www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform
Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:15 Do 29.01.2004
Autor: Nick

N'abend allerzeits,

ich sitze mal wieder an meinen Aufgaben und hab' grad nen Brett vor dem Kopf. Ich hab folgende Aufgabe zu lösen:

a) Es sei V ein K-Vektorraum, [mm]\alpha[/mm] [mm]\in[/mm]  End V und v1,...,vr seien Eigenvektoren von [mm]\alpha[/mm] zu paarweise verschiedenen Eigenwerten t1,...,tr. Zeigen Sie, dass (v1,...,vr) linear unabhängig ist.

b) Es sei nun zusätzlich [mm]\delta[/mm] : V x V -> K eine symmetrische Bilinearform auf V und [mm]\alpha[/mm]  habe die Eigenschaft, dass [mm]\delta[/mm] ([mm]\alpha[/mm] (v),w) = [mm]\delta[/mm] (v,[mm]\alpha[/mm] (w)) für alle v,w [mm]\in[/mm] V gilt. Zeigen Sie, dass v1,...,vr paarweise orthogonal sind, d.h. dass [mm]\delta[/mm] (vi,vj) = 0 ist für i [mm]\neq[/mm] j.

Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben, damit ich ne Idee bekomme, wie ich die Aufgabe lösen kann?

Aber danke schon mal im voraus,

Eurer Nick

        
Bezug
Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Do 29.01.2004
Autor: Marc

Hallo Nick!

ad a)

Hier könnte man einen Widerspruchsbeweis führen und annehmen, dass [mm] v_1,\ldots,v_r [/mm] nicht linear unabhängig sind.
Dann kann man diese $r$ Eigenvektoren so sortieren (einfach durch Umnummerierung), dass (wenigstens) die ersten $k$ Vektoren linear unabhängig sind, und alle anderen $r-k$ Vektoren eine Linearkombination dieser $k$ Vektoren sind. (Im Extremfall wäre $k=1$, aber das spielt keine Rolle.)
Dann gilt zum Beispiel diese Gleichung:
$ [mm] s_1*v_1 [/mm] + [mm] s_2*v_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] s_k*v_k [/mm] = [mm] v_{k+1} [/mm] $ mit [mm] $s_1,\ldots,s_k\in\IK$ [/mm]
(Der (k+1)-te Eigenvektor ist eine Linearkombination der ersten k Eigenvektoren, s.o.)

Und so geht es weiter:
Nun berechne doch mal zum Spaß das Bild dieser Linearkombination unter [mm] $\alpha$; [/mm] dies geht auf zwei verschiedene Weisen (Tipp: Linearität von [mm] $\alpha$ [/mm] und Eigenvektor-Eigenschaft der Linearkombiniton als ganzes ausnutzen!)

Bei Problemen verrate ich gerne noch mehr :-)

ad b)

Zeige zunächst, dass
[mm] $t_i*\delta(v_i,v_j)=t_j*\delta(v_i,v_j)$ [/mm]
(Linearität von [mm] $\delta$ [/mm] benutzen)

Dann folgt die Behauptung sofort daraus, dass [mm] $t_i\neq t_j$ [/mm] vorausgesetzt war.

Viel Erfolg,
Marc.


Bezug
        
Bezug
Eigenvektoren/symmetrische Bilinearform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 So 01.02.2004
Autor: Lisa

Hi,

besitzt du zufällig den Beutelspacher? Da steht auf Seite 204 die Lösung von Teil a.  :-)

Viel Glück!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]