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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Di 12.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Also, ich gucke mir gerade ein paar Übungsaufgaben an, als Vorbereitung auf die Klausur. Ich dachte, ich hätte diese Aufgabe hier damals schon gestellt, ich habe sie aber nicht gefunden. Sollte sie jemand finden, kann er mich bitte darauf hinweisen oder diese Frage hier dorthin verschieben.
Also, die Aufgabe lautet:
Betrachte die Einheitssphäre [mm] S^2\subset\IR^3 [/mm] mit den üblichen Polarkoordinaten [mm] (\varphi,\vartheta). [/mm] Es seien Konstanten [mm] a\in[0,2\pi], b\in[0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
T:= [mm] \{\varphi\in[0,a-\vartheta\bruch{a}{b}]|\vartheta\in[0,b]\}
[/mm]
und drücke das Ergebnis mittels der Dreiecksinnenwinkel aus.
Zuerst mal habe ich mich dann gefragt, wie man sich das überhaupt vorstellt, bzw. in der Übung haben wir dann die folgende Zeichnung gemacht, aber ich weiß nicht, wie man da drauf kommt. Vielleicht könnte mir das jemand mal etwas anschaulich erklären?
[Dateianhang nicht öffentlich]
So, und dann verstehe ich da die Lösung nicht so ganz - das war übrigens alles, was wir dazu aufgeschrieben haben... Einmal mit der Gramschen Determinante: gibt es da einen Satz oder so, voraus folgt, dass das hier dann quasi schon die Lösung ist? Irgendwie kenne ich mich damit leider nicht aus.
Und dann weiß ich nicht so ganz, was das da bedeuten soll, was eingekästelt ist, da, wo steht: [mm] det(D\Psi D\Psi)=g [/mm] - da steht noch so ein kleines t - wie genau ist das dort zu verstehen? Also, ich habe jetzt schon mal [mm] D\Psi [/mm] berechnen, muss ich dann jetzt [mm] D\Psi D\Psi [/mm] berechnen und davon die Determinante?
Wäre schön, wenn mir jemand hier ein bisschen helfen könnte, ich würde das gerne verstehen und lösen können. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Christiane!
Also das kleine hochgestellte t steht schonmal für "transponiert", das ist nämlich einfach das, wie die Gramsche Determinante definiert ist, die Einträge [mm] g_{ij} [/mm] der Gram-Matrix g sind nämlich gerade das Skalarprodukt [mm] $\left\langle \partial_i \psi,\partial_j \psi\right\rangle$.
[/mm]
Das kann man eben dann auch schreiben als [mm] $^t\partial_i\psi\partial_j\psi$, [/mm] oder eben insgesamt [mm] $^t\operatorname{D}\psi*\operatorname{D}\psi$
[/mm]
Dann noch die Determinante ausrechnen, Wurzel ziehen und munter drauf los integrieren, steht doch alles im Prinzip schon da!
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
ich versuch das einmal etwas zu interpretieren.
Sei bitte so lieb und ergänze deine Zeichnung ein Wenig, damit wir vom Gleichen reden.
Zunächst zeichnest du bitte bei der Kugel das xyz-Koordinatensystem ein: vom Mittelpunkt der Kugel (achtung: der ist nicht senkrecht unter dem eingezeichneten "Kugeldreieck", sondern etwas links davon. Die obere Ecke des "Kugeldreiecks" ist nicht auf der Höhe des Nordpols (weil ja b irgendwo zwischen 0 und [mm] $\pi/2$ [/mm] liegt. Bei [mm] $b=\pi/2$ [/mm] läge der Nordpol.) zeichnest du die x-Achse, und zwar in Richtung der linken unteren Ecke des "Kugeldreiecks". Die z-Achse geht vom Kugelmittelpunkt senkrecht hoch durch den Nordpol (etwas links-hoch von der oberen "Kugeldreiecks"-Ecke). Die y-Achse dann schräg nach rechts hinten. Beim Äquator, auf dem die untere Dreiecksseite liegt, ist der Wert von [mm] $\vartheta$ [/mm] = 0. [mm] $\vartheta$ [/mm] ist die geographische Breite. Die linke Dreiecksseite liegt auf dem Nullmeridian, das ist dort, wo [mm] $\varphi$ [/mm] den Wert 0 annimmt. [mm] $\varphi$ [/mm] misst dann den Winkel, der auf dem Globus der geographischen Länge entspricht. Dort, wo sich der Äquator mit der eingezeichneten y-Achse trifft, hat also [mm] $\varphi$ [/mm] den Wert [mm] $\pi/2$.
[/mm]
In deiner Aufgabe überstreicht [mm] $\varphi$ [/mm] also auf dem Äquator den Bereich von 0 bis a, auf deiner Skizze ungefähr [mm] $\pi/6$. [/mm] Du darfst also die untere Dreiecksseite mit a bezeichnen (das ist die Länge der unteren Dreiecksseite).
[mm] $\vartheta$ [/mm] läuft von 0 bis b, das heisst, b ist bei deinem "Kugeldreieck" die Seite auf der linken Seite, die auf dem Nullmeridian liegt. Diese kannst du also getrost mit b beschriften, wobei auch hier b als Länge dieser Seite aufgefasst werden kann. Wenn du die obere "Dreiecksecke" mit dem Kugelmittelpunkt verbindest, dann hat der Winkel zwischen der x-Achse und dieser Verbindungslinie den Wert b.
So, nun gehen wir einmal auf dein Koordinatensystem, das du unter der Kugel gezeichnet hast. Dort kannst du die horizontale Achse mit [mm] $\varphi$ [/mm] beschriften, und die vertikale Achse mit [mm] $\vartheta$. [/mm] Vielleicht so 2 cm auf der [mm] $\varphi$-Achse [/mm] zeichnest du a ein, und etwa 3 cm auf der [mm] $\vartheta$-Achse [/mm] b. Mit einer geraden Linie verbindest du die beiden soeben eingezeichneten Punkte und bekommst ein Dreieck, das durch die beiden Achsen und dieser soeben gezeichneten Geraden begrenzt wird. Dieses Dreieck schraffierst du, und das Dreieck, das du in der Zeichnung schon hattest, vergisst du ganz einfach! Unser neu gezeichnetes Dreieck entspricht jetzt dem "Dreieck" auf der Kugel.
Wenn du die Geradengleichung der Dreiecksseite aufstellst, bekommst du diese:
[mm] $\vartheta [/mm] = [mm] -\bruch{b}{a}*\varphi [/mm] + b$
An dieser Skizze siehst du jetzt auch: wenn du auf einer bestimmten Höhe h parallel durch das Dreieck schreitest, dann liegt der [mm] $\varphi$-Bereich [/mm] zwischen den Grenzen 0 und [mm] $(a-\bruch{a}{b}*h)$. [/mm] Die Höhe h kannst du beliebig zwischen 0 und b wählen.
Vergleiche jetzt bitte die Definitin von T, wie du das links oben in deiner Zeichnung angegeben hast. Ich hoffe, das kannst du jetzt interpretieren. 
So, nun hast du ja die Abbildung von deinen [mm] $\varphi$-$\vartheta$-Koordinaten [/mm] in das eingezeichnete Achsenkreuz aufgeschrieben. Dummerweise habt ihr aber plötzlich ein grosses [mm] $\theta$ [/mm] genommen. Offenbar gilt: [mm] $\theta [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}-\vartheta$. [/mm] Ich bleibe einmal bei meinem kleinen [mm] $\vartheta$, [/mm] das ist üblicher (für mich )
Auseinandergerissen könnte das auch so aussehen:
[mm] $x=\cos(\varphi)*\cos(\vartheta)$
[/mm]
[mm] $y=\sin(\varphi)*\cos(\vartheta)$
[/mm]
[mm] $z=\sin(\vartheta)$
[/mm]
Wenn du nun die Werte je nach [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\vartheta$ [/mm] ableitest und als Kolonnen in eine Matrix schreibst, erhältst du die Gram-Matrix D:
[mm] $D=\pmat{-\sin(\varphi)\cos(\vartheta)&-\cos(\varphi)\sin(\vartheta)\\ \cos(\varphi)*\cos(\vartheta)&-\sin(\varphi)*\cos(\vartheta)\\0&\cos(\vartheta)}$
[/mm]
Die Transponierte davon kannst du sicher leicht selber machen, und Matrizenmultiplikation ergibt, falls ich mich nicht verrechnet habe:
[mm] $D^t*D=\pmat{\cos^2(\vartheta)&0\\0&1}$
[/mm]
mit der Determinante [mm] $\cos^2(\vartheta)$ [/mm] (Das wäre dann mit dem grossen Theta [mm] $\sin^2(\theta)$)
[/mm]
Nun solltest du einfach noch integrieren können:
[mm] $\integral_0^b \integral_0^{a-\vartheta*\bruch{a}{b}} \cos(\vartheta) \, d\varphi d\vartheta$
[/mm]
Falls ich mich nicht verrechnet habe, kommt als Resultat
[mm] $\bruch{a}{b}*(1-\cos(b))$ [/mm] heraus.
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. vielleicht lohnt es sich auch, das ganze mit der Transformationsformel zu vergleichen.
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