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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Ein Kegel wird aus einem Zylin
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Ein Kegel wird aus einem Zylin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Mo 23.06.2003
Autor: Ich

Aufgabe
Aus einem Zylinder (Durchmesser 12 cm, Höhe 24 cm) wird ein Kegel von gleicher Grundfläche herausgebohrt. Sein Achsenschnitt ist
a) ein gleichseitiges,
b) ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck.
Berechne die Oberfläche und das Volumen des Grundkörpers.

Ich weiß gar nicht, wie genau diese Aufgabe gelöst werden soll, da ich sie leider nicht wirklich verstehe. Wir haben also einen Zylinder mit einem Radius von 6 cm und einer Höhe von 24 cm, die gleichen Werte hat auch der herausgebohrte Kegel. Danach weiß ich nicht mehr, wie es weitergehen soll.

        
Bezug
Ein Kegel wird aus einem Zylin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Mo 23.06.2003
Autor: Marc

Hallo Ich (äh, Du),

willkommen im MatheRaum :-)!

ok, der Zylinder hat tatsächlich den Radius 6 cm und die Höhe 24 cm, aber der Kegel hat nur den Radius gemeinsam mit dem Zylinder ("gleiche Grundfläche").

Die Höhe des Kegels entscheidet sich mit der Information
a) Achsenschnitt gleichseitiges Dreieck bzw.
b) Achsenschnitt rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck

Der Achsenschnitt eines Kegels ist eine aus dem Kegel (senkrecht) herausgeschnitte "Scheibe" (Ebene), die die Achse enthält.

Im ersten Fall soll das ein gleichseitiges Dreieck sein. Nun, die Grundlinie des gleichseitigen Dreieckes ist offenbar der Durchmesser des Zylinder, die Höhe dieses Dreieck müßtest du also noch ausrechnen. Sag' bitte Bescheid, falls du eine Skizze benötigst.

Im zweiten Fall soll das ein rechtwinkliges Dreieck sein, und zwar bleibt nur die Möglichkeit, dass der rechte Winkel in der Spitze des Kegel liegt; die Grundlinie (a=12cm) wird damit zur Hypotenuse.

Reichen dir diese Tipps bereits? Falls nicht, hake bitte nach.

Viele Grüße,
Marc


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Ein Kegel wird aus einem Zylin: Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Mo 23.06.2003
Autor: Marc

Hallo Ich,

hier eine Skizze für die Teilaufgabe a), bei der alle Seiten des Dreiecks die Länge d haben:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Gruß,
Marc


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ein Kegel wird aus einem Zylin: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:21 Mo 23.06.2003
Autor: Ich

Da die Höhe des Kegels sich mit der Information ob es jetzt ein gleichseitiges Dreieck / rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck  ist entscheidet, heißt das, dass ich bei a) eine andere Höhe erhalte als bei b)? (Müsste eigentlich so sein)

Ich verstehe nicht, warum die Grundlinie des gleichseitigen Dreieckes dem Durchmesser des Zylinders entspricht. Warum reden wir eigentlich von der Grundlinie? In einem gleichseitigen Dreieck sind doch eh alle Seiten gleich, wie der Name schon sagt.
Vielen dank für die schnelle Hilfe, die mir doch schon sehr geholfen hat diese Aufgabe etwas mehr zu verstehen, und die nette Begrüßung.

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Ein Kegel wird aus einem Zylin: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 Mo 23.06.2003
Autor: Marc

Hallo Ich,

> Da die Höhe des Kegels sich mit der Information ob es jetzt ein
> gleichseitiges Dreieck / rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck
>  ist entscheidet, heißt das, dass ich bei a) eine andere Höhe
> erhalte als bei b)? (Müsste eigentlich so sein)

Ja, genau, so ist es :-)

> Ich verstehe nicht, warum die Grundlinie des gleichseitigen
> Dreieckes dem Durchmesser des Zylinders entspricht. Warum reden

Die "Grundlinie" entspricht dem Durchmesser des Zylinders, da Zylinder und Kegel die gleiche Grundfläche haben sollen; das geht nur doch nur, wenn die untere Seite des (um seine Höhen-Achse rotierenden) Dreiecks gerade so lang wie der Durchmesser ist.

> wir eigentlich von der Grundlinie? In einem gleichseitigen
> Dreieck sind doch eh alle Seiten gleich, wie der Name schon
> sagt.

Ja, gut, da hast du recht. Ich habe es nur Grundlinie genannt, da durch die Rotation des Dreiecks ja aus dieser Seite die Grundfläche entsteht. Außerdem wird diese Seite in Aufgabenteil b) zur Grundlinie (oder auch "Basis" genannt)

> Vielen dank für die schnelle Hilfe, die mir doch schon sehr
> geholfen hat diese Aufgabe etwas mehr zu verstehen, und die

Das freut mich sehr :-)

> nette Begrüßung.

Das ist doch selbstverständlich ;-)

Traust du dir nun schon die Lösung zu?

Gruß,
Marc


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Ein Kegel wird aus einem Zylin: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:16 Di 24.06.2003
Autor: Marc

Hallo Ich,

zur Sicherheit gebe ich dir auch noch die Lösungen inklusive Rechenweg.

Die "grobe" Lösungsidee ist für das Volumen des Körpers, dass zuerst das Volumen des Zylinders berechnet wird, und davon das Volumen des "herausgebohrten" Kegel subtrahiert wird. Ich hoffe, dass ist von der Anschauung her klar.

Die Gesamtoberfläche ist etwas komplizierter, aber auch nicht schwierig: Zunächst haben wir die Oberflächen des Zylinders, allerdings ohne eine Grundfläche (die ein Kreis ist). Statt dieser Kreisfläche wurde sozusagen die Mantelfläche des Kegels eingesetzt (wohlgemerkt, nur die Mantelfläche und nicht die Oberfläche, denn dem Kegel fehlt ja auch die Grundfläche).

Vorweg --weil ich diese Größen jetzt mehrmals erwähnt habe-- berechne ich das Volumen, die Oberfläche und die Grundfläche des Zylinders.

Der Zylinder hat einen Durchmesser von d=12cm und eine Höhe von k=24cm.

Damit gilt für die Grundfläche GZyl:

[mm] G_{Zyl} = \pi \cdot r^2 [/mm]
[mm]= \pi \cdot (6cm)^2 [/mm]
[mm] = 113,10cm^3 [/mm]

Für das Volumen:
[mm] V_{Zyl} = \pi \cdot r^2 \cdot k [/mm]
[mm]=\pi \cdot (6cm)^2 \cdot 24 cm [/mm]
[mm] = 2714,34 cm^3 [/mm]

(Das Volumen hätte man auch mit [mm] V = G \cdot k [/mm] berechnen können).

Für die Oberfläche:
[mm] O_{Zyl} = 2 \cdot G + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot k [/mm]
[mm]= 2 \cdot 113,10cm^3 + 2 \cdot \pi \cdot 6cm \cdot 24cm [/mm]
[mm]= 904,78 cm^2[/mm]

Das waren die interessanten Größen für den Zylinder.




So, nun zum Kegel.

Für Teilaufgabe a) ist dessen Achsenschnitt ein gleichseitiges Dreieck, und da die untere Seite mit dem Durchmesser des Zylinders zusammenfällt, sind alle Seiten d=12cm lang.
Die Höhe ist dann -- nach dem Satz des Pythagoras:
[mm] d^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2 + h^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow d^2 = \frac{d^2}{4} + h^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{4 \cdot d^2}{4} - \frac {d^2}{4} = h^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{3 \cdot d^2}{4} = h^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h^2 = \frac{3 \cdot d^2}{4}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \sqrt{ \frac{3 \cdot d^2}{4}}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \frac{ \sqrt{ 3 \cdot d^2}}{\sqrt{4}}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \frac{ \sqrt{ 3 } \cdot \sqrt{d^2}}{2}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \frac{ \sqrt{ 3 } \cdot d}{2}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \sqrt{3} \cdot \frac{d}{2}[/mm]

Das war vielleicht jetzt ein bißchen ausführlich... und ich hätte jetzt fast vergessen, die eigentlichen Zahlen einzusetzen ;-)

[mm]\Leftrightarrow h = \sqrt{3} \cdot \frac{12cm}{2}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = \sqrt{3} \cdot 6cm[/mm]
[mm]\Leftrightarrow h = 10,39cm [/mm]

Die Höhe des Kegels beträgt also [mm]h = 10,39cm [/mm].

Insgesamt hat der Kegel also den Radius r=6cm und die Höhe h=10,39cm; sein Volumen beträgt:
[mm] V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h[/mm]
[mm]= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (6cm)^2 \cdot 10,39cm [/mm]
[mm] = 391,69cm^3[/mm]

Das Volumen des aufgebohrten Zylinders:
[mm]V = V_{Zyl} - V_{Kegel}[/mm]
[mm]= 2714,34 cm^3-391,69cm^3[/mm]
[mm]= 2322,65 cm^3[/mm]

Oberfläche:
[mm] O = O_{Zyl} - G_{Zyl} + M_{Kegel} [/mm]

Das überlasse ich dir, ich beschäftige mich jetzt lieber mit Teilaufgabe b) :-)




Hier soll der Achsenschnitt des Kegels ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck sein. Das auch hier die Grundflächen übereinstimmen sollen, ist die untere Seite (=die Grundlinie=die Basis) des Dreiecks d=12cm lang. Diese Seite ist auch gleichzeitig die Hypotenuse, denn der rechte Winkel befindet sich ja in der Spitze des Kegels.

Wir können nun den Satz des Pythagoras benutzen, um die Längen der Katheten auszurechnen; ihre Länge nenne ich mal [mm]a[/mm].

[mm]\mbox{Hypotenuse}^2 = \mbox{Kathete}^2 + \mbox{Kathete}^2[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow d^2 = a^2 + a^2 [/mm]
[mm]\Longleftrightarrow d^2 = 2 \cdot a^2[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow 2 \cdot a^2= d^2[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow a^{2} = \frac{d^2}{2}[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow a = \frac{d}{\sqrt{2}}[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow a = \frac{12cm}{\sqrt{2}}[/mm]
[mm]\Longleftrightarrow a = 8,49cm[/mm]

So, jetzt kennen wir schon mal die Längen der Katheten, allerdings sind wir --wie im Aufgabenteil a)-- eher an der Höhe des Dreiecks interessiert, denn diese Höhe ist ja auch gleichzeitig die Höhe des Kegels.

Die Höhe teilt unser rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck in zwei gleich große (rechtwinklige) Teildreiecke, auf die wir wieder den Satz des Pythagoras anwenden können; die Hypotenuse in einem Teildreick ist jetzt aber die Seite a (siehe oben):

[mm] a^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2 + h^2 [/mm]
[mm]\Longleftrightarrow h^2 = a^2 - \left( \frac{d}{2} \right)^2 [/mm]
[mm]\Longleftrightarrow h^2 = (8,49cm)^2 - (6cm)^2 [/mm]
[mm]\Longleftrightarrow h^2 = 36,08cm^2 [/mm]
[mm]\Longleftrightarrow h = 6,01cm [/mm]

Ab hier kommst du aber alleine klar, oder? Bitte melde dich mit deinen Ergebnisse / Fragen. :-)

Viele Grüße,
Marc


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Ein Kegel wird aus einem Zylin: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:03 Di 24.06.2003
Autor: Ich

Zuerst berechnen wir die Grundfläche mit der Flächeninhaltsformal von einem Kreis und dann berechnen wir halt das Volumen. Klar. Dann berechnen wir halt die Oberfläche indem wir 2*Grundfläche+2*Mantel rechnen.
Dann zu unserem Satz des Pythagoras: d Quadrat = die hälfte von d Quadrat, was der Radius ist, expotenziert mit 2 + Die Höhe zum Quadrat etc etc
Ja vielen Dank, ich hab das verstanden. Also ich meine, ich weiß warum das so ist und dann weiß ich auch wie man das machen muss, weil ich ja den Grund kenne, warum ich das eigentlich so machen muss. Klasse

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Ein Kegel wird aus einem Zylin: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:11 Di 24.06.2003
Autor: Marc

Hallo Ich,

es freut mich sehr, dass du das verstanden hast :-) (obwohl bei deiner Umschreibung des Sachverhalts mit deinen eigenen Worten mehrere Dinge schief gelaufen sind: Warum ist die Oberfläche="2*Grundfläche+2*Mantel" und bei deiner Anwendung des Pythagoras ist ein Quadrat zuviel. Was ist eigentlich expotenziert? :-)).

Wie sind die zahlenmäßigen Lösungen? Naja, es ist ja schon spät, und du solltest vielleicht besser jetzt schlafen gehen :-).

Alles Gute,
Marc


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Ein Kegel wird aus einem Zylin: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 Di 24.06.2003
Autor: Ich

Oh was die Fehler in der Beschreibung angeht, weiß ich jetzt auch nicht, was ich mir dabei gedacht habe. Vor allem habe ich es nicht so gerechnet. Ich habe ganz einfach für die Oberfläche folgendes berechnet: 2pir²+2M/Pi r k
Ich dachte wenn ich halt den Exponenten mit der Basis öhm... zusammenrechne, nenne ich das exponenzieren. Z.B. 3³ der Exponent 3 wird 3 mal mit der Basis 3 multipliziert und das Ganze dachte ich, nennt man exponenzieren, dem ist aber wohl nicht so.

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Ein Kegel wird aus einem Zylin: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:36 Di 24.06.2003
Autor: Marc

Hallo Ich,

> Oh was die Fehler in der Beschreibung angeht, weiß ich jetzt
> auch nicht, was ich mir dabei gedacht habe. Vor allem habe ich
> es nicht so gerechnet. Ich habe ganz einfach für die Oberfläche
> folgendes berechnet: 2pir²+2M/Pi r k

Verstehe ich nicht... woher kommt denn das "dividiert durch"-Zeichen?
Wovon soll das eigentlich die Oberfläche sein?

> Ich dachte wenn ich halt den Exponenten mit der Basis öhm...
> zusammenrechne, nenne ich das exponenzieren. Z.B. 3³ der
> Exponent 3 wird 3 mal mit der Basis 3 multipliziert und das
> Ganze dachte ich, nennt man exponenzieren, dem ist aber wohl
> nicht so.

Öähm, nein. :-)

Bei 3² zum Beispiel, nennt man das Ganze eine Potenz, 3 ist die Basis, 2 der Exponent.
Man sagt auch, die 3 wird mit 2 potenziert.

Marc.


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