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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Ute |
Gegeben sind die Funktionen [mm] f_k [/mm] mit [mm] f_k(x)=4x-kx²
[/mm]
a) Untersuche allgemein die Funktion [mm] f_k.
[/mm]
das k bei f_ ist als Index gedacht!
Um die Hoch- oder Tiefpunkte auszurechnen, setze ich ja die 1. ableitung=0
[mm] f_k [/mm] '(x) = 2 x + k
da kommt dann für x= -k/2 raus.
Um den y-Wert herauszukriegen, setze ich den Wert für x ja in die Ausgangsfunktion ein, was mir das bringt:
[mm] f_k(x)= [/mm] (-k/2) + k (-k/2) + k
Wie mache ich nun weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Ute,
> Gegeben sind die Funktionen [mm] f_k [/mm] mit [mm] f_k(x)=4x-kx²
[/mm]
>
> a) Untersuche allgemein die Funktion [mm] f_k.
[/mm]
>
> das k bei f_ ist als Index gedacht!
>
> Um die Hoch- oder Tiefpunkte auszurechnen, setze ich ja die
> 1. ableitung=0
Richtig ...
> [mm] f_k [/mm] '(x) = 2 x + k
... aber da ist was schief. Die Ableitung von $a [mm] x^n$ [/mm] ist ja $a n [mm] x^{n-1}$. [/mm] Ich denke, Dir ist hier aber nur ein Schusselfehler unterlaufen.
> da kommt dann für x= -k/2 raus.
Hier kommt dann natürlich auch was anderes raus.
> Um den y-Wert herauszukriegen, setze ich den Wert für x ja
> in die Ausgangsfunktion ein, was mir das bringt:
>
> [mm] f_k(x)= [/mm] (-k/2) + k (-k/2) + k
Ähhm ... wieso sieht denn Deine Funktion denn nun plötzlich so aus. Ich dachte es handelt sich um [mm] $f_k(x)=4x-kx^2$?
[/mm]
> Wie mache ich nun weiter?
Um sicher zu sein, dass es sich wirklich um Extremstellen handelt, musst Du noch überprüfen ob die zweite Ableitung ungleich 0 ist.
Dann kannst Du noch eine ganze Reihe anderer Sachen mit der Funktion machen:
- Nullstellen
- Wendepunkte
- Verhalten hin zu + oder - unendlich
Diese drei Dinge zusammen mit den Extrempunkten geben Dir einen recht guten Eindruck wie die Funktion aussieht und helfen Dir so, den Graph zu skizzieren.
Falls noch Fragen offen sind, lass hören ...
Mach's gut
Oliver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Ute |
ahhhh, mir ist ein fehler unterlaufen. Ich habe die falsche Ausgangsfunktion abgetippt. Die richtige ist:
x²+kx+k
Naja, ich komme trotzdem nicht weiter, denn wenn ich die 2. Ableitung mache habe ich 2.
Dabei wollte ich doch den x-Wert in die 2. Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, ob es ein hoch-oder Tiepfunkt ist....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Ute,
> ahhhh, mir ist ein fehler unterlaufen. Ich habe die falsche
> Ausgangsfunktion abgetippt. Die richtige ist:
> x²+kx+k
So was in der Art dachte ich mir ... ;)
> Naja, ich komme trotzdem nicht weiter, denn wenn ich die 2.
> Ableitung mache habe ich 2.
> Dabei wollte ich doch den x-Wert in die 2. Ableitung
> einsetzen, um zu überprüfen, ob es ein hoch-oder Tiepfunkt
> ist....
Dann machen wir doch genau das :) Die zweite Ableitung ist konstant 2, formal hingeschrieben $f''(x)=2$. Nun gehst Du stur nach Schema f: setze die Nullstelle der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein und schaue, was herauskommt.
Die Nullstelle hast Du ja richtig als [mm] $x=-\frac{k}{2}$ [/mm] berechnet. Nun setze es in die zweite Ableitung ein und Du erlässt ... Überraschung ... [mm] $f''(-\frac{k}{2})=2$. [/mm] Es handelt sich also bei dieser Stelle um einen Tiefpunkt.
Wie gesagt, nicht irritieren lassen wenn die Funktion plötzlich von keiner Variablen mehr abhängt - dann ist sie eben konstant.
Mach's gut
Oliver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Ute |
Um den y-Wert des TP herauszukriegen.....
wie fasse ich denn -k/2 + k (-k/2) + k
zusammen? Ich habe damit jedesmal große Probleme, wenn keine genauen Zahlen dastehen, etwas zusammenzufassen, auch wegen den Brüchen und so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Marc |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Ute,
> Um den y-Wert des TP herauszukriegen.....
> wie fasse ich denn -k/2 + k (-k/2) + k
> zusammen? Ich habe damit jedesmal große Probleme, wenn
> keine genauen Zahlen dastehen, etwas zusammenzufassen, auch
> wegen den Brüchen und so.
Die Funktion lautet doch $f(x)=x^2+kx+k$, deswegen ist doch für die y-Koordinate des TP zu berechnen:
$f(-k/2)=\left( -\bruch{k}{2}\right )^2+k*\left( -\bruch{k}{2} \right) + k$
Das könnte man so umformen:
$f(-k/2)$
$=\left( -\bruch{k}{2}\right )^2+k*\left( -\bruch{k}{2} \right) + k$
$=\bruch{k^2}{4}-\bruch{k^2}{2}+ k$
$=\bruch{k^2}{4}-\bruch{2k^2}{4}+ k$
$=-\bruch{k^2}{4}+ k$
Viele Grüße,
Marc
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