitung dort <0 ist haben wir einen Hochpunkt. Und wenn sie =0 ist können wir erst mal keine Aussage machen.
> Freue mich über Hinweise, danke für eure Mühen
Zu beachten wäre evtl. noch, dass du beim Überprüfen der 2. Ableitung beachten musst, dass [mm] t\ge [/mm] 0 ist, ansonsten müsstest du eine Fallunterscheidung machen. Die könnte aber für t=0 noch nötig sein. Sonst weiß ich leider nicht, wie ich dir noch helfen kann.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Hallo der_benni!
Aloha Bastiane!
Erst einmal ein Danke für deine Bemühungen. Werde versuchen Dir meine Probleme noch mal deutlicher darzustellen.
>
> > [mm]f_{t}(x)=\bruch{1}{4}x^{4}-t^{2}x^{2}[/mm] wobei [mm]t\ge0[/mm].
> > [mm]t=0[/mm] ist also Sonderfall und wird gesondert behandelt.
> >
> > Die Aufgabe lautet: "Untersuchen Sie [mm]f_{t}[/mm] (unter Beachtung
> > des Sonderfalles [mm]t=0[/mm]) und zeichnen Sie für [mm]t=0[/mm] und [mm]t=1[/mm] die
> > Graphen [mm]G_{0}[/mm] und [mm]G_{1}[/mm]."
> >
> > Nullstellen sind kein Problem.
> >
> > Bei den Waagpunkten gefällt mir das schon weniger:
>
> Was sind denn Waagpunkte? Das habe ich noch nie gehört, und
> google gibt auch nicht wirklich was her...
Ich kenne den Ausdruck halt nur über meinen Mathelehrer - und bin daher davon ausgegangen, dass er mehr oder minder allgemein gebräuchlich wäre. Waagpunkte sind die Stellen einer Funktion, an denen die erste Ableitung null ist. Waagpunkte deshalb, weil (geometrische Interpretation) die Tangente an diesen Stellen des Graphes waagerecht ist.
>
> > [mm]f_{t}'(x)=x^3-2t^{2}x[/mm]
> > [mm]x^3-2t^{2}x=0[/mm]
> > [mm]x(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
> >
> >
> [mm]x_{5_die_restlichen_vier_sind_die_Nullstellen}=0\vee(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
>
> Was meinst du hiermit? Was für restliche vier und was für
> Nullstellen??? Ich versteh hier irgendwie gar nichts. :-(
Die restlichen vier bezogen sich darauf, dass ich das X hier mit dem Index 5 versehen hatte. Die anderen "X'sse" :) (1-4) sind die Lösungen für das Nullsetzen der Originalfunktion - vierten Gerades, daher vier Lösungen.
>
> > [mm]x^2=2t^2[/mm]
> > [mm]x_{6,7}=\pm\wurzel{2}t[/mm]
> >
> > Entsprechend sind die Waagpunkte für t>0
> > ([mm]+\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]) und ([mm]-\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]). Waagpunkt für
> > t=0 ist folglich ([mm]0[/mm]|[mm]0[/mm]) - hoffe ich doch.
>
> Also, ich vermute mal, dass du hier die Nullstellen der
> Ableitung berechnen wolltest.Genau! Die x-Werte sind auch alle
> richtig, aber wie du jetzt den Waagpunkt ausgerechnet hast,
> verstehe ich nicht. Und wofür überhaupt? Du benötigst doch
> nur den x-Wert der Stelle, an der die Ableitung 0 wird. Klar, so weit sind wir uns absolut einig - und bis dahin war ich mir ja auch einigermaßen sicher. Und
> jetzt musst du nur noch untersuchen, wie die zweite
> Ableitung an dieser Stelle (also wenn du diesen x-Werte
> einsetzt) aussieht.[green] Und genau das ist dann mein Problem. Das (oder die...) Ergebnis, das ich als Lösung habe, was du ja auch bestätigen konntest, sind doch Wurzeln.
> > Entsprechend sind die Waagpunkte für t>0
> > ([mm]+\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]) und ([mm]-\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]). Waagpunkt für
> > t=0 ist folglich ([mm]0[/mm]|[mm]0[/mm]) - hoffe ich doch.
Setze ich die jetzt in die Originalfunktion ein um die entsprechenden Y-Ordinaten zu bekommen, so erhalte ich doch für beide das gleiche Ergebnis, je [mm]-t^4[/mm]. Es ist halt unwesentlich ob der Wert positiv oder negativ ist - der Betrag ist doch hier wesentlich (gerader Exponent). Nur so ist doch die Unterscheidung zwischen Hoch- und Tiefpunkt nicht zu machen, die liegen doch beide (offensichtlich) auf der gleichen Höhe. Das in die zweite Ableitung einzusetzen - klar, mein Ansatz. Nur auch hier wird doch das Einzusetzende wieder quadriert (es steht doch sowohl [mm] x^2 [/mm] also auch [mm] t^2 [/mm] (mit weiteren Koeffizienten und Vorzeichen) in der zweiten Ableitung) - ist so eine Unterscheidung möglich? Genau hier setzt meine Frage und das Ende meines Wissens an - wie unterscheide ich das jetzt?
>
> > Nur wie komme ich jetzt an Hoch- und Tiefpunkte? Durch die
> > Quadratur beim Einsetzen komme ich doch- sowohl in der 2.
> > Ableitung als auch in der Originalfunktion auf identische
> > Werte für die Wurzeln - die Punkte liegen auf gleicher
> > Höhe?! Das ist doch nur möglich, wenn sie mit der
> > Wendestelle zusammenfallen, oder? Irgendwie habe ich wieder
> > das Gefühl direkt davor zu stehen - und nicht weiter zu
> > kommen
>
> Leider verstehe ich auch hier nicht so ganz, was du meinst.
> Aber das Prinzip ist doch folgendes: Du berechnest die
> Nullstellen der ersten Ableitung. Nun setzt du diese
> Stellen in die zweite Ableitung ein. Wenn die zweite
> Ableitung an dieser Stelle >0 ist, haben wir einen
> Tiefpunkt, wenn die zweite Ableitung dort <0 ist haben wir
> einen Hochpunkt. Und wenn sie =0 ist können wir erst mal
> keine Aussage machen.
Genau hier noch mal meine Frage, gibt es hier keinen Weg daran vorbei? Vielleicht können wir das Einsetzen einfach noch einmal zusammen durchgehen?
Ich nehme mal die positive Wurzel, also [mm]X_{5}[/mm]: [mm]\bruch{x}{+\wurzel{2}}=t[/mm]
Das setze ich dann jetzt in die zweite Ableitung ein: [mm]f_{t}''(x)=3x^2-2t^2[/mm]
also: [mm]f_{t}''(x)=3x^2-2(\bruch{x}{+\wurzel{2}})^2[/mm]
[mm]3x^2-x^2[/mm]
[mm]2x^2[/mm] - nur gilt das doch exakt genau <-- so auch für den anderen Wert, oder? Siehst du jetzt deutlicher mein Problem?
>
> > Freue mich über Hinweise, danke für eure Mühen
>
> Zu beachten wäre evtl. noch, dass du beim Überprüfen der 2.
> Ableitung beachten musst, dass [mm]t\ge[/mm] 0 ist, ansonsten
> müsstest du eine Fallunterscheidung machen. Die könnte aber
> für t=0 noch nötig sein. Sonst weiß ich leider nicht, wie
> ich dir noch helfen kann.
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Danke Dir noch mal für deine Mühen, freu' mich auf weitere Hinweise
der_benni
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Hallo der_benni!
Direkt mal eine Bitte: Wenn du direkt zu meinem Text was schreibst (was ich in der Regel sehr gerne habe  ), dann schreibe es doch aber bitte in die Zeile drunter. Du kannst ja mit "Enter" meinen (zitierten) Text einfach unterbrechen. Ansonsten wird das, was du schreibst, nämlich auch als zitiert gewertet und grau, und auch das Grün-Grau, das du benutzt hast, ist nicht wirklich auffallend, so dass ich vllt irgendwas von dir jetzt sogar übersehen habe. 
> > > [mm]f_{t}(x)=\bruch{1}{4}x^{4}-t^{2}x^{2}[/mm] wobei [mm]t\ge0[/mm].
> > > [mm]t=0[/mm] ist also Sonderfall und wird gesondert
> behandelt.
> > >
> > > Die Aufgabe lautet: "Untersuchen Sie [mm]f_{t}[/mm] (unter Beachtung
> > > des Sonderfalles [mm]t=0[/mm]) und zeichnen Sie für [mm]t=0[/mm] und [mm]t=1[/mm] die
> > > Graphen [mm]G_{0}[/mm] und [mm]G_{1}[/mm]."
> > >
> > > Nullstellen sind kein Problem.
> > >
> > > Bei den Waagpunkten gefällt mir das schon weniger:
> >
> > Was sind denn Waagpunkte? Das habe ich noch nie gehört, und
> > google gibt auch nicht wirklich was her...
>
> Ich kenne den Ausdruck halt nur über meinen Mathelehrer -
> und bin daher davon ausgegangen, dass er mehr oder minder
> allgemein gebräuchlich wäre. Waagpunkte sind die Stellen
> einer Funktion, an denen die erste Ableitung null ist.
> Waagpunkte deshalb, weil (geometrische Interpretation) die
> Tangente an diesen Stellen des Graphes waagerecht ist.
Aha. Bei einer Nachhilfeschülerin hieß es glaube ich stationäre Stellen... Jetzt hab ich ja wieder was gelernt. Aber mit "Nullstellen der Ableitung" weiß glaub' ich jeder, was gemeint ist.
> > > [mm]f_{t}'(x)=x^3-2t^{2}x[/mm]
> > > [mm]x^3-2t^{2}x=0[/mm]
> > > [mm]x(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]x_{5_die_restlichen_vier_sind_die_Nullstellen}=0\vee(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
> >
> > Was meinst du hiermit? Was für restliche vier und was für
> > Nullstellen??? Ich versteh hier irgendwie gar nichts. :-(
> Die restlichen vier bezogen sich darauf, dass ich das X
> hier mit dem Index 5 versehen hatte. Die anderen "X'sse" :)
> (1-4) sind die Lösungen für das Nullsetzen der
> Originalfunktion - vierten Gerades, daher vier Lösungen.
Ach so. Finde ich zwar etwas umständlich, aber wenn du damit klar kommst.
> > > [mm]x^2=2t^2[/mm]
> > > [mm]x_{6,7}=\pm\wurzel{2}t[/mm]
> > >
> > > Entsprechend sind die Waagpunkte für t>0
> > > ([mm]+\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]) und ([mm]-\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]). Waagpunkt für
> > > t=0 ist folglich ([mm]0[/mm]|[mm]0[/mm]) - hoffe ich doch.
> >
> > Also, ich vermute mal, dass du hier die Nullstellen der
> > Ableitung berechnen wolltest.Genau! Die x-Werte sind auch
> alle
> > richtig, aber wie du jetzt den Waagpunkt ausgerechnet hast,
> > verstehe ich nicht. Und wofür überhaupt? Du benötigst doch
> > nur den x-Wert der Stelle, an der die Ableitung 0 wird.
> Klar, so weit sind wir uns absolut einig - und bis dahin
> war ich mir ja auch einigermaßen sicher. Und
> > jetzt musst du nur noch untersuchen, wie die zweite
> > Ableitung an dieser Stelle (also wenn du diesen x-Werte
> > einsetzt) aussieht. Und genau das ist dann mein Problem.
> Das (oder die...) Ergebnis, das ich als Lösung habe, was du
> ja auch bestätigen konntest, sind doch Wurzeln.
> > > Entsprechend sind die Waagpunkte für t>0
> > > ([mm]+\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]) und ([mm]-\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]). Waagpunkt für
> > > t=0 ist folglich ([mm]0[/mm]|[mm]0[/mm]) - hoffe ich doch.
>
> Setze ich die jetzt in die Originalfunktion ein um die
> entsprechenden Y-Ordinaten zu bekommen, so erhalte ich doch
> für beide das gleiche Ergebnis, je [mm]-t^4[/mm]. Es ist halt
> unwesentlich ob der Wert positiv oder negativ ist - der
> Betrag ist doch hier wesentlich (gerader Exponent). Nur so
> ist doch die Unterscheidung zwischen Hoch- und Tiefpunkt
> nicht zu machen, die liegen doch beide (offensichtlich) auf
> [green][green]der gleichen Höhe.
Wenn beide auf der gleichen Höhe liegen, sind es eben beides Hochpunkte oder beides Tiefpunkte. Das ist wahr - das ist das, was du damit herausgefunden hast, was du gemacht hast. Aber selbst, wenn der eine höher und der andere tiefer läge, heißt das nicht, dass der höhere ein Hochpunkt und der tiefere ein Tiefpunkt ist. Es gibt ja auch nicht absolute Hoch- und Tiefpunkte (mir fällt gerade das Wort für "nicht absolut" nicht ein ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") ). Du musst also auf jeden Fall deine Werte in die zweite Ableitung einsetzen!
> Das in die zweite Ableitung einzusetzen
> - klar, mein Ansatz. Nur auch hier wird doch das
> Einzusetzende wieder quadriert (es steht doch sowohl [mm]x^2[/mm]
> also auch [mm]t^2[/mm] (mit weiteren Koeffizienten und Vorzeichen)
> in der zweiten Ableitung) - ist so eine Unterscheidung
> möglich? Genau hier setzt meine Frage und das Ende meines
> Wissens an - wie unterscheide ich das jetzt?
> >
> > > Nur wie komme ich jetzt an Hoch- und Tiefpunkte? Durch die
> > > Quadratur beim Einsetzen komme ich doch- sowohl in der 2.
> > > Ableitung als auch in der Originalfunktion auf identische
> > > Werte für die Wurzeln - die Punkte liegen auf gleicher
> > > Höhe?! Das ist doch nur möglich, wenn sie mit der
> > > Wendestelle zusammenfallen, oder? Irgendwie habe ich wieder
> > > das Gefühl direkt davor zu stehen - und nicht weiter zu
> > > kommen
> >
> > Leider verstehe ich auch hier nicht so ganz, was du meinst.
> > Aber das Prinzip ist doch folgendes: Du berechnest die
> > Nullstellen der ersten Ableitung. Nun setzt du diese
> > Stellen in die zweite Ableitung ein. Wenn die zweite
> > Ableitung an dieser Stelle >0 ist, haben wir einen
> > Tiefpunkt, wenn die zweite Ableitung dort <0 ist haben wir
> > einen Hochpunkt. Und wenn sie =0 ist können wir erst mal
> > keine Aussage machen.
>
> Genau hier noch mal meine Frage, gibt es hier keinen Weg
> daran vorbei? Vielleicht können wir das Einsetzen einfach
> noch einmal zusammen durchgehen?
Das war eine gute Idee, jetzt weiß ich nämlich, wo dein Fehler liegt.
> Ich nehme mal die positive Wurzel, also [mm]X_{5}[/mm]:
> [mm]\bruch{x}{+\wurzel{2}}=t[/mm]
> Das setze ich dann jetzt in die zweite Ableitung ein:
> [mm]f_{t}''(x)=3x^2-2t^2[/mm]
Du musst den x-Wert einsetzen - nicht den t-Wert!!! Von t weißt du nur, dass es [mm] \ge [/mm] 0 ist. Aber die Funktion hängt von x ab, also hängen auch die Ableitungen von x ab und somit auch die Hoch- und Tiefpunkte.
Also, setzen wir mal ein: [mm] x=\wurzel{2}t
[/mm]
[mm] f_t''(x)=3*(\wurzel{2}t)^2-2t^2 [/mm] = [mm] 3*2t^2-2t^2=4t^2
[/mm]
Nun gilt für t>0: [mm] f_t''(x)>0 \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt.
Und für t=0 müsstest du noch die nächsten beiden Ableitungen untersuchen...
Naja, und für den negativen Wert kommt da dann halt das gleiche raus - wie gesagt, dann sind es halt beide Hoch- oder beide Tiefpunkte. In diesem Fall hier dann ja Tiefpunkte.
Ist es jetzt klar?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Sa 10.09.2005 | | Autor: | der_benni |
Hallo Bastiane!
> Direkt mal eine Bitte: Wenn du direkt zu meinem Text was
> schreibst (was ich in der Regel sehr gerne habe ), dann
> schreibe es doch aber bitte in die Zeile drunter. Du kannst
> ja mit "Enter" meinen (zitierten) Text einfach
> unterbrechen. Ansonsten wird das, was du schreibst, nämlich
> auch als zitiert gewertet und grau, und auch das Grün-Grau,
> das du benutzt hast, ist nicht wirklich auffallend, so dass
> ich vllt irgendwas von dir jetzt sogar übersehen habe.
Das mit dem Unterbrechen will ich gerne tun - aber übersehen hast du nichts.
>
> > > > [mm]f_{t}(x)=\bruch{1}{4}x^{4}-t^{2}x^{2}[/mm] wobei [mm]t\ge0[/mm].
> > > > [mm]t=0[/mm] ist also Sonderfall und wird gesondert
> > behandelt.
> > > >
> > > > Die Aufgabe lautet: "Untersuchen Sie [mm]f_{t}[/mm] (unter Beachtung
> > > > des Sonderfalles [mm]t=0[/mm]) und zeichnen Sie für [mm]t=0[/mm] und [mm]t=1[/mm] die
> > > > Graphen [mm]G_{0}[/mm] und [mm]G_{1}[/mm]."
> > > >
> > > > Nullstellen sind kein Problem.
> > > >
> > > > Bei den Waagpunkten gefällt mir das schon weniger:
> > >
> > > Was sind denn Waagpunkte? Das habe ich noch nie gehört, und
> > > google gibt auch nicht wirklich was her...
> >
> > Ich kenne den Ausdruck halt nur über meinen Mathelehrer -
> > und bin daher davon ausgegangen, dass er mehr oder
> minder
> > allgemein gebräuchlich wäre. Waagpunkte sind die
> Stellen
> > einer Funktion, an denen die erste Ableitung null ist.
> > Waagpunkte deshalb, weil (geometrische Interpretation)
> die
> > Tangente an diesen Stellen des Graphes waagerecht ist.
>
> Aha. Bei einer Nachhilfeschülerin hieß es glaube ich
> stationäre Stellen... Jetzt hab ich ja wieder was gelernt.
> Aber mit "Nullstellen der Ableitung" weiß glaub' ich
> jeder, was gemeint ist.
Sicher. Aber das ist doch immer so: man kennt einfach nur den einen Begriff, der von dem Mathelehrer eingeführt wird - und hinterfragt ihn nicht. Die paar Nachhilfeschüler sind mir alle von dem Mathelehrer vermittelt worden - und haben sich somit auch nur auf dessen Begriffe gestützt. Aber die Nullstellen der ersten Ableitung waren gefragt.
>
> > > > [mm]f_{t}'(x)=x^3-2t^{2}x[/mm]
> > > > [mm]x^3-2t^{2}x=0[/mm]
> > > > [mm]x(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]x_{5_die_restlichen_vier_sind_die_Nullstellen}=0\vee(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
> > >
> > > Was meinst du hiermit? Was für restliche vier und was für
> > > Nullstellen??? Ich versteh hier irgendwie gar nichts. :-(
> > Die restlichen vier bezogen sich darauf, dass ich das
> X
> > hier mit dem Index 5 versehen hatte. Die anderen "X'sse"
> :)
> > (1-4) sind die Lösungen für das Nullsetzen der
> > Originalfunktion - vierten Gerades, daher vier
> Lösungen.
>
> Ach so. Finde ich zwar etwas umständlich, aber wenn du
> damit klar kommst.
Naja - so kann man halt die vielen unterschieldlichen X-Ergebnisse immer einer Aufgabe zuordnen - dafür ist so ein Index nun mal da. Aber für diese spezielle Aufgabe hätte ich das durchaus auch weglassen können, hat wohl mehr verwirrt als gebracht.
>
> > > > [mm]x^2=2t^2[/mm]
> > > > [mm]x_{6,7}=\pm\wurzel{2}t[/mm]
> > > >
> > > > Entsprechend sind die Waagpunkte für t>0
> > > > ([mm]+\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]) und ([mm]-\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]). Waagpunkt für
> > > > t=0 ist folglich ([mm]0[/mm]|[mm]0[/mm]) - hoffe ich doch.
> > >
> > > Also, ich vermute mal, dass du hier die Nullstellen der
> > > Ableitung berechnen wolltest.Genau! Die x-Werte sind auch
> > alle
> > > richtig, aber wie du jetzt den Waagpunkt ausgerechnet hast,
> > > verstehe ich nicht. Und wofür überhaupt? Du benötigst doch
> > > nur den x-Wert der Stelle, an der die Ableitung 0 wird.
> > Klar, so weit sind wir uns absolut einig - und bis dahin
> > war ich mir ja auch einigermaßen sicher. Und
> > > jetzt musst du nur noch untersuchen, wie die zweite
> > > Ableitung an dieser Stelle (also wenn du diesen x-Werte
> > > einsetzt) aussieht. Und genau das ist dann mein Problem.
> > Das (oder die...) Ergebnis, das ich als Lösung habe, was
> du
> > ja auch bestätigen konntest, sind doch Wurzeln.
> > > > Entsprechend sind die Waagpunkte für t>0
> > > > ([mm]+\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]) und ([mm]-\wurzel{2}t[/mm]|[mm]-t^4[/mm]).
> Waagpunkt für
> > > > t=0 ist folglich ([mm]0[/mm]|[mm]0[/mm]) - hoffe ich doch.
> >
> > Setze ich die jetzt in die Originalfunktion ein um die
> > entsprechenden Y-Ordinaten zu bekommen, so erhalte ich
> doch
> > für beide das gleiche Ergebnis, je [mm]-t^4[/mm]. Es ist halt
> > unwesentlich ob der Wert positiv oder negativ ist - der
> > Betrag ist doch hier wesentlich (gerader Exponent). Nur
> so
> > ist doch die Unterscheidung zwischen Hoch- und
> Tiefpunkt
> > nicht zu machen, die liegen doch beide (offensichtlich)
> auf
> > der gleichen Höhe.
>
> Wenn beide auf der gleichen Höhe liegen, sind es eben
> beides Hochpunkte oder beides Tiefpunkte. Das ist wahr -
> das ist das, was du damit herausgefunden hast, was du
> gemacht hast. Aber selbst, wenn der eine höher und der
> andere tiefer läge, heißt das nicht, dass der höhere ein
> Hochpunkt und der tiefere ein Tiefpunkt ist. Es gibt ja
> auch nicht absolute Hoch- und Tiefpunkte (mir fällt gerade
> das Wort für "nicht absolut" nicht ein ).
In dem Fall lokale oder auch relative Extremata/"Waagpunkte"/Hoch-/Tiefpunkte??
Du
> musst also auf jeden Fall deine Werte in die zweite
> Ableitung einsetzen!
>
> > Das in die zweite Ableitung einzusetzen
> > - klar, mein Ansatz. Nur auch hier wird doch das
> > Einzusetzende wieder quadriert (es steht doch sowohl
> [mm]x^2[/mm]
> > also auch [mm]t^2[/mm] (mit weiteren Koeffizienten und
> Vorzeichen)
> > in der zweiten Ableitung) - ist so eine Unterscheidung
> > möglich? Genau hier setzt meine Frage und das Ende
> meines
> > Wissens an - wie unterscheide ich das jetzt?
> > >
> > > > Nur wie komme ich jetzt an Hoch- und Tiefpunkte?
> Durch die
> > > > Quadratur beim Einsetzen komme ich doch- sowohl in
> der 2.
> > > > Ableitung als auch in der Originalfunktion auf
> identische
> > > > Werte für die Wurzeln - die Punkte liegen auf
> gleicher
> > > > Höhe?! Das ist doch nur möglich, wenn sie mit der
> > > > Wendestelle zusammenfallen, oder? Irgendwie habe ich
> wieder
> > > > das Gefühl direkt davor zu stehen - und nicht weiter
> zu
> > > > kommen
> > >
> > > Leider verstehe ich auch hier nicht so ganz, was du
> meinst.
> > > Aber das Prinzip ist doch folgendes: Du berechnest
> die
> > > Nullstellen der ersten Ableitung. Nun setzt du diese
> > > Stellen in die zweite Ableitung ein. Wenn die zweite
> > > Ableitung an dieser Stelle >0 ist, haben wir einen
> > > Tiefpunkt, wenn die zweite Ableitung dort <0 ist haben
> wir
> > > einen Hochpunkt. Und wenn sie =0 ist können wir erst
> mal
> > > keine Aussage machen.
Das ist mein Problem gewesen. Ich konnte mit der Aussage meiner Ergebnisse "beide >0" nichts anfangen - weil ich etwas anderes erwartet hatte. Naja - Erwartungen sind so Sachen - sollte man sich nicht drauf Versteifen. Ich habe das - so wie ich das im Nachhinein sehe - einfach nur überbewertet und mich irritieren lassen (das Einsetzen von t - tssss).
> >
> > Genau hier noch mal meine Frage, gibt es hier keinen
> Weg
> > daran vorbei? Vielleicht können wir das Einsetzen
> einfach
> > noch einmal zusammen durchgehen?
>
> Das war eine gute Idee, jetzt weiß ich nämlich, wo dein
> Fehler liegt.
>
> > Ich nehme mal die positive Wurzel, also [mm]X_{5}[/mm]:
> > [mm]\bruch{x}{+\wurzel{2}}=t[/mm]
> > Das setze ich dann jetzt in die zweite Ableitung ein:
> > [mm]f_{t}''(x)=3x^2-2t^2[/mm]
>
> Du musst den x-Wert einsetzen - nicht den t-Wert!!! Von t
> weißt du nur, dass es [mm]\ge[/mm] 0 ist. Aber die Funktion hängt
> von x ab, also hängen auch die Ableitungen von x ab und
> somit auch die Hoch- und Tiefpunkte.
Du weißt ja, die Kleinigkeiten. Schnell was gemacht - gar nicht drüber nachgedacht, weil man es schon X Mal gemacht hat - und dann so ein wirklich dämlicher Punkt. Aber gut - wahrscheinlich hätte ich auch das Ergebnis, das ich mit dem Einsetzen von X erzielt hätte falsch (oder eben doch richtig - dann aber falsch eingeordnet) interpretiert.
> Also, setzen wir mal ein: [mm]x=\wurzel{2}t[/mm]
>
> [mm]f_t''(x)=3*(\wurzel{2}t)^2-2t^2[/mm] = [mm]3*2t^2-2t^2=4t^2[/mm]
>
> Nun gilt für t>0: [mm]f_t''(x)>0 \Rightarrow[/mm] Tiefpunkt.
>
> Und für t=0 müsstest du noch die nächsten beiden
> Ableitungen untersuchen...
Habe ich gemacht - ist aber dann einfach nur ohne den "zweiten Teil" der Ursprungsfunktion (oder eben der entsprechenden Ableitung) da t als Faktor mit dabei steht und entsprechend gleich null gesetzt wird.
>
> Naja, und für den negativen Wert kommt da dann halt das
> gleiche raus - wie gesagt, dann sind es halt beide Hoch-
> oder beide Tiefpunkte. In diesem Fall hier dann ja
> Tiefpunkte.
>
> Ist es jetzt klar?
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Jetzt ist es klarer, danke dir. Hat dich sicher einiges an Mühe und Zeit gekostet - genau dafür gibt's ein großes "Danke"!!
Grüße
der_benni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo der_benni!
> [mm]x_{5_die_restlichen_vier_sind_die_Nullstellen}=0\vee(x^{2}-2t^{2})=0[/mm]
> > > >
> > > > Was meinst du hiermit? Was für restliche vier und was für
> > > > Nullstellen??? Ich versteh hier irgendwie gar nichts. :-(
> > > Die restlichen vier bezogen sich darauf, dass ich
> das
> > X
> > > hier mit dem Index 5 versehen hatte. Die anderen
> "X'sse"
> > :)
> > > (1-4) sind die Lösungen für das Nullsetzen der
> > > Originalfunktion - vierten Gerades, daher vier
> > Lösungen.
> >
> > Ach so. Finde ich zwar etwas umständlich, aber wenn du
> > damit klar kommst.
>
> Naja - so kann man halt die vielen unterschieldlichen
> X-Ergebnisse immer einer Aufgabe zuordnen - dafür ist so
> ein Index nun mal da. Aber für diese spezielle Aufgabe
> hätte ich das durchaus auch weglassen können, hat wohl mehr
> verwirrt als gebracht.
Na, letztendlich haben wir das ja auch noch geklärt.
> Du weißt ja, die Kleinigkeiten. Schnell was gemacht - gar
> nicht drüber nachgedacht, weil man es schon X Mal gemacht
> hat - und dann so ein wirklich dämlicher Punkt. Aber gut -
> wahrscheinlich hätte ich auch das Ergebnis, das ich mit dem
> Einsetzen von X erzielt hätte falsch (oder eben doch
> richtig - dann aber falsch eingeordnet) interpretiert.
Klar, so dumme Fehler passieren, aber jetzt hast du's ja wohl doch verstanden. Und besser, der Fehler passiert jetzt, als in einer Klausur. Und da wirst du ihn doch bestimmt nicht mehr machen, oder?
> Jetzt ist es klarer, danke dir. Hat dich sicher einiges an
> Mühe und Zeit gekostet - genau dafür gibt's ein großes
> "Danke"!!
Bitte - gern geschehen. Wo du so schön "mitgearbeitet" hast, hat das auch richtig Spaß gemacht. Aber wenn ich keine Freude am Erklären hätte, würde ich ja hier im Forum nicht viel zu suchen haben, jedenfalls beim Antworten.
Viele Grüße und viel Erfolg mit der Mathematik
Bastiane
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