Für welche t gibts Extrema < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Di 03.01.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Für jedes reele t ist [mm] K_{t} [/mm] das Schaubild der Funktion [mm] f_{t} [/mm] mit
[mm] f_{t}(x) [/mm] = [mm] x^3 -t(x^2-x).
[/mm]
Für welche t hat [mm] K_{t} [/mm] Punkte mit waagerechter Tangente? |
Hallo.
Ich habe ein Problem mit der Ergebnisdeutung, ich komme wohl auf die richtigen Ergebnisse, kann sie aber nicht deuten.
Gesucht ist der Fall, für den es Extrema gibt
f'(x) = [mm] 3x^2-2tx+t
[/mm]
f'(x) = 0
0 = [mm] 3x^2-2tx+t [/mm] | :3
0 = [mm] x^2- \bruch{2tx}{3}+ \bruch{t}{3}
[/mm]
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{t}{3} \pm \wurzel{\bruch{t^2}{9}-\bruch{t}{3}}
[/mm]
Extrema gibt es, wenn die Diskriminante [mm] \ge0 [/mm] ist.
[mm] \bruch{t^2}{9}-\bruch{t}{3} \ge0 [/mm] | *9
[mm] \bruch{t^2}{1}-\bruch{3t}{1} \ge0 [/mm] | HIER KANN DER FEHLER LIEGEN...
Durch PQ bekomme ich:
t [mm] \ge3
[/mm]
t [mm] \ge0
[/mm]
Durch Probieren kriege ich heraus, dass das Ergebnis t [mm] \ge3 [/mm] richtig ist, es aber t [mm] \le0 [/mm] ist.
Wie komme ich dadrauf? Ich habe ja jetzt eigentlich nur herausbekommen, dass es Extrema für größer gleich gibt. Wo ändert sich denn jetzt nun dieses Ungleichungs-zeichen?
Grüße Phoney
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Hallo!
> Für jedes reele t ist [mm]K_{t}[/mm] das Schaubild der Funktion
> [mm]f_{t}[/mm] mit
> [mm]f_{t}(x)[/mm] = [mm]x^3 -t(x^2-x).[/mm]
> Für welche t hat [mm]K_{t}[/mm] Punkte
> mit waagerechter Tangente?
> Hallo.
> Ich habe ein Problem mit der Ergebnisdeutung, ich komme
> wohl auf die richtigen Ergebnisse, kann sie aber nicht
> deuten.
>
> Gesucht ist der Fall, für den es Extrema gibt
> f'(x) = [mm]3x^2-2tx+t[/mm]
> f'(x) = 0
> 0 = [mm]3x^2-2tx+t[/mm] | :3
> 0 = [mm]x^2- \bruch{2tx}{3}+ \bruch{t}{3}[/mm]
> [mm]x_{1,2}[/mm] =
> [mm]\bruch{t}{3} \pm \wurzel{\bruch{t^2}{9}-\bruch{t}{3}}[/mm]
>
> Extrema gibt es, wenn die Diskriminante [mm]\ge0[/mm] ist.
Soweit ich das überflogen habe, ist das soweit richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{t^2}{9}-\bruch{t}{3} \ge0[/mm] | *9
> [mm]\bruch{t^2}{1}-\bruch{3t}{1} \ge0[/mm] | HIER KANN DER FEHLER
> LIEGEN...
>
> Durch PQ bekomme ich:
> t [mm]\ge3[/mm]
> t [mm]\ge0[/mm]
>
> Durch Probieren kriege ich heraus, dass das Ergebnis t [mm]\ge3[/mm]
> richtig ist, es aber t [mm]\le0[/mm] ist.
Mmh - irgendwie verstehe ich diese Frage nicht so ganz. Aber ich würde mal folgendes sagen:
Du möchtest die Ungleichung [mm] $\bruch{t^2}{9}-\bruch{t}{3}\ge [/mm] 0$ lösen. Ich würde dafür als erstes mit 9 multiplizieren, dann erhältst du: [mm] $t^2-3t\ge [/mm] 0$. Und da das ganze eine Ungleichung ist, kannst du die PQ-Formel hier gar nicht benutzen, denn diese ist nur für Gleichungen.  Du kannst damit aber den Fall ...=0 abdecken - da stimmen deine beiden Ergebnisse 0 und 3. Wenn du nun aber noch wissen möchtest, wann ">0" gilt, musst du dir folgendes überlegen:
Ein Produkt ist genau dann größer 0, wenn entweder beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind. Es musst also gelten:
[mm] $t^2-3t>0 \gdw [/mm] t(t-3)>0$
I) $t>0$ und $t-3>0$
oder
II) $t<0$ und $t-3<0$
Aus I) folgt, dass $t>3$ sein muss und aus II) folgt, dass $t<0$ sein muss.
Also hast du mögliche Extremstellen für $t>3$ und oder für $t<0$.
[edit] hier darf nicht "und" stehen, weil die beiden Fälle (s.o.) ja "oder"- Fälle sind!
Im übrigen könnte t nicht gleichzeitig <0 und >3 sein!  [informix]
> Wie komme ich dadrauf? Ich habe ja jetzt eigentlich nur
> herausbekommen, dass es Extrema für größer gleich gibt. Wo
> ändert sich denn jetzt nun dieses Ungleichungs-zeichen?
Evtl. musst du auch noch die zweite Ableitung betrachten, denn die muss ja [mm] \not=0 [/mm] sein. Aber das überlasse ich dir jetzt mal. Ich hoffe, ich konnte helfen und habe mich nicht wieder einmal vertan...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Di 03.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Danke Bastiane!
Genau das wars, was ich "wissen" wollte. Danke dir!
Grüße Phoney
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