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Endlichkeit von Ringerweiterun: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:43 Fr 25.10.2019
Autor: Voxxy

Aufgabe
Sei K ein Körper, [mm] R=K[t_1^{2},t_2,t_3,...] [/mm] und T = [mm] K[t_1,t_2,t_3,...] [/mm]
Zeigen Sie:
a) Zeigen Sie, dass (1, [mm] t_1) [/mm] eine R-Basis von R ist und folgern sie die Endlichkeit der Erweiterung T/R
b) Für I = [mm] (t_1^{2},t_2,t_3,...) \subset [/mm] R sei S = R + [mm] It_1. [/mm] Zeigen Sie, dass S ein Zwischenring von T/R ist.
c) Zeigen Sie, dass die Abbildung S [mm] \to [/mm] R, a+ [mm] bt_1 \mapsto [/mm] b  einen surhektiven Modulhomomorphismus definiert.
d) Folgern Sie, dass die Erweiterung S/R nicht endlich ist.

Ich schreibe mal auf, was ich bisher habe:
a) Wir haben [mm] t_1^{2} [/mm] als einziges Element in R, welches nicht in T ist. Dieses lässt sich durch die Basis [mm] (1,t_1) [/mm] darstellen. Die anderen Elemente lassen sich folglich auch darstellen, da diese auch in T sind und mit dem Basiselement 1 multipliziert werden können.
Die Erweiterung ist endlich, da T als R-Modul endlich erzeugt ist.
b) Hier müsste ich zeigen, dass S ein Oberring von R ist und S ein Unterring von T?
c) Hier müsste ich zeigen, dass für die ABbildung f: S [mm] \to [/mm] R
[mm] f(s_1 [/mm] + [mm] s_2) [/mm] = [mm] f(s_1) [/mm] + [mm] f(s_2), f(s_1 [/mm] * k) = [mm] f(s_1) [/mm] *k und f(k* [mm] s_1) [/mm] = k* [mm] f(s_1) [/mm] für [mm] s_1, s_2 \in [/mm] S und k [mm] \in [/mm] K? Das wäre Homomorphieeigenschaft? Plus zusätzlich dann noch die Surjektivität?
d) Hierzu hatte ich etwas im Skript gelesen, dass S [mm] \to [/mm] I, a+ [mm] bt_1 \mapsto [/mm] b  ein R-Modulepimorphismus ist. Hieraus erkennt man, dass I nicht endlich erzeugt ist und somit die Erweiterung S/R nicht endlich ist. Geht das oder kann man auch irgendwie mit der Abbildung aus c) argumentieren?

Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße
Voxxy

        
Bezug
Endlichkeit von Ringerweiterun: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 27.10.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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