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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Fr 10.09.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen!
Mich hat etwas in einem Buch stutzig gemacht. Es gibt ja da folgende Eigenschaften für Masse:
Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm]-Algebra. Des weiteren sei [mm] (A_n)_n [/mm] eine Folge von messbaren Mengen mit [mm] A_n \in \mathcal{A} \forall n [/mm] sowie [mm] A_{n+1} \subset A_n[/mm]. Angenommen der limes dieser Folge existiert und er sei [mm] A [/mm]. Dann gilt ja ([mm] \mu [/mm] ist ein Mass):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \mu{(A_n)} = \mu{(A)} [/mm]. Das gleiche gilt ja auch wenn für die Folge gilt: [mm] A_n \subset A_{n+1}[/mm]
Diese zwei Eigenschaften [mm] A_n \subset A_{n+1}[/mm] resp. [mm] A_{n+1} \subset A_n[/mm] habe ich immer als zentrales Stück angesehen. Jetzt soll aber offenbar gelten:
Wenn ich annehme, dass [mm] \mu [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmass ist, und ich irgendeine Folge [mm] (A_n)_n [/mm] habe die gegen ein [mm] A[/mm] konvergiert, dann gilt:
1. [mm] A \in \mathcal{A}[/mm] (klar)
2. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu{(A_n)} = \mu{(A)}[/mm]
Dies erstaunt, da ich im Beweis nicht sehe, wo im Beweis (oder überhaupt) die Eigenschaft "Wahrscheinlichkeitsmass" gebraucht wird. Man würde also vermuten, dass die obigen Aussagen durch letztere ersetzt werden könnte, welche ja allgemeiner ist.
Das kann ich mir aber nicht vorstellen, d.h. es muss doch die Eigenschaft "Wahrscheinlichkeitsmass" gebraucht werden. Evt. kann mir jemand sagen wo im Beweis oder zumindest ein bisschen Licht ins Dunkle bringen. Danke für die HIlfe. Hier noch der kurze Beweis:
Definiere: [mm] \lim \sup_{n \rightarrow \infty}\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m\ge n }A_m [/mm] und
[mm] \lim \inf_{n \rightarrow \infty}\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m\ge n }A_m [/mm]. Nach Annahme gilt [mm]A = \lim \sup A_n = \lim \inf A_n [/mm].
Definier:
[mm] B_n = \bigcap_{m\ge n }A_m [/mm]
[mm] C_n = \bigcup_{m\ge n }A_m [/mm]
Naja diese beiden Folgen erfüllen nun wieder die zwei erstgenannten Eigenschaften sodass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \mu{(B_n)}=\limes_{n\rightarrow\infty} \mu{(C_n)}=\mu{(A)}[/mm] des weiteren gilt [mm] B_n \subset A_n \subset C_n [/mm] und daraus folgt: [mm] \mu{(B_n)} \subset \mu{(A_n)} \subset \mu{(C_n)} [/mm] und schliesslich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \mu{(A_n)} = \mu{(A)} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Sa 11.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mich hat etwas in einem Buch stutzig gemacht. Es gibt ja da
> folgende Eigenschaften für Masse:
>
> Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine [mm]\sigma [/mm]-Algebra. Des weiteren sei
> [mm](A_n)_n[/mm] eine Folge von messbaren Mengen mit [mm]A_n \in \mathcal{A} \forall n[/mm]
> sowie [mm]A_{n+1} \subset A_n[/mm]. Angenommen der limes dieser
> Folge existiert und er sei [mm]A [/mm]. Dann gilt ja ([mm] \mu[/mm] ist ein
> Mass):
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu{(A_n)} = \mu{(A)} [/mm]. Das
> gleiche gilt ja auch wenn für die Folge gilt: [mm]A_n \subset A_{n+1}[/mm]
>
> Diese zwei Eigenschaften [mm]A_n \subset A_{n+1}[/mm] resp. [mm]A_{n+1} \subset A_n[/mm]
> habe ich immer als zentrales Stück angesehen. Jetzt soll
> aber offenbar gelten:
>
> Wenn ich annehme, dass [mm]\mu[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmass ist,
> und ich irgendeine Folge [mm](A_n)_n[/mm] habe die gegen ein [mm]A[/mm]
> konvergiert, dann gilt:
>
> 1. [mm]A \in \mathcal{A}[/mm] (klar)
> 2. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu{(A_n)} = \mu{(A)}[/mm]
>
> Dies erstaunt, da ich im Beweis nicht sehe, wo im Beweis
> (oder überhaupt) die Eigenschaft "Wahrscheinlichkeitsmass"
> gebraucht wird. Man würde also vermuten, dass die obigen
> Aussagen durch letztere ersetzt werden könnte, welche ja
> allgemeiner ist.
>
> Das kann ich mir aber nicht vorstellen, d.h. es muss doch
> die Eigenschaft "Wahrscheinlichkeitsmass" gebraucht werden.
> Evt. kann mir jemand sagen wo im Beweis oder zumindest ein
> bisschen Licht ins Dunkle bringen. Danke für die HIlfe.
> Hier noch der kurze Beweis:
>
>
> Definiere: [mm]\lim \sup_{n \rightarrow \infty}\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m\ge n }A_m[/mm]
> und
> [mm]\lim \inf_{n \rightarrow \infty}\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m\ge n }A_m [/mm].
> Nach Annahme gilt [mm]A = \lim \sup A_n = \lim \inf A_n [/mm].
Das ist die Definition von [mm] "$(A_n)_n$ [/mm] konvergiert gegen $A$", nehme ich an?
> Definier:
>
> [mm]B_n = \bigcap_{m\ge n }A_m[/mm]
> [mm]C_n = \bigcup_{m\ge n }A_m[/mm]
>
> Naja diese beiden Folgen erfüllen nun wieder die zwei
> erstgenannten Eigenschaften sodass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu{(B_n)}=\limes_{n\rightarrow\infty} \mu{(C_n)}=\mu{(A)}[/mm]
Hier hast du benutzt, dass [mm] $\mu$ [/mm] ein (Wahrscheinlichkeits-)Mass ist. Andernfalls gibt es keinen Grund, dass die Grenzwerte existieren und gleich dem Mass von $A$ sind.
> des weiteren gilt [mm]B_n \subset A_n \subset C_n[/mm] und daraus
> folgt: [mm]\mu{(B_n)} \subset \mu{(A_n)} \subset \mu{(C_n)}[/mm]
> und schliesslich [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu{(A_n)} = \mu{(A)}[/mm]
Das folgt einfach aus dem Einschachtelungslemma fuer Folgen, oder wie man es auch immer nennen mag.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Felix, hallo pyhsicus!
Ich habe physicus Frage so so verstanden:
1) Wenn [mm]\mu[/mm] ein Maß ist und [mm]\lim A_n=A[/mm] (also [mm]\liminf A_n=\limsup A_n[/mm]), gilt dann immer
i) [mm]A\in\mathcal{A}[/mm]
ii) [mm]\lim \mu(A_n)=\mu(A)[/mm]?
2) Und falls nein, warum gilt es nur für Wahrscheinlichkeitsmaße?
Meiner Meinung nach stimmt 1) bzw. physicus Beweis dazu, jedenfalls sehe ich nicht, wo man die Endlichkeit des Maßes benötigen würde.
Mich würde die Antwort darauf auch interessieren 
Viele Grüße,
Marc
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