Eigenschaften Menge überprüfen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich sitze nun schon etwas länger vor einer Aufgabe und merke, dass ich sie einfach nicht hinbekomme und da noch ziemliche Lücken habe...
Und zwar soll ich überprüfen, ob sich verschiedene Eigenschaften einer Menge auch für die Menge [mm] M(a)=\{x \in \IR^k; (x,a) \in M\} [/mm] (Schnitt in Höhe a) folgen. (k,n [mm] \in \IN, [/mm] k< n; M [mm] \subset \IR^n, [/mm] a [mm] \in \IR^{n-k})
[/mm]
Ich scheiter bereits bei grundlegenden Sachen wie Abgeschlossenheit.
Ich muss dazu ja voraussetzen, dass M abgeschlossen ist und untersuchen, ob diese Eigenschaft nun auch für M(a) folgt.
Das bereitet mir aber große Probleme...
Ich habe mir überlegt, dass ja prüfen muss, ob [mm] \{x\in \IR^k; (x,a) \in M\} [/mm] abgeschlossen ist. Diese setzt sich aus x [mm] \in \IR^k [/mm] zusammen, deren Tupel (x,a) ein Element einer abgeschlossenen Menge ist. Aber wie finde ich nun raus, ob diese Menge abgeschlossen ist?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
Liebe Grüße und noch einen schönen Abend!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Pia,
>
> ich sitze nun schon etwas länger vor einer Aufgabe und
> merke, dass ich sie einfach nicht hinbekomme und da noch
> ziemliche Lücken habe...
> Und zwar soll ich überprüfen, ob sich verschiedene
> Eigenschaften einer Menge auch für die Menge [mm]M(a)=\{x \in \IR^k; (x,a) \in M\}[/mm]
> (Schnitt in Höhe a) folgen. (k,n [mm]\in \IN,[/mm] k< n; M [mm]\subset \IR^n,[/mm]
> a [mm]\in \IR^{n-k})[/mm]
>
> Ich scheiter bereits bei grundlegenden Sachen wie
> Abgeschlossenheit.
>
> Ich muss dazu ja voraussetzen, dass M abgeschlossen ist und
> untersuchen, ob diese Eigenschaft nun auch für M(a) folgt.
> Das bereitet mir aber große Probleme...
> Ich habe mir überlegt, dass ja prüfen muss, ob [mm]\{x\in \IR^k; (x,a) \in M\}[/mm]
> abgeschlossen ist. Diese setzt sich aus x [mm]\in \IR^k[/mm]
> zusammen, deren Tupel (x,a) ein Element einer
> abgeschlossenen Menge ist. Aber wie finde ich nun raus, ob
> diese Menge abgeschlossen ist?
Nimm eine Folge [mm] $(y_n)$ [/mm] in $M(a)$, die gegen ein [mm] $y\in \IR^n$ [/mm] konvergiert und zeige, daß [mm] $y\in [/mm] M(a)$ liegt.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 18.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank für die Antwort!
Also ich würde also nun wie folgt beginnen.
Sei M [mm] \subset \IR^n [/mm] abgeschlossen und [mm] (y_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge in M(a), die gegen ein y [mm] \in \IR [/mm] konvergiert.
Nun blinken allerdings leider schon wieder die Fragezeichen über meinem Kopf :/
Also ich habe also [mm] (y_n)_n \subset [/mm] M(a), also [mm] (y_n)_n \subset \{x \in \IR^k; (x,a) \in M \}. [/mm] Doch wie zeige ich nun, dass y [mm] \in [/mm] M(a) ist?
Sorry für mein Unverständnis...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 18.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Antwort!
>
> Also ich würde also nun wie folgt beginnen.
>
> Sei M [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen und [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm]
> eine Folge in M(a), die gegen ein y [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
>
> Nun blinken allerdings leider schon wieder die Fragezeichen
> über meinem Kopf :/
>
> Also ich habe also [mm](y_n)_n \subset[/mm] M(a), also [mm](y_n)_n \subset \{x \in \IR^k; (x,a) \in M \}.[/mm]
> Doch wie zeige ich nun, dass y [mm]\in[/mm] M(a) ist?
Es gibt eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in [mm] \IR^k: y_n=(x_n,a)
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> Sorry für mein Unverständnis...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 18.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> > Vielen Dank für die Antwort!
> >
> > Also ich würde also nun wie folgt beginnen.
> >
> > Sei M [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen und [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm]
> > eine Folge in M(a), die gegen ein y [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
> >
> > Nun blinken allerdings leider schon wieder die Fragezeichen
> > über meinem Kopf :/
> >
> > Also ich habe also [mm](y_n)_n \subset[/mm] M(a), also [mm](y_n)_n \subset \{x \in \IR^k; (x,a) \in M \}.[/mm]
> > Doch wie zeige ich nun, dass y [mm]\in[/mm] M(a) ist?
>
>
> Es gibt eine Folge [mm](x_n)[/mm] in [mm]\IR^k: y_n=(x_n,a)[/mm]
>
> Hilft das ?
Ich bin mir noch nicht so ganz sicher, ob es mir hilft, aber ich versuche es mal :)
Sei M [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen und [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge in M(a), die gegen ein y [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
Also [mm](y_n)_n \subset[/mm] M(a)={x [mm] \in \IR^k; [/mm] (x,a) [mm] \in [/mm] M [mm] \}.
[/mm]
Es gibt also eine Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] in [mm] \IR^k [/mm] mit [mm] y_n=(x_n,a).
[/mm]
Also [mm] (y_n)_n \subset \{(x_n)_n \in \IR^k, (x_n,a) \in M \}. [/mm] Da M abgeschlossen ist, ist [mm] (x_n,a) [/mm] abgeschlossen und damit auch [mm] (x_n)_n [/mm] abgeschlossen?
>
> FRED
> >
> > Sorry für mein Unverständnis...
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Vielen Dank für die Antwort!
> > >
> > > Also ich würde also nun wie folgt beginnen.
> > >
> > > Sei M [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen und [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm]
> > > eine Folge in M(a), die gegen ein y [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
> > >
> > > Nun blinken allerdings leider schon wieder die Fragezeichen
> > > über meinem Kopf :/
> > >
> > > Also ich habe also [mm](y_n)_n \subset[/mm] M(a), also [mm](y_n)_n \subset \{x \in \IR^k; (x,a) \in M \}.[/mm]
> > > Doch wie zeige ich nun, dass y [mm]\in[/mm] M(a) ist?
> >
> >
> > Es gibt eine Folge [mm](x_n)[/mm] in [mm]\IR^k: y_n=(x_n,a)[/mm]
> >
> > Hilft das ?
>
> Ich bin mir noch nicht so ganz sicher, ob es mir hilft,
> aber ich versuche es mal :)
>
> Sei M [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen und [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm]
> eine Folge in M(a), die gegen ein y [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
> Also [mm](y_n)_n \subset[/mm] M(a)={x [mm] \in \IR^k; [/mm] (x,a) [mm] \in [/mm] M [mm] \}.
[/mm]
> Es gibt also eine Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] in [mm]\IR^k[/mm] mit
> [mm]y_n=(x_n,a).[/mm]
> Also [mm](y_n)_n \subset \{(x_n)_n \in \IR^k, (x_n,a) \in M \}.[/mm]
> Da M abgeschlossen ist, ist [mm](x_n,a)[/mm] abgeschlossen und damit
> auch [mm](x_n)_n[/mm] abgeschlossen?
mach' bitte keine Ratespielchen: Was ist denn - bitteschön - eine
abgeschlossene Folge?
Hier gab's aber eh einige "Tippschwierigkeiten", insgesamt sogar einiges
an Bezeichnungswirrwarr - denn etwa weder [mm] $n\,$ [/mm] noch [mm] $k\,$ [/mm] sollte als
Laufindex verwendet werden, wenn sie schon für Bedeutungen einer
Dimension stehen.
(Ich spreche mich nicht frei davon, dass mir dieser Bezeichnungswirrwarr
nicht auch hätte passieren können geschweige denn davon, dass mir im
Folgenden nicht sogar selbst sowas passiert ist. Ich hoffe, Fred und
Wolfgang schauen auch nochmal kritisch über meine Antwort hier!)
Daraufhin gab' es weitere Dinge, wo Fehler begangen wurden:
Eine Folge in [mm] $M(a)\,$ [/mm] hat Folgenglieder, die selber Elemente von [mm] $\IR^k$
[/mm]
sind - und nicht von [mm] $\IR^n\,.$ [/mm] Die Elemente von [mm] $M(a)\,$ [/mm] haben also [mm] $k\,$
[/mm]
Komponenten/Koordinaten, sie werden aber mithilfe von Elementen, die
$n > [mm] k\,$ [/mm] Komponenten/Koordinaten haben, charakterisiert!
Also machen wir das ganze mal (hoffentlich) richtig(er):
Sei $M [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] abgeschlossen. Wir fragen uns nun:
Ist [mm] $M(a)=\{x \in \IR^k: (x,a) \in M\}$ [/mm] abgeschlossen?
Seien dazu [mm] $x_{(m)} \in \IR^k$ [/mm] so, dass [mm] $x_{(m)} \to (x_1,...,x_k) \in \IR^k$ [/mm] bei $m [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Die Frage, die es nun zu klären gilt, ist: Gilt dann auch [mm] $(x_1,...,x_k) \in [/mm] M(a)$
- bzw. anders formuliert: Gilt [mm] $(x_1,...,x_k,a) \in [/mm] M$?
Falls diese Frage mit "Ja" zu beantworten ist, so haben wir dann - wegen
der Beliebigkeit der Folge aus [mm] $M(a)\,$ [/mm] - gezeigt, dass jede Folge aus [mm] $M(a)\,,$
[/mm]
die in [mm] $\IR^{\red{k}}$ [/mm] konvergiert, auch erfüllt, dass deren Grenzwert in
[mm] $M(a)\,$ [/mm] liegt. Und genau das tun wir jetzt:
Aus [mm] $x_{(m)} \in M(a)\,$ [/mm] folgt (für jedes [mm] $m\,$), [/mm] dass für [mm] $\tilde{x}_{(m)} \in \IR^n\,,$ [/mm] definiert durch [mm] $\tilde{x}_{(m)}:=(x_{(m)},a)\,,$ [/mm] dann
die Folge [mm] $(\tilde{x}_{(m)})_m$ [/mm] eine Folge in [mm] $M\,$ [/mm] ist.
Nun gilt aber [mm] $\tilde{x}_{(m)}:=(x_{(m)},a) \to (x_1,...,x_k,a)\,.$ [/mm]
(Das ist schnell hingeschrieben und auch leicht zu begründen, aber wichtig
finde ich: Kannst Du mir schnell eine Begründung dafür geben? Also diese
Aussage - [mm] $(x_{(m)},a) \to (x_1,...,x_k,a)$ [/mm] - beweisen? Und bitte nicht nur
mit "Das ist klar!". Ich will einen richtigen Grund, d.h., ich will hören: "Das
ist klar, weil...")
Weil [mm] $M\,$ [/mm] abgeschlossen ist folgt daher für [mm] $(x_1,...,x_k,a)$ [/mm] nun was?
Und was bedeutet das bzgl. der Antwort der Frage, ob [mm] $(x_1,...,x_k) \in [/mm] M(a)$
nun gilt oder nicht?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 18.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort!
> Hallo,
>
> > > > Vielen Dank für die Antwort!
> > > >
> > > > Also ich würde also nun wie folgt beginnen.
> > > >
> > > > Sei M [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen und [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm]
> > > > eine Folge in M(a), die gegen ein y [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
> > > >
> > > > Nun blinken allerdings leider schon wieder die Fragezeichen
> > > > über meinem Kopf :/
> > > >
> > > > Also ich habe also [mm](y_n)_n \subset[/mm] M(a), also [mm](y_n)_n \subset \{x \in \IR^k; (x,a) \in M \}.[/mm]
> > > > Doch wie zeige ich nun, dass y [mm]\in[/mm] M(a) ist?
> > >
> > >
> > > Es gibt eine Folge [mm](x_n)[/mm] in [mm]\IR^k: y_n=(x_n,a)[/mm]
> > >
> > > Hilft das ?
> >
> > Ich bin mir noch nicht so ganz sicher, ob es mir hilft,
> > aber ich versuche es mal :)
> >
> > Sei M [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen und [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm]
> > eine Folge in M(a), die gegen ein y [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
> > Also [mm](y_n)_n \subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M(a)={x [mm]\in \IR^k;[/mm] (x,a) [mm]\in[/mm] M
> [mm]\}.[/mm]
> > Es gibt also eine Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] in [mm]\IR^k[/mm] mit
> > [mm]y_n=(x_n,a).[/mm]
> > Also [mm](y_n)_n \subset \{(x_n)_n \in \IR^k, (x_n,a) \in M \}.[/mm]
> > Da M abgeschlossen ist, ist [mm](x_n,a)[/mm] abgeschlossen und damit
> > auch [mm](x_n)_n[/mm] abgeschlossen?
>
> mach' bitte keine Ratespielchen: Was ist denn - bitteschön
> - eine
> abgeschlossene Folge?
>
> Hier gab's aber eh einige "Tippschwierigkeiten", insgesamt
> sogar einiges
> an Bezeichnungswirrwarr - denn etwa weder [mm]n\,[/mm] noch [mm]k\,[/mm]
> sollte als
> Laufindex verwendet werden, wenn sie schon für Bedeutungen
> einer
> Dimension stehen.
> (Ich spreche mich nicht frei davon, dass mir dieser
> Bezeichnungswirrwarr
> nicht auch hätte passieren können geschweige denn davon,
> dass mir im
> Folgenden nicht sogar selbst sowas passiert ist. Ich hoffe,
> Fred und
> Wolfgang schauen auch nochmal kritisch über meine Antwort
> hier!)
>
> Daraufhin gab' es weitere Dinge, wo Fehler begangen
> wurden:
> Eine Folge in [mm]M(a)\,[/mm] hat Folgenglieder, die selber
> Elemente von [mm]\IR^k[/mm]
> sind - und nicht von [mm]\IR^n\,.[/mm] Die Elemente von [mm]M(a)\,[/mm]
> haben also [mm]k\,[/mm]
> Komponenten/Koordinaten, sie werden aber mithilfe von
> Elementen, die
> [mm]n > k\,[/mm] Komponenten/Koordinaten haben, charakterisiert!
>
> Also machen wir das ganze mal (hoffentlich) richtig(er):
> Sei [mm]M \subseteq \IR^n[/mm] abgeschlossen. Wir fragen uns nun:
> Ist [mm]M(a)=\{x \in \IR^k: (x,a) \in M\}[/mm] abgeschlossen?
>
> Seien dazu [mm]x_{(m)} \in \IR^k[/mm] so, dass [mm]x_{(m)} \to (x_1,...,x_k) \in \IR^k[/mm]
> bei [mm]m \to \infty\,.[/mm]
> Die Frage, die es nun zu klären gilt,
> ist: Gilt dann auch [mm](x_1,...,x_k) \in M(a)[/mm]
> - bzw. anders formuliert: Gilt [mm](x_1,...,x_k,a) \in M[/mm]?
>
> Falls diese Frage mit "Ja" zu beantworten ist, so haben wir
> dann - wegen
> der Beliebigkeit der Folge aus [mm]M(a)\,[/mm] - gezeigt, dass jede
> Folge aus [mm]M(a)\,,[/mm]
> die in [mm]\IR^{\red{k}}[/mm] konvergiert, auch erfüllt, dass
> deren Grenzwert in
> [mm]M(a)\,[/mm] liegt. Und genau das tun wir jetzt:
>
> Aus [mm]x_{(m)} \in M(a)\,[/mm] folgt (für jedes [mm]m\,[/mm]), dass für
> [mm]\tilde{x}_{(m)} \in \IR^n\,,[/mm] definiert durch
> [mm]\tilde{x}_{(m)}:=(x_{(m)},a)\,,[/mm] dann
> die Folge [mm](\tilde{x}_{(m)})_m[/mm] eine Folge in [mm]M\,[/mm] ist.
> Nun gilt aber [mm]\tilde{x}_{(m)}:=(x_{(m)},a) \to (x_1,...,x_k,a)\,.[/mm]
> (Das ist schnell hingeschrieben und auch leicht zu
> begründen, aber wichtig
> finde ich: Kannst Du mir schnell eine Begründung dafür
> geben? Also diese
> Aussage - [mm](x_{(m)},a) \to (x_1,...,x_k,a)[/mm] - beweisen? Und
> bitte nicht nur
> mit "Das ist klar!". Ich will einen richtigen Grund, d.h.,
> ich will hören: "Das
> ist klar, weil...")
Die Aussage resultiert doch aus der Konvergenz, oder? Also wir haben zu Beginn ja gerade [mm] x_{(m)} \in \IR^k [/mm] "gewählt", so dass [mm] x_{(m)} \to (x_1,...,x_k) \in \IR^k [/mm] bei m [mm] \to \infty. [/mm] Oder hab ich einen Denkfehler?
>
> Weil [mm]M\,[/mm] abgeschlossen ist folgt daher für [mm](x_1,...,x_k,a)[/mm]
> nun was?
Auf die Gefahr hin, dass das wieder vollkommener Quatsch ist:
[mm] (x_1,...,x_k,a) \in [/mm] M (und damit dann auch abgeschlossen?)
> Und was bedeutet das bzgl. der Antwort der Frage, ob
> [mm](x_1,...,x_k) \in M(a)[/mm]
> nun gilt oder nicht?
und aus [mm] (x_1,...,x_k,a) \in [/mm] M folgt dann [mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_k) [/mm] ist dann [mm] \in [/mm] M(a)?
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen, vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort!
>
> > Hallo,
> >
> > > > > Vielen Dank für die Antwort!
> > > > >
> > > > > Also ich würde also nun wie folgt beginnen.
> > > > >
> > > > > Sei M [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen und [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm]
> > > > > eine Folge in M(a), die gegen ein y [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
> > > > >
> > > > > Nun blinken allerdings leider schon wieder die Fragezeichen
> > > > > über meinem Kopf :/
> > > > >
> > > > > Also ich habe also [mm](y_n)_n \subset[/mm] M(a), also [mm](y_n)_n \subset \{x \in \IR^k; (x,a) \in M \}.[/mm]
> > > > > Doch wie zeige ich nun, dass y [mm]\in[/mm] M(a) ist?
> > > >
> > > >
> > > > Es gibt eine Folge [mm](x_n)[/mm] in [mm]\IR^k: y_n=(x_n,a)[/mm]
> > >
> >
> > > > Hilft das ?
> > >
> > > Ich bin mir noch nicht so ganz sicher, ob es mir hilft,
> > > aber ich versuche es mal :)
> > >
> > > Sei M [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen und [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm]
> > > eine Folge in M(a), die gegen ein y [mm]\in \IR[/mm] konvergiert.
> > > Also [mm](y_n)_n \subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> M(a)={x [mm]\in \IR^k;[/mm] (x,a) [mm]\in[/mm] M
> > [mm]\}.[/mm]
> > > Es gibt also eine Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] in [mm]\IR^k[/mm]
> mit
> > > [mm]y_n=(x_n,a).[/mm]
> > > Also [mm](y_n)_n \subset \{(x_n)_n \in \IR^k, (x_n,a) \in M \}.[/mm]
> > > Da M abgeschlossen ist, ist [mm](x_n,a)[/mm] abgeschlossen und damit
> > > auch [mm](x_n)_n[/mm] abgeschlossen?
> >
> > mach' bitte keine Ratespielchen: Was ist denn - bitteschön
> > - eine
> > abgeschlossene Folge?
> >
> > Hier gab's aber eh einige "Tippschwierigkeiten", insgesamt
> > sogar einiges
> > an Bezeichnungswirrwarr - denn etwa weder [mm]n\,[/mm] noch [mm]k\,[/mm]
> > sollte als
> > Laufindex verwendet werden, wenn sie schon für Bedeutungen
> > einer
> > Dimension stehen.
> > (Ich spreche mich nicht frei davon, dass mir dieser
> > Bezeichnungswirrwarr
> > nicht auch hätte passieren können geschweige denn davon,
> > dass mir im
> > Folgenden nicht sogar selbst sowas passiert ist. Ich hoffe,
> > Fred und
> > Wolfgang schauen auch nochmal kritisch über meine Antwort
> > hier!)
> >
> > Daraufhin gab' es weitere Dinge, wo Fehler begangen
> > wurden:
> > Eine Folge in [mm]M(a)\,[/mm] hat Folgenglieder, die selber
> > Elemente von [mm]\IR^k[/mm]
> > sind - und nicht von [mm]\IR^n\,.[/mm] Die Elemente von [mm]M(a)\,[/mm]
> > haben also [mm]k\,[/mm]
> > Komponenten/Koordinaten, sie werden aber mithilfe von
> > Elementen, die
> > [mm]n > k\,[/mm] Komponenten/Koordinaten haben, charakterisiert!
> >
> > Also machen wir das ganze mal (hoffentlich) richtig(er):
> > Sei [mm]M \subseteq \IR^n[/mm] abgeschlossen. Wir fragen uns
> nun:
> > Ist [mm]M(a)=\{x \in \IR^k: (x,a) \in M\}[/mm] abgeschlossen?
> >
> > Seien dazu [mm]x_{(m)} \in \IR^k[/mm] so, dass [mm]x_{(m)} \to (x_1,...,x_k) \in \IR^k[/mm]
> > bei [mm]m \to \infty\,.[/mm]
> > Die Frage, die es nun zu klären
> gilt,
> > ist: Gilt dann auch [mm](x_1,...,x_k) \in M(a)[/mm]
> > - bzw. anders formuliert: Gilt [mm](x_1,...,x_k,a) \in M[/mm]?
> >
> > Falls diese Frage mit "Ja" zu beantworten ist, so haben wir
> > dann - wegen
> > der Beliebigkeit der Folge aus [mm]M(a)\,[/mm] - gezeigt, dass
> jede
> > Folge aus [mm]M(a)\,,[/mm]
> > die in [mm]\IR^{\red{k}}[/mm] konvergiert, auch erfüllt, dass
> > deren Grenzwert in
> > [mm]M(a)\,[/mm] liegt. Und genau das tun wir jetzt:
> >
> > Aus [mm]x_{(m)} \in M(a)\,[/mm] folgt (für jedes [mm]m\,[/mm]), dass für
> > [mm]\tilde{x}_{(m)} \in \IR^n\,,[/mm] definiert durch
> > [mm]\tilde{x}_{(m)}:=(x_{(m)},a)\,,[/mm] dann
> > die Folge [mm](\tilde{x}_{(m)})_m[/mm] eine Folge in [mm]M\,[/mm] ist.
> > Nun gilt aber [mm]\tilde{x}_{(m)}:=(x_{(m)},a) \to (x_1,...,x_k,a)\,.[/mm]
> > (Das ist schnell hingeschrieben und auch leicht zu
> > begründen, aber wichtig
> > finde ich: Kannst Du mir schnell eine Begründung
> dafür
> > geben? Also diese
> > Aussage - [mm](x_{(m)},a) \to (x_1,...,x_k,a)[/mm] - beweisen?
> Und
> > bitte nicht nur
> > mit "Das ist klar!". Ich will einen richtigen Grund,
> d.h.,
> > ich will hören: "Das
> > ist klar, weil...")
>
> Die Aussage resultiert doch aus der Konvergenz, oder? Also
> wir haben zu Beginn ja gerade [mm]x_{(m)} \in \IR^k[/mm]
> "gewählt", so dass [mm]x_{(m)} \to (x_1,...,x_k) \in \IR^k[/mm] bei
> m [mm]\to \infty.[/mm] Oder hab ich einen Denkfehler?
jein, Du denkst einfach noch nicht "penibel" genug:
Klar ist, dass [mm] $x_{(m)} \to (x_1,...,x_k)\,,$ [/mm] das gilt nach Voraussetzung.
Das ist eine Konvergenz im [mm] $\IR^k\,.$ [/mm] Nun ist aber
[mm] $$(x_{(m)},a) \to [/mm] (x,a)$$
"eine Konvergenzaussage im [mm] $\IR^n$". [/mm] Und die Metriken/Normen sind da
ja jeweils andere. Aber etwa wegen ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17 brauchen wir uns hier
gar nicht groß darum zu kümmern:
Denn: Wegen [mm] $\|x_{(m)}-(x_1,...,x_k)\|^{(k)}_2 \to [/mm] 0$ (damit meine ich die
euklidische Norm des [mm] $\IR^k$) [/mm] folgt nach dieser Bemerkung, dass
[mm] $x_{(m)}$ [/mm] "Koordinatenweise" gegen die entsprechende Koordinate
von [mm] $x=(x_1,...,x_k)$ [/mm] konvergiert.
Insgesamt folgt dann, dass [mm] $(x_{(m)},a) \to [/mm] (x,a)$ bzgl. [mm] $\|.\|_2^{(n)}\,,$
[/mm]
also der Norm im [mm] $\IR^n$, [/mm] gilt, weil alle Koordinatenfolgen der Folge
linkerhand gegen die entsprechenden Koordinaten des Elements
rechterhand konvergieren - und dann verwendet man wieder Bemerkung
8.17.
> >
> > Weil [mm]M\,[/mm] abgeschlossen ist folgt daher für [mm](x_1,...,x_k,a)[/mm]
> > nun was?
>
> Auf die Gefahr hin, dass das wieder vollkommener Quatsch
> ist:
> [mm](x_1,...,x_k,a) \in[/mm] M (und damit dann auch
> abgeschlossen?)
Die Antwort ist richtig, und dennoch hast Du es komisch formuliert: Es folgt
[mm] $(x_1,...,x_k,a) \in M\,,$ [/mm] denn NACH VORAUSSETZUNG war ja [mm] $M\,$ [/mm]
abgeschlossen!
> > Und was bedeutet das bzgl. der Antwort der Frage, ob
> > [mm](x_1,...,x_k) \in M(a)[/mm]
> > nun gilt oder nicht?
>
> und aus [mm](x_1,...,x_k,a) \in[/mm] M folgt dann [mm](x_1,[/mm] ..., [mm]x_k)[/mm]
> ist dann [mm]\in[/mm] M(a)?
Genau. Denn schau' mal:
Sei [mm] $p_k\,$ [/mm] mal irgendein Element. Wie prüft man, ob [mm] $p_k \in [/mm] M(a)$ gilt?
1.) Man schaut sich mal an: Gilt [mm] $p_k \in \IR^k\,.$ [/mm] Falls das nicht so ist,
so folgt schon [mm] $p_k \notin M(a)\,.$
[/mm]
2.) Nun nehmen wir an, es wäre [mm] $p_k \in \IR^k\,.$ [/mm] Dann kann man das
Element [mm] $(p_k,a)$ [/mm] bilden (man schreibt dabei nicht mehr die Klammern
um die Komponenten von [mm] $p_k$ [/mm] bzw. [mm] $a\,,$ [/mm] sondern identifiziert [mm] $(p_k,a)$
[/mm]
direkt als Element des [mm] $\IR^{k+(n-k)}=\IR^n$).
[/mm]
Nun ist also [mm] $(p_k,a) \in \IR^n\,.$ [/mm] Und dann prüft man für dieses Element
[mm] $(p_k,a) \in \IR^n,$ [/mm] ob es in $M [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] liegt oder eben nicht.
Also oben:
Es war
[mm] $$x_{(m)} \to (x_1,...,x_k)$$
[/mm]
und wir haben dann gefolgert, dass
[mm] $$(x_{(m)},a) \to (x_1,...,x_k,a)\,.$$
[/mm]
Nun ist aber [mm] $((x_{(m)},a))_m$ [/mm] eine Folge in [mm] $M\,,$ [/mm] die gegen [mm] $(x_1,...,x_k,a) \in \IR^n$
[/mm]
konvergiert. [mm] $M\,$ [/mm] ist abgeschlossen, also muss [mm] $(x_1,...,x_k,a) \in [/mm] M$
gelten. Nach Definition von [mm] $M(a)\,$ [/mm] folgt dann aber, dass [mm] $(x_1,...,x_k) \in [/mm] M(a)$
gelten muss.
Das ist so die "grobe" Zusammenfassung für eine Kurzversion des
Beweises, dass [mm] $M(a)\,$ [/mm] abgeschlossen ist, wenn [mm] $M\,$ [/mm] dies ist.
Versuch' das alles nochmal selbst zu reproduzieren mit einer Art
"Spickzettelmethode":
1. Was ist zu zeigen und womit beginne ich den Beweis?
Dann guckst Du, wie weit Du kommst und an wenn's an einer Stelle hapert,
schaust Du nochmal nach, wie ich da weiter vorgegangen bin. Dann legst
Du das weg, machst ein bisschen Pause (gehst Kaffee trinken oder was
auch immer) und versuchst nach der Pause nochmal, alleine den Beweis
weiterzuführen. Bis Du wieder an einen Punkt gelangst, wo Dir nicht klar
ist, wie's dann weiter geht. Dann wiederholst Du das Verfahren.
Ist übrigens ein sehr geeignetes - aber aufwändiges - Verfahren, um sich
etwa auf Prüfungen vorzubereiten, in denen es um Verständnisfragen bzgl.
Beweise geht. Denn so lernt man ein wenig dieses "Beweise schrittweise
zusammenzubasteln". (Ist aber nicht das einzige, und manche Leute
arbeiten sogar tatsächlich auch anders besser: Eine andere Methode, um
Beweise "zu erstellen", ist, sich immer zu überlegen: Was bräuchte ich, und
kann ich nun zeigen, dass das, was ich brauche, auch aus dem, was ich
habe, schon folgt...? Optimal ist es, beides zu beherrschen. Was aber
besser ist, hängt je nach Aufgabe, Situation und sogar "Bearbeiter(in)"
ab... Üben kann aber jede(r) beide Methoden!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 So 18.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Viiiiielen, vielen Dank! Du hast mir wirklich sehr geholfen und ich werde versuchen das alles Schritt für Schritt zu verinnerlichen!
Noch eine Frage: Wenn ich die Beschränktheit zeigen will, dann müsste der Beweis recht ähnlich verlaufen, für die Offenheit würde das aber nicht so klappen, oder?
Sonst würde ich nämlich mal versuchen, das darauf so gut es geht zu übertragen...
Schönen Abend noch!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Viiiiielen, vielen Dank! Du hast mir wirklich sehr geholfen
> und ich werde versuchen das alles Schritt für Schritt zu
> verinnerlichen!
>
> Noch eine Frage: Wenn ich die Beschränktheit zeigen will,
> dann müsste der Beweis recht ähnlich verlaufen
das geht meiner Meinung nach superschnell. Schreib's mal hin,. es folgt im
Prinzip aus solch' einer trivialen Ungleichung
[mm] $$\sum_{\ell=1}^k x_\ell^2 \le \sum_{\ell=1}^\red{n} x_\ell^2\,.$$
[/mm]
(Meinetwegen beachte man auch noch, dass [mm] $\sqrt{.}:[0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] (streng) wächst.)
> , für die
> Offenheit würde das aber nicht so klappen, oder?
Na, das weiß ich jetzt nicht. Aber ich vermute fast, dass auch aus der
Offenheit von [mm] $M\,$ [/mm] auf die von [mm] $M(a)\,$ [/mm] geschlossen werden kann - weil
man ja im [mm] $\IR^n$ [/mm] bei " 'offenen Bällen' mehr Richtungen betrachtet,
als man dies im [mm] $\IR^k$ [/mm] tut". Aber daran darfst Du nun selbst rumbasteln,
meine Antwort ist nur eine Intuition, die auch falsch sein kann.
Wenn aus der Offenheit von [mm] $M\,$ [/mm] auf die von [mm] $M(a)\,$ [/mm] geschlossen
werden kann: Das kannst Du dann so beweisen, dass Du zeigst, dass
[mm] $\IR^k \setminus M(a)\,$ [/mm] dann abgeschlossen ist. (Eine Menge ist genau
dann offen, wenn ihr Komplement abgeschlossen ist!) Damit sollte sich das
dann doch gut und schnell beweisen lassen!
> Sonst würde ich nämlich mal versuchen, das darauf so gut
> es geht zu übertragen...
>
> Schönen Abend noch!
Dir auch. Viel Spaß.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Danke, ich werde das mal probieren!
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