Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe zwei MAtheaufgaben bei denen ich einfach keinen Rechenansatz wie z.B Zielfunktion, Nebenbedingung etc. finde. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.
1) Der Graph der Funktion f(x)= 1/4 [mm] x^4-2 x^2 [/mm] plus 4 schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. WElches dieser Fläche einbeschriebene Rechteck mit achsenparallen Seiten hat extremalen Inhalt?
2.) Ein 2l Gefäß soll aus einer Halbkugel und einem anschließendem oben offenen Zylinder bestehen. WElche Form muß das GEfäß haben, wenn seine Oberfläche möglichst klein sein soll?
Danke für eine Antwort.
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Hallo Emma-Sofie!
Also, zuerst mal zu der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{4} x^4-2x^2+4.
[/mm]
Am besten schaust du dir mal an, wie die Funktion aussieht, und wo das einbeschriebene Rechteck liegt. Falls du kein Programm hast, das dir die Funktion zeichnen kann, ist das allerdings etwas mühsam, selber alles auszurechnen und zu zeichnen, also es ist nicht unbedingt nötig für die Lösung dieser Aufgabe. (Falls du dir ein Matheprogramm anschaffen kannst, ich habe eins von Klett, das heißt Abi-Tour, damit kann man Funktionen zeichnen, und auch mehr oder weniger eine Kurvendiskussion von Funktionen machen und es sind auch Aufgaben gespeichert, die man lösen kann und die der Computer dann "kontrolliert". Natürlich hat das Programm auch seine Grenzen, aber ich kam damit durch den Mathe-LK und durchs Abitur. - Sorry, das soll keine Schleichwerbung sein!)
Und noch ein Tipp vorweg: Bei Extremwertaufgaben sind Flächen mit extremalem Inhalt immer Quadrate oder Kreise, eben "gleichmäßige" Flächen (mir fällt gerade kein besseres Wort dafür ein). Jedenfalls müsstest du als Ergebnis ein Quadrat herausbekommen.
Na, dann wollen wir mal sehen:
Die Fläche eines Rechtecks berechnet man durch die Funktion A=a*b, wobei a und b die Seitenlängen sind. Jetzt musst du dir überlegen, was in deinem Fall a und b ist. Da die Seiten achsenparallel sein sollen, ist a=2x (denn die Funktion ist symmetrisch, und x geht ja immer sozusagen vom Nullpunkt aus nach rechts, bzw. -x nach links, aber du willst ja die komplette Seitenlänge haben, und nicht nur die rechts oder links der x-Achse!)
Übrigens solltest du noch die Nullstellen berechnen, dann weißt du auch, dass [mm] x\in[-2,2] [/mm] sein muss (wenn ich mich nicht verrechnet habe!  )
Nun musst du dir überlegen, wie die zweite Seitenlänge von der ersten abhängt. Zeichne oder denk dir einfach mal ein paar Seitenlängen a, die genau auf der x-Achse liegen - wie groß kann b dann höchstens sein? Genau! f(x). Also musst du jetzt noch a=2x nach x auflösen, [mm] \gdw x=\bruch{a}{2}, [/mm] und jetzt kannst du einsetzen:
[mm] b=\bruch{1}{4}\left(\bruch{a}{2}\right)^4-2\left(\bruch{a}{2}\right)^2+4
[/mm]
Das kannst du noch etwas vereinfachen.
Dann setzt du das in deiner Formel für den Flächeninhalt, also A=a*b ein, das ist ja deine Funktion, die approximiert werden soll. Du hast b ja in Abhängigkeit von a, wenn du also beides einsetzt, erhältst du eine Funktion A, die nur noch von a abhängt. Diese Funktion leitest du ab, bestimmst die Nullstellen der Ableitung usw. damit du das Extremum dieser Funktion findest.
Und dann müsstest du eigentlich schon fertig sein.
Ich hoffe, das hilft dir weiter - falls du zwischendrin Probleme haben solltest, schreib ruhig nochmal, aber dann mit ein paar Zwischenergebnissen und deinen genauen Problemen.
Und die zweite Aufgabe probierst du vielleicht auch noch mal alleine.
(Solltest du allerdings das Prinzip von Extremwertaufgaben noch nicht verstanden haben, wäre ein einfacheres Beispiel vielleicht besser.)
Viel Erfolg beim Rechnen
Bastiane
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