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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Diesmal geht es um folgende Aufgabe:
Gegeben sei die lineare Abbildung F: [mm] \cal{D}(I;\IR)\to \cal{D}(I;\IR), \varphi\mapsto\varphi'', [/mm] wobei [mm] I\subset \IR [/mm] ein Intervall ist.
a) Bestimmen Sie die reellen Eigenwerte von F.
Also, ich hab mir jetzt mal gedacht, dass für [mm] \varphi_1(x)=\sin{x} [/mm] und [mm] \varphi_2(x)=\cos{x} [/mm] jeweils -1 ein Eigenwert wäre. Das stimmt doch, oder?
Aber könnte ich auch [mm] \varphi(x)=e^{\lambda x} [/mm] nehmen? Da wäre ja dann [mm] \varphi''(x)=\lambda^2e^{\lambda x}. [/mm] Was wären denn da hier die Eigenwerte? Alle [mm] \lambda's? [/mm] Oder geht das doch nicht?
Sind das denn alle [mm] \varphi's [/mm] oder gibt es noch mehr? Ach ja, ich glaub', [mm] c\sin{x}, c\cos{x} [/mm] und [mm] ce^{\lambda x} [/mm] wären auch noch Lösungen. Aber sind das dann alle?
b) Bestimmen Sie eine Basis von Eig(F,-1).
Naja, wenn das da oben alle [mm] \varphi's [/mm] waren, dann wäre eine Basis von Eig(F,-1) doch [mm] \{\sin{x},\cos{x},e^{\lambda x}\}. [/mm] Stimmt das? (Naja, wenn a) nicht korrekt ist, dann wird das hier wohl auch nicht stimmen.)
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
P.S.: Siehe auch diese Frage hier.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Di 27.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist mit sin(r*x), cos(r*x)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Di 27.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo leduart!
> Hallo
> was ist mit sin(r*x), cos(r*x)
> Gruss leduart
Also hätte ich:
[mm] f''(x)=-r^2\sin(rx)
[/mm]
und [mm] f''(x)=-r^2\cos(rx)
[/mm]
Wäre dann der Eigenwert [mm] -r^2?
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Di 27.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wäre dann der Eigenwert [mm]-r^2?[/mm]
Natürlich. Vielleicht ist es auch das Problem bei meinem Post - du weisst nciht, was die EW der Funktion wirklich sind?!? Ist es jetzt klarer?
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Di 27.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also, ich hab mir jetzt mal gedacht, dass für
> [mm]\varphi_1(x)=\sin{x}[/mm] und [mm]\varphi_2(x)=\cos{x}[/mm] jeweils -1
> ein Eigenwert wäre. Das stimmt doch, oder?
Ja, aber du willst doch alle EW bestimmen, oder?
> Aber könnte ich auch [mm]\varphi(x)=e^{\lambda x}[/mm] nehmen? Da
> wäre ja dann [mm]\varphi''(x)=\lambda^2e^{\lambda x}.[/mm] Was wären
> denn da hier die Eigenwerte? Alle [mm]\lambda's?[/mm] Oder geht das
> doch nicht?
Hier alle positiven. Mit leduarts Hilfe kannst du dann ja feststellen, was es alles an EW gibt, aber für die b) reicht das ja nicht.
> Sind das denn alle [mm]\varphi's[/mm] oder gibt es noch mehr? Ach
> ja, ich glaub', [mm]c\sin{x}, c\cos{x}[/mm] und [mm]ce^{\lambda x}[/mm] wären
> auch noch Lösungen. Aber sind das dann alle?
Das ist die Frage. Was muss man dazu tun? Ein reelles Fundamentalsystem für die DGL [m]\varphi-k*\varphi''=0[/m] finden!
EDIT: argh, da habe ich die Konstante an die falsche Stelle rutschen lassen, es muss richtig [m]k*\varphi-\varphi''=0[/m] heissen, wenn k ein EW sein soll. Entschuldigung für diesen Dreher!
Dazu muss man dann sicher die Fälle nicht-negativer k und negtaiver k unterscheiden (Komplexifizierung). Das findet man in jedem Analysis/DGL-Buch. Mit diesem Fundamentalsystem erhälst du dann auch eine Bais für jeden EW k!
> b) Bestimmen Sie eine Basis von Eig(F,-1).
>
> Naja, wenn das da oben alle [mm]\varphi's[/mm] waren, dann wäre eine
> Basis von Eig(F,-1) doch [mm]\{\sin{x},\cos{x},e^{\lambda x}\}.[/mm]
> Stimmt das?
Nein, selbst wenn a) stimmen würde (was es auch gewissermaßen tut, aber das musst du ja erst zeigen!). Welche Funktion zweimal abgeleitet hat den den EW -1 nicht?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Di 27.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Wieder mal verstehe ich deine Antwort leider kaum. :-(
> > Also, ich hab mir jetzt mal gedacht, dass für
> > [mm]\varphi_1(x)=\sin{x}[/mm] und [mm]\varphi_2(x)=\cos{x}[/mm] jeweils -1
> > ein Eigenwert wäre. Das stimmt doch, oder?
>
> Ja, aber du willst doch alle EW bestimmen, oder?
Welche Eigenwerte gäbe es denn noch???
> > Aber könnte ich auch [mm]\varphi(x)=e^{\lambda x}[/mm] nehmen? Da
> > wäre ja dann [mm]\varphi''(x)=\lambda^2e^{\lambda x}.[/mm] Was wären
> > denn da hier die Eigenwerte? Alle [mm]\lambda's?[/mm] Oder geht das
> > doch nicht?
>
> Hier alle positiven. Mit leduarts Hilfe kannst du dann ja
> feststellen, was es alles an EW gibt, aber für die b)
> reicht das ja nicht.
Wieso nur alle positiven? Eine negative Zahl zum Quadrat ist doch auch wieder positiv, warum kann ich die nicht auch nehmen?
Was hat das mit leduarts Hilfe zu tun?
Was hat das mit Aufgabe b zu tun - wofür reicht es da nicht?
> > Sind das denn alle [mm]\varphi's[/mm] oder gibt es noch mehr? Ach
> > ja, ich glaub', [mm]c\sin{x}, c\cos{x}[/mm] und [mm]ce^{\lambda x}[/mm] wären
> > auch noch Lösungen. Aber sind das dann alle?
>
> Das ist die Frage. Was muss man dazu tun? Ein reelles
> Fundamentalsystem für die DGL [m]\varphi-k*\varphi''=0[/m]
> finden! Dazu muss man dann sicher die Fälle nicht-negativer
> k und negtaiver k unterscheiden (Komplexifizierung). Das
> findet man in jedem Analysis/DGL-Buch. Mit diesem
> Fundamentalsystem erhälst du dann auch eine Bais für jeden
> EW k!
Ich glaube kaum, dass das hier gefordert ist.
> > b) Bestimmen Sie eine Basis von Eig(F,-1).
> >
> > Naja, wenn das da oben alle [mm]\varphi's[/mm] waren, dann wäre eine
> > Basis von Eig(F,-1) doch [mm]\{\sin{x},\cos{x},e^{\lambda x}\}.[/mm]
> > Stimmt das?
>
> Nein, selbst wenn a) stimmen würde (was es auch
> gewissermaßen tut, aber das musst du ja erst zeigen!).
> Welche Funktion zweimal abgeleitet hat den den EW -1
> nicht?
Wie - ich muss zeigen, dass a) stimmt??? Warum wäre b dann immer noch nicht richtig?
Wenn ich nehme:
[mm] f(x)=x^5
[/mm]
dann ist [mm] f''(x)=20x^3
[/mm]
hat das den Eigenwert -1??? Dann müsste ja gelten: [mm] x^5=-20x^3!?
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Di 27.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wieder mal verstehe ich deine Antwort leider kaum. :-(
Hmm. Ich lasse die Antwort dann mal auf teilwise unebantwortet ...
> Welche Eigenwerte gäbe es denn noch???
Ja eben das ist doch die Frage?!? antwort: alle rellen Zahlen.
> > Hier alle positiven. Mit leduarts Hilfe kannst du dann ja
> > feststellen, was es alles an EW gibt, aber für die b)
> > reicht das ja nicht.
>
> Wieso nur alle positiven?
Das Quadrat einer rellen Zahl ist nicht negativ. (Wow ;->)
> Eine negative Zahl zum Quadrat
> ist doch auch wieder positiv, warum kann ich die nicht auch
> nehmen?
Ja und? Was ist denn der EW hier in dem Fall?
> Was hat das mit leduarts Hilfe zu tun?
Rechne doch mal nach, was die zweite Ableitung dieser Funktionen ist! Welchen EW haben die denn?
> Was hat das mit Aufgabe b zu tun - wofür reicht es da
> nicht?
da sollst du eine Basis angeben - du musst noch zusätzlich ausschließen, dass es andere Funktionen gibt, die keine Lin.kombination der gefundenn sind, und auch den EW -1 haben.
> Ich glaube kaum, dass das hier gefordert ist.
Dann mach es nicht - aber das ist dann imvho dein Problem. Du kannst ja eins nur für den EW -1 bestimmen - denn das ist ja gefordert.
> Wie - ich muss zeigen, dass a) stimmt??? Warum wäre b dann
> immer noch nicht richtig?
Das habe ich schon geschrieben - warum leitest du nicht einfach die Funktioen zweimal ab? Dann stellst du fest, das eine von denen nicht EW -1 hat. Und das habe ich oben schon geschrieben.
> [mm]f(x)=x^5[/mm]
>
> dann ist [mm]f''(x)=20x^3[/mm]
>
> hat das den Eigenwert -1???
Naütlrich nicht.
> Dann müsste ja gelten:
> [mm]x^5=-20x^3!?[/mm]
Und das ist sicher falsch.
Und als weitereAufgabe: bestimme eine Basis zum eW 1, und eine zum EW 0. Lehrreich .
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Di 27.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Leider lässt sich der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ in der Tat ohne Analysis-Kenntnisse nicht lösen.
Es muss ja gelten:
[mm] $\varphi'' [/mm] = - 1 [mm] \cdot \varphi$,
[/mm]
d.h. [mm] $\varphi$ [/mm] muss eine Lösung der Differentialgleichung
[mm] $\varphi'' [/mm] + [mm] \varphi [/mm] = 0$
sein. Dies ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Dimension des Lösungsraums ist gleich dem Grad des charakteristischen Polynoms:
$p(t) = [mm] t^2+1$,
[/mm]
also gleich $2$.
Eine komplexe Basis des Lösungsraumes wird durch
[mm] $\varphi_1(t) [/mm] = [mm] e^{\lambda t}$ [/mm] und [mm] $\varphi_2(t) [/mm] = [mm] \overline{e^{\lambda t}}$
[/mm]
gegeben, wobei [mm] $\lambda$ [/mm] eine (komplexe) Nullstelle von $p$ ist. Hier ist etwa [mm] $\lambda=i$, [/mm] und daher:
[mm] $\varphi_1(t) [/mm] = [mm] e^{it}$ [/mm] und [mm] $\varphi_2(t) [/mm] = [mm] e^{-it}$
[/mm]
eine komplexe Basis des Lösungsraumes, wodurch man (bilde den Real-und Imaginärteil beider Funktionen) via
[mm] $\psi_1(t) [/mm] = [mm] \cos(t)$ [/mm] und [mm] $\psi_2(t) [/mm] = [mm] \sin(t)$
[/mm]
eine reelle Lösung erhält.
Vielleicht war aber auch schon aus Analysis 1 oder 2 bekannt, dass [mm] $\{\cos(t),\sin(t)\}$ [/mm] ein reelles Fundamentalsystem der DGL $y''+y=0$ ist.
In jedem Fall gilt also:
$Eig(F,-1)= [mm] Span(\cos(t),\sin(t))$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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