Extremal- u. Wendepunkte < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Führen Sie eine Kurvendiskussion von f durch und zeichnen Sie den Graphen über dem angegebenen Intervall.
a) f(x) = x²-8x+15; 2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 6 |
Meine Frage ist, wie muss ich vorgehen um solch eine Aufgabe zu lösen? Es geht mir jedoch hier nur um die Berechnung der Extremal- und Wendepunkte!
Ich verstehe das mit dem:
Kriterium 1: Berechung von f''(xE)
f''(xE) < 0 => maximum
f''(xE) > 0 => minimum
f''(xE) = 0 => keine Aussage
Kriterium 2: Vorzeichenwechsel von f' bei xE
Vorzeichenwechsel von f' bei xE: +/- => maximum
Vorzeichenwechsel von f' bei xE: -/+ => minimum
und das mit den Wendepunkten ebenso wenig...
Kriterium 1: Berechung von f'''(xW)
f'''(xW) < 0 => Wendepunkt (L-r)
f'''(xW) > 0 => Wendepunkt (R-l)
f'''(xW) = 0 => keine Aussage
Kriterium 2: Vorzeichenwechsel von f'' bei xE
Vorzeichenwechsel von f'' bei xW: +/- => L-r-Wp
Vorzeichenwechsel von f'' bei xW: -/+ => R-l-Wp
Wäre nett, wenn mir das jemand, so gut wie es eben über dieses Forum möglich ist, erklären kann.. ich muss diese Aufgabe rechnen, komme aber absolut nicht weiter :(
Viele liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mathefreak90!
> Führen Sie eine Kurvendiskussion von f durch und zeichnen
> Sie den Graphen über dem angegebenen Intervall.
>
> a) f(x) = x²-8x+15; 2 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 6
> Meine Frage ist, wie muss ich vorgehen um solch eine
> Aufgabe zu lösen? Es geht mir jedoch hier nur um die
> Berechnung der Extremal- und Wendepunkte!
Also was denn jetzt? Willst du wissen, wie man allgemein vorgeht oder geht es dir nur um die Extremal- und Wendepunkte? Zu ersterem solltet ihr eine Art Liste haben, was ihr alles untersuchen sollt, bei uns fing das an mit dem Definitions- und Wertebereich, dann mit Symmetrie und Schnittpunkten mit den Achsen, usw.. Die meisten Sachen davon sind glaube ich Mittelstufenstoff, nur fasst man es bei einer Kurvendiskussion halt alles zusammen.
> Ich verstehe das mit dem:
>
> Kriterium 1: Berechung von f''(xE)
> f''(xE) < 0 => maximum
> f''(xE) > 0 => minimum
> f''(xE) = 0 => keine Aussage
Das ist eigentlich ganz einfach. Zuerst musst du "mögliche" Extrempunkte herausfinden, manchmal haben die auch noch einen Namen, der fällt mir aber gerade nicht ein, da das bei uns keinen expliziten Namen hatte... Mögliche Extrempunkte sind die, bei denen die 1. Ableitung =0 ist, denn das ist - bekanntermaßen - eine notwendige Bedingung. Wenn also die Ableitung an einer Stellen nicht =0 ist, kann dort gar kein Extrempunkt sein. Du musst also zuerst f'(x) berechnen und =0 setzen.
Wenn du das hast, weißt du aber erstens noch nicht, ob das wirklich ein Extrempunkt ist, denn auch bei Sattelpunkten ist die 1. Ableitung =0, und zweitens, selbst wenn es ein Extrempunkt ist, weißt du noch nicht, ob es ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist. Und das musst du nun noch herausfinden. Du musst also die zweite Ableitung berechnen und gucken, ob sie an den "möglichen" Extremstellen >0, <0 oder =0 ist. Ist sie dort <0, so hast du einen Hochpunkt, ist sie >0, so hast du einen Tiefpunkt, ist sie gleich 0, so müsstest du noch die nächsten Ableitungen betrachten um eine Aussage machen zu können, das macht man aber in der Schule glaube ich selten.
> Kriterium 2: Vorzeichenwechsel von f' bei xE
> Vorzeichenwechsel von f' bei xE: +/- => maximum
> Vorzeichenwechsel von f' bei xE: -/+ => minimum
Manchmal ist es sehr komplex, die zweite Ableitung zu berechnen, und man bedient sich lieber des Vorzeichenwechselkriteriums. Du musst dazu die erste Ableitung in der Nähe deiner "möglichen" Extrempunkte betrachten. Das heißt, du setzt Zahlen ein kleines bisschen größer und ein kleines bisschen kleiner als der mögliche Extrempunkt ein, wenn das erste negativ und das zweite positiv ist, hast du einen Wechseln von - zu +, also einen Tiefpunkt, andernfalls einen Hochpunkt.
Bei den Wendepunkten ist es eigentlich ganz genauso. Verstehst du es jetzt?
Viele Grüße
Bastiane
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