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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Do 30.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ich bin's schon wieder...
Folgender Satz wurde in der Vorlesung bewiesen:
[mm] \forall f,g\in L_{\IC}^{1} (\IR^1), \lambda\in\IR\backslash\{0\}, a\in\IR^n:
[/mm]
[mm] g(x)=f(\lambda [/mm] x) [mm] \Rightarrow \hat{g}(\xi)=\bruch{1}{|\lambda|^n}\hat{f}(\xi/\lambda)
[/mm]
Leider hakt es bei mir bei diesem Beweis:
[mm] \hat{g}(\xi)=\bruch{1}{(2\pi)^{n/2}}\integral{e^{-i<\xi,\lambda x>}f(\lambda x)dx}
[/mm]
warum steht hier im Skalarprodukt [mm] \lambda [/mm] x und nicht nur x? Nach Definition müsste da doch eigentlich nur ein x stehen. Und beim f steht doch hier nur das [mm] \lambda, [/mm] weil da ja eigentlich g(x) stehen müsste, was jedoch das Gleiche ist wie [mm] f(\lambda [/mm] x)!?!
(In einem Buch fand ich hier übrigens im Skalarprodukt [mm] [/mm] - war das vielleicht nur ein Schreibfehler des Professors?)
Nun steht über dem nächsten Gleichheitszeichen: [mm] y=\lambda [/mm] x und dahinter folgt dann:
[mm] \bruch{1}{|\lambda|^n}\bruch{1}{(2\pi)^{n/2}}\integral{e^{-i<\xi/\lambda,y>}f(y)dy}
[/mm]
Das verstehe ich nun überhaupt nicht mehr:
Wo kommt denn der Term [mm] \bruch{1}{|\lambda|^n} [/mm] her? Und warum steht da im Skalarprodukt nicht [mm] <\xi,y>??? [/mm]
(Hier steht in meinem schlauen Buch (*gg*) als Exponent von e:
[mm] -i/\lambda [/mm] - aber ich glaube, das ist dasselbe, weil ich beim Skalarprodukt ja einen Faktor "rausziehen" kann, und kommutativ ist das ja auch, oder?)
Und das Ganze ist jetzt:
[mm] =\bruch{1}{|\lambda|^n}\hat{f}(\xi/\lambda)
[/mm]
Das verstehe ich auch nicht so ganz, wäre nicht
[mm] \hat{f}(\xi/\lambda)=\bruch{1}{(2\pi)^{n/2}}\integral{e^{-i<\xi/\lambda,x>}f(x)dx}?
[/mm]
Oder was wir hier durch [mm] \xi/\lambda [/mm] ersetzt? Das [mm] \xi [/mm] aus der Definition? Oder das x? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Sorry, ich hoffe, die Fragen sind nicht zu komisch, und vielleicht kann man sie mit nicht zu vielen Erklärungen erklären... ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Viele Grüße und schon mal nen guten Rutsch...
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]") <- zum Rutschen *gg* 
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Hallöle,
wenn ich das richtig sehe, ist das [mm] \lambda[/mm] im Skalarprodukt tatsächlich ein Schreibfehler im Skript.
Der Faktor [mm]\bruch{1}{|\lambda|^{n}}[/mm] kommt von der Substitution [mm]y=\lambda x[/mm] im n-dimensionalen.
Die Aussage des (Ähnlichkeits-)Satzes deckt sich jedenfalls mit der Erfahrung, dass man für die Übertragung kürzerer Impulse eine größere Bandbreite braucht (dies nur für die Anschauung).
Lies doch auch mal einen Roman!
Gruß, Peter
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Hallo Bastiane,
Ich versuch mal zwo Erklärungen für [mm]\bruch{1}{|\lambda|^{n}}[/mm] zu liefern:
Die Jacobimatrix [mm]J_{x}(\lambda x)=\lambda E_{n}[/mm], wobei [mm]E_{n}[/mm] die im Winter besonders beliebte n-dimensionale Einheizmatrix ist. Da [mm]|\lambda E_{n}|=|\lambda^{n}|[/mm] entsteht halt dieser "komische Faktor".
Wenn man hingegen das Integral bereits umgeschrieben hat (Fubini) steht da (bis auf konst. Faktoren mit [mm]\pi[/mm]):[mm] \integral_{x_{1_{0}}}^{x_{1_{1}}} {\cdots \integral_{x_{n_{0}}}^{x_{n_{1}}} {e^{\cdots}f(\lambda x) dx_{n}}\cdots dx_{1}}[/mm]. Bei jeder der n Integrationen entsteht bei der Substitution [mm]y_{i}=\lambda x_{i}[/mm] der Faktor [mm]\lambda[/mm] bzw. dessen Kehrwert.
Impulse dauern eine gewisse Zeit, während die Bandbreite einen Frequenzbereich beschreibt.
Ich habe z.B. ![[]](/images/popup.gif) "Der Schwarm" von Frank Schätzing in 3 Tagen verschlungen. Aber das ist natürlich Geschmackssache (Ich kam da drauf, weil ich seit geraumer Zeit fast nur noch Fragen bzgl. Fourier von Dir gelesen habe - Du hast wohl demnächst 'ne Prüfung / Hausaufgabe?).
Rutsch gut,
Peter
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![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
