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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwertproblem
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Eigenwertproblem: Korrektur und Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Sa 12.05.2012
Autor: kullinarisch

Aufgabe
Sei [mm] A\in O_n [/mm] (also A orthogonale nxn- Matrix) mit detA=-1. Zeigen Sie, -1 ist Eigenwert von A mit ungerader algebraischer Vielfachheit.

Hallo!
Also das -1 ein Eigenwert ist habe ich so gezeigt:

Für einen Ew [mm] \lambda [/mm] zu einem Ev [mm] v\not=0 [/mm] gilt ja [mm] det(A-\lambda*I)v=0 [/mm]

Zu zeigen, dass [mm] \lambda=-1 [/mm] ist also gleichbedeutend damit, wenn man zeigt, dass det(A+I)=0 ist. Da A orthogonal, gilt ja [mm] A^T=A^{-1} [/mm]

Also:

[mm] det(A+I)=det(A+A*A^T)=det(A(I+A^T))=det(A)*det(I+A^T)=-det(I+A^T)=-det(I+A) [/mm]

also gilt 2*det(A+I)=0 und damit det(A+I)=0 und -1 ist ein Eigenwert!

Jetzt muss ich zeigen, dass der Eigenwert [mm] \lambda=-1 [/mm] eine ungerade algebraische Vielfachheit hat.

Es gilt doch [mm] det(A)=(-1)^n\produkt_{i=1}^{n}\lambda_i^{m_i} [/mm] also das Produkt der Eigenwerte [mm] \lambda_i [/mm] mit der algebraischen Vielfachheit [mm] m_i [/mm] im Exponent. Also über [mm] \IC [/mm] habe ich doch immer n Eigenwerte, ist das richtig? Wobei die natürlich auch gleich sein können. Wie könnte man denn jetzt weiter folgern, dass -1 nur eine ungerade algebraische Vielfachheit haben kann?

Grüße, kulli

        
Bezug
Eigenwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:24 So 13.05.2012
Autor: Blech


> Also über $ [mm] \IC [/mm] $ habe ich doch immer n Eigenwerte, ist das richtig?

Ja.

> Wie könnte man denn jetzt weiter folgern, dass -1 nur eine ungerade algebraische Vielfachheit haben kann?

Die komplexen EW treten nur in Paaren mit zueinander komplex konjugierten EW auf (weil A nur reelle Koeffis hat).

[mm] $z*\bar [/mm] z >0$ (=1 in dem Fall, weil alle Betrag 1 haben)


ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Eigenwertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:28 So 13.05.2012
Autor: kullinarisch


> > Also über [mm]\IC[/mm] habe ich doch immer n Eigenwerte, ist das
> richtig?
>  
> Ja.
>  
> > Wie könnte man denn jetzt weiter folgern, dass -1 nur eine
> ungerade algebraische Vielfachheit haben kann?
>
> Die komplexen EW treten nur in Paaren mit zueinander
> komplex konjugierten EW auf (weil A nur reelle Koeffis
> hat).
>
> [mm]z*\bar z >0[/mm] (=1 in dem Fall, weil alle Betrag 1 haben)
>  
>
> ciao
>  Stefan

Super, Danke! :-)

Bezug
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