Fibonacci-Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mi 01.12.2004 | | Autor: | KingMob |
Hallo!
Ich wollte mal fragen, ob mir jemand einen Ansatz für folgende Aufgabe geben kann:
Es geht darum für die Fibonacci-Zahlen folgende Aussagen zu beweisen:
1) a(n+1) * a(n-1) - [mm] (a(n))^{2} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 2
2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( (a(n+1) * a(n-1)) / [mm] (a(n))^{2} [/mm] ) = 1
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:42 Do 02.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo KingMob,
> Ich wollte mal fragen, ob mir jemand einen Ansatz für
> folgende Aufgabe geben kann:
> Es geht darum für die Fibonacci-Zahlen folgende Aussagen
> zu beweisen:
> 1) a(n+1) * a(n-1) - [mm](a(n))^{2}[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] 2
Der Ansatz ist vollständige Induktion.
Schreibe die Induktionsbehauptung hin, und ersetze [mm] $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. [/mm] Dann ersetze ebenso [mm] $(a_{n+1})^2=a_{n+1}*(a_n+a_{n-1})$ [/mm] und du kannst die Induktionsvoraussetzung anwenden.
> 2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( (a(n+1) * a(n-1)) /
> [mm](a(n))^{2}[/mm] ) = 1
Das folgt aus 1) sofort, indem du 1) nach dem Zähler auflöst (also [mm] "$+(a_n)^2$") [/mm] und den Ausdruck dann im Zähler ersetzt.
Viele Grüße,
Marc
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