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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Do 01.02.2007 | | Autor: | Incibus |
| Aufgabe | [mm] u=\vektor{2 \\ 1 \\ 0} v=\vektor{1 \\ -1 \\ 2} w=\vektor{0 \\ 3 \\ -4}
[/mm]
a) sind die Vektoren linear unabhängig
b) Bilden u,v,w eine Basis des Vektorraums V? |
zu a) Die Vektoren sind linear abhänig w=u-2v
zu b) bilden nun nur u und v meine Basis des Vektorraumes oder muss ich noch einen 3. Vektor, der zu den beiden linear unabhängig ist hinzunehmen um eine Basis des [mm] R^3 [/mm] zu erhalten?
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Hallo!
> [mm]u=\vektor{2 \\ 1 \\ 0} v=\vektor{1 \\ -1 \\ 2} w=\vektor{0 \\ 3 \\ -4}[/mm]
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> a) sind die Vektoren linear unabhängig
> b) Bilden u,v,w eine Basis des Vektorraums V?
> zu a) Die Vektoren sind linear abhänig w=u-2v
> zu b) bilden nun nur u und v meine Basis des Vektorraumes
> oder muss ich noch einen 3. Vektor, der zu den beiden
> linear unabhängig ist hinzunehmen um eine Basis des [mm]R^3[/mm] zu
> erhalten?
Um eine Basis der [mm] \IR^3 [/mm] zu erhalten, benötigst du genau drei Vektoren. Demnach bilden obige Vektoren keine Basis. Stell dir doch z. B. die Einheitsvektoren [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] vor. Könntest du mit diesen z. B. den Vektor [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] darstellen? Nein! Denn die ersten beiden alleine sind keine Basis.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Do 01.02.2007 | | Autor: | Incibus |
Und wie würde das ganze nun aussehen, wenn ich aus den ersten beiden Vektoren auch den [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] darstellen könnte?
Würden dann die 2Vektoren langen oder brauche ich im [mm] R^3 [/mm] 3 Vektoren, im [mm] R^4 [/mm] 4 und im [mm] R^5 [/mm] 5 Vektoren um eine Basis zu erhalten?
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>brauche ich im [mm]R^3[/mm] 3
> Vektoren, im [mm]R^4[/mm] 4 und im [mm]R^5[/mm] 5 Vektoren um eine Basis zu
> erhalten?
Hallo,
ja, so ist das.
Es ist sicher in der Vorlesung gezeigt worden, daß alle Basen eines Vektorraumes gleichmächtig sind. (Sonst wäre der Dimensionsbegriff auch sehr sinnlos...)
Von den angegebenen VR kennst Du die kanonischen Einheitsbasen, jede andere Basis muß aus ebenso vielen Vektoren bestehen.
Gruß v. Angela
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