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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hallo Leute.
Wie kann ich alle Extremstellen der folgenden Funktion auf [mm] (-\infty,\infty)
[/mm]
bestimmen?
f(x):= [mm] \integral_{0}^{x}{(1+4t)e^{t^{2}} dt + xe^{x^{2}}}
[/mm]
Danke schon im Vorraus
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> Hallo Leute.
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> Wie kann ich alle Extremstellen der folgenden Funktion auf
> [mm](-\infty,\infty)[/mm]
> bestimmen?
>
> f(x):= [mm]\integral_{0}^{x}{(1+4t)e^{t^{2}} dx + xe^{x^{2}}}[/mm]
Hallo,
woran scheitert's denn?
Könntest Du Dein Problem erläutern?
Weißt Du überhaupt nicht, was Du tun sollst?
Grundsätzlich geht's so: Ableitung bestimmen, Null setzen, nach x auflösen.
Dann hast du die Stellen, an denen Extremwerte vorliegen können.
Das wär doch ein Anfang!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Di 30.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hi.
Im Allgemeinen weiß ich natürlich, wie man Extremstellen berechnet.
Ich hab nur Probleme bei dieser Funktionsdefinition.
Weiß net so recht, wie ich das hier anwenden soll.
Kann mir das jemand verdeutlichen?
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Hallo,
daß Problem durfte das Integral sein.
Nimm mal en, daß Du eine Stammfunktion G hättest.
Gruß v, Angela
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> Hallo Ron85!
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> > f(x):= [mm]\integral_{0}^{x}{(1+4t)e^{t^{2}} dx + xe^{x^{2}}}[/mm]
>
> Nur, damit es keine Missverständnisse gibt: hängt die
> Funktion unter dem Integral wirklich von t ab, aber es wird
> nach x integriert? Denn dann wäre das Ganze ja eine
> Konstante, und du könntest direkt das Integral berechnen.
Hallo,
die Aufgabenstellung wird schon richtig sein. Es wird in die stammfunktion ja am Ende x eigesetzt.
Die Stammfunktion und ihre Eigenschaften (Ableitung) sind der Witz bei der Aufgabe.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Sorry, ich hab eben erst gesehen, dass ich dx anstatt dt geschrieben habe.
Es muss also dt heißen.
Kannst Du mir dann helfen?
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> Sorry, ich hab eben erst gesehen, dass ich dx anstatt dt
> geschrieben habe.
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> Es muss also dt heißen.
Och, das war mir gar nicht aufgefallen. Ich habe das die ganze Zeit so gelesen, wie es stehen SOLLTE.
Mein Tip bleibt also derselbe. Tu einfach mal so, als hättest Du eine Stammfunktion G des Integral gefunden.
Dann wäre [mm] \integral_{0}^{x}...= [/mm] G(?)-G(?)
Dieses setze in f(x)= ... ein.
Nun ableiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Aber wie lautet die Stammfunktion? Das, was hinter dem dt steht muss ich aber nicht mit aufleiten, oder?
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> Aber wie lautet die Stammfunktion?
Hallo,
wenn Du jetzt eines meiner Kinder wärest, würde ich mich aufplustern, mit dem Finger energisch auf Dich zeigen und sagen: "Mach jetzt sofort, was ich dir sage."
Aber erstens bist du nicht mein Kind, und zweitens funktioniert es bei denen auch nicht. Die sagen dann so komisch zu mir: "Bitte begründen Sie."
Keinesfalls sollst du das Integral ausrechen.
Ich möchte Dir das schöne Erlebnis verschaffen, daß Du die Aufgabe löst, ohne das Integrals zu berechnen.
Das ist das Ziel.
Du sollst nur so tun, als hättest Du eine Stammfunktion G.
Was macht man denn mit einer Stammfunktion, wenn man das Integral berechnet? Was macht man, wenn man weiß, daß K die Stammfunktion von [mm] \integral_{a}^{b}{k(t) dt} [/mm] ist? Das da: [mm] \integral_{a}^{b}{k(t) dt}= K(t)|_{a}^{b} [/mm] =K(b) - K(a)
Das mach jetzt für Dein Integral mit der Funktion, von der wir uns einbilden, wir würden sie kennen, und die wir G nennen.
Wenn Du dann bei f(x) das Integral durch diese G-Geschichte ersetzt hast, kannst Du f ableiten.
Die Ableitung einer Konstanten =0.
Und jetzt haarscharf nachgedacht. Was ist die Ableitung der Stmmfunktion?
Was ist G'(x)?
> Das, was hinter dem dt
> steht muss ich aber nicht mit aufleiten, oder?
Nein, nein, das dahinter hat mit dem Integral nichts zu tun.
Gruß v. Angela
P.S.: Ich bin mir übrigens gar nicht sicher, ob man, selbst wenn man es wollte, zu diesem Integral eine Stammfunktion angeben kann! Ich meine eher, daß [mm] e^{t^2} [/mm] keine Stammfunktion hat - aber das wissen die Integralspezialisten im Forum besser als ich...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Do 01.02.2007 | | Autor: | Ron85 |
Meine Funktion f(x) lautet also nun:
f(x)= [mm] (1+4x)e^{x^{2}}+xe^{x^{2}}
[/mm]
Ich kann nun ausmultiplizieren und erhalte als erste ableitung
f´(x)= [mm] 2xe^{x^{2}}+10x^{2}e^{x^{2}}
[/mm]
Diese hat eine Nullstelle bei x=0
Wenn ich 0 bei der zweiten ableitung einsetze erhalte ich aber wieder 0.
also ist 0 keine Extremstelle.
Wie soll ich denn nun die Extrema berechnen?
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> Meine Funktion f(x) lautet also nun:
>
> f(x)= [mm](1+4x)e^{x^{2}}+xe^{x^{2}}[/mm]
Hallo,
richtig! Eine schwere, aber glückliche Geburt.
>
> Ich kann nun ausmultiplizieren und erhalte als erste
> ableitung
>
> f´(x)= [mm]2xe^{x^{2}}+10x^{2}e^{x^{2}}[/mm]
Die Ableitung ist nicht richtig.
[mm] f(x)=e^{x^{2}}+5xe^{x^{2}}
[/mm]
Bei der Ableitung des zweiten der Terme hast du die Produktregel vergessen.
Mach's einfach nochmal.
Ich greife aber aus rechentechnischen Gründen Deine verkehrte Ableitung noch einmal auf:
> f´(x)= $ [mm] 2xe^{x^{2}}+10x^{2}e^{x^{2}} [/mm] $
> Diese hat eine Nullstelle bei x=0
Diese Nullstelle ist nicht die einzige. Schau!
[mm] 0=2xe^{x^{2}}+10x^{2}e^{x^{2}}
[/mm]
<==> 0= 2x [mm] +10x^2 [/mm] (denn durch [mm] e^{x^{2}} [/mm] kann ich ungestraft dividieren, es ist niemals =0)
<==> 0= 2x (1+5x), also hat man Nullstellen bei 0 und [mm] -\bruch{1}{5}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Do 01.02.2007 | | Autor: | Ron85 |
Ok Danke.
Also ist -1/5 die einzige Extremstelle dieser Funktion.
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> Also
Hast Du Dir es richtig durchgelesen????????
Deine Ableitung war doch verkehrt!
> ist -1/5 die einzige Extremstelle dieser Funktion.
Nein. Es ist die zweite Nullstelle der von Dir fälschlicherweise als Ableitung verwendeten Funktion.
Für die Aufgabe kannst Du sie eher nicht gebrauchen...
Sie war zu Lehrzwecken...
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Do 01.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
deine Funktion f(x) ist ja:
[mm] f(x)=(1+4x)e^{x^{2}}+xe^{x^{2}}
[/mm]
[mm] =(1+4x+x)e^{x²}
[/mm]
[mm] =\underbrace{(1+5x)}_{u}\underbrace{e^{x²}}_{v}
[/mm]
Und die Ableitung hiervon berechnest du per Produktregel
f'(x)=u*v'+u'*v, wobei du für v' noch die Kettenregel brauchst.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 01.02.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hab jetzt die richtige Ableitung und habe durch [mm] e^{x^{2}}
[/mm]
beim Nullsetzen dividiert und erhalte dann:
[mm] 10x^{2}+2x+5=0
[/mm]
Nun erhalte ich aber beim Anwenden der pq-Formel einen negativen Wert als Diskriminante. Bekomme demzufolge keine Lösung.
Wie kann ich es sonst noch lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Do 01.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hab jetzt die richtige Ableitung und habe durch [mm]e^{x^{2}}[/mm]
> beim Nullsetzen dividiert und erhalte dann:
>
> [mm]10x^{2}+2x+5=0[/mm]
Korrekt
>
> Nun erhalte ich aber beim Anwenden der pq-Formel einen
> negativen Wert als Diskriminante. Bekomme demzufolge keine
> Lösung.
> Wie kann ich es sonst noch lösen?
Auch korrekt.
Oder meinst du [mm] (1+5x)*(e^{x})²?
[/mm]
Dieser Graph hat eine Extremstelle, wie du dem Bild entnehmen kannst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 01.02.2007 | | Autor: | Ron85 |
Kann es also sein, dass diese Funktion keine Extremstellen besitzt?
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> Kann es also sein, dass diese Funktion keine Extremstellen
> besitzt?
Hallo,
so etwas gibt's.
Zeichne sie doch mal!
Gruß v. Angela
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