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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mo 05.11.2012 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | (a) Betrachten Sie die Folge
[mm] a_{n} =\bruch{1}{4n + 1} [/mm] + 3 .
Erraten Sie den Grenzwert a und bestimmen Sie dann [mm] N0(\in) [/mm] für beliebiges
[mm] \in [/mm] > 0, so dass für alle n [mm] \ge [/mm] [mm] N0(\in) [/mm] die an im Intervall (a − [mm] \in, [/mm] a + [mm] \in) [/mm] liegen. |
Okay. Also [mm] a_{n} =\bruch{1}{4n + 1} [/mm] + 3
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3
[/mm]
richtig? Kann man das so schreiben?
und jetzt soll ich
[mm] \bruch{1}{4n + 1} [/mm] - [mm] 3
bestimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> (a) Betrachten Sie die Folge
> [mm]a_{n} =\bruch{1}{4n + 1}[/mm] + 3 .
> Erraten Sie den Grenzwert a und bestimmen Sie dann [mm]N0(\in)[/mm]
> für beliebiges
> [mm]\in[/mm] > 0, so dass für alle n [mm]\ge[/mm] [mm]N0(\in)[/mm] die an im
> Intervall (a − [mm]\in,[/mm] a + [mm]\in)[/mm] liegen.
> Okay. Also [mm]a_{n} =\bruch{1}{4n + 1}[/mm] + 3
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3[/mm]
>
> richtig? Kann man das so schreiben?
>
Ja, das ist korrekt. Der Aufgabenstellung nach wird [mm] 3=\lim_{n\to\infty}a_n=a [/mm] mit $a$ bezeichnet.
>
> und jetzt soll ich
>
>
> [mm]\bruch{1}{4n + 1}-3
>
>
>
> bestimmen?
>
>
Nein, zu beliebigem [mm] \varepsilon>0 [/mm] sollst du zunächst einschränkende Bedingungen für n finden so, dass [mm] a-\varepsilon=3-\varepsilon\mbox{Term mit }\varepsilon$ [/mm] sein. Das Vorgehen hierzu ist analog zu dem bei obiger Aufgabe.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 05.11.2012 | | Autor: | DarkJiN |
was ist den [mm] \in [/mm] in diesem fall?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo DarkJiN,
> was ist den [mm]\in[/mm] in diesem fall?
In diesem und vielen anderen Fällen ist [mm] $\epsilon$ [/mm] eine beliebige positive reelle Zahl. Das heißt, Deine Beweisschritte müssen für jede solche Zahl gelten, nicht nur für eine bestimmte.
Gruß,
Wolfgang
PS: Üblich ist [mm] $\epsilon$ [/mm] oder [mm] $\varepsilon$ [/mm] für Epsilon, aber nicht [mm] $\in$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mo 05.11.2012 | | Autor: | DarkJiN |
sorry ich versteh das einfach nicht. Bei der anderen Aufgabe war doch 1/1000 gegeben.. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mo 05.11.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
dass man auch mal ein konkretes [mm] \epsilon [/mm] angeben kann, heisst ja nicht, dass du es nicht für ein allgemeines [mm] \epsilon [/mm] angeben kann. stell dir vor, du musst das für 100 verschiedene Epsilon machen, da nimmst du doch auch lieber ein allgemeines.
Behandle [mm] \epsilon [/mm] so wie du in den anderen Aufgaben 1/1000 behandelt hast!
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:18 Mo 05.11.2012 | | Autor: | DarkJiN |
okay. ahtte grade auchn brett vorm kopf.
[mm] \bruch{1}{4n+1}+3<3+e [/mm] |-3
[mm] \bruch{1}{4n+1}
[mm] 4n+1<\bruch{1}{e}
[/mm]
[mm] 4n<\bruch{1}{e}-1
[/mm]
[mm] n<\bruch{1}{4e}-4
[/mm]
so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mo 05.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn a<b ist z.B,2<3 was gilt dann für 1/a und 1/b etwa 1/2<1/3??? wie du das siehst?
wenn du es nicht siehst dividiere deine Ungleichung durch [mm] \epsilon> [/mm] 0 und mult mit 4n+1>0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 05.11.2012 | | Autor: | DarkJiN |
sorry mit der Antwort kann ich ejtzt gar nichts anfangen..
Was genau ist jetzt falsch?
Wo kommt den plötzlich das b her?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mo 05.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Schritt von
hier $ [mm] \bruch{1}{4n+1}
nach hier $ [mm] 4n+1<\bruch{1}{e} [/mm] $
ist falsch. Von Ungleichungen kann man nicht einfach das Inverse nehmen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Di 06.11.2012 | | Autor: | DarkJiN |
Okay, das wusste ich nicht. Und wie lässt sich die ungleichung dann lösen?
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Hallo DarkJin,
> Okay, das wusste ich nicht. Und wie lässt sich die
> ungleichung dann lösen?
Das Ungleichungszeichen ist falsch. Wenn du zum Kehrbruch übergehst, dreht es sich um!
Wenn du das nicht weißt/kennst, rechne schrittweise:
[mm]\frac{1}{4n+1}<\varepsilon[/mm]
Multipliziere mit [mm]4n+1[/mm] durch:
[mm]\gdw 1<\varepsilon\cdot{}(4n+1)[/mm]
Teile durch [mm]\varepsilon[/mm]:
[mm]\gdw \frac{1}{\varepsilon}<4n+1[/mm], also [mm]4n+1>\frac{1}{\varepsilon}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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