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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 So 28.05.2006 | | Autor: | lukasiny |
Hallo
ich habe diese Funktion gegeben [mm] y=e-x^2*e^x
[/mm]
nun steht hier geben sie die gleichung der tangente an, die an der stelle x=-1 den graphen berührt was muss ich tun?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Philipp,
die Steigung der Tangente an einer Stelle x ist gerade der Wert deren Ableitung an dieser Stelle. Bilde also die Ableitung und du bekommst den Wert für die Steigung. Nun hat eine Tangente ja die Form y=mx+n. Wenn du m hast, brauchst du noch n. Wie bekommst du das?
Ganz einfach, du setzt einen beliebigen Punkt der Tangente in die Gleichung ein. Da bleibt nicht viel Auswahl. Den x-Wert hast du schon, nämlich x=-1. Wie bekommst du den dazugehörigen y-Wert? Setze das x mal in f(x) ein. Denn natürlich ist dieser Punkt auch Punkt von f(x). Es ist ja gerade der Berührpunkt beider Funktionen.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 So 28.05.2006 | | Autor: | lukasiny |
Hallo
Danke für die antwort
ich weiß noch immer nicht richtig wie das gemeint ist könnetest du mir das
bitte kurz zeigen danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo Philipp!
Ich finde, mathmetzsch hat das schon sehr gut erklärt, aber wenn es dir noch unklar ist, versuche ich dir es noch n bissl zu verdeutlichen.
Wie mathmetzsch schon sagte, hat eine Tangente die Gleichung der Form $y=mx+n$. Wenn sich die Tangente und der Graph deiner gegebenen Funktion [mm] $f(x)=e-x^2*e^x$ [/mm] an der Stelle $x=-1$ berühren, müssen sie an dieser Stelle die gleiche Steigung haben, welche das gesuchte $m$ ist. Wie mathmetzsch schon bemerkte, berechnest du mithilfe der Ableitung von $f$ die Steigung an der Stelle $x=-1$.
Also, bilden wir die Ableitung:
[mm] f'(x)=-2x*e^x-x^2*e^x=-e^x*(x^2+2x)
[/mm]
Nun setzen wir $x=-1$ in $f'$ ein:
[mm] f'(-1)=-e^{-1}*[(-1)^2+2*(-1)]=-e^{-1}*(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e}
[/mm]
Also ist [mm] $m=e^{-1}=\frac{1}{e}$.
[/mm]
Jetzt suchen wir noch das $n$. Verfahren wir so, wie mathmetzsch schon sagte - setzen wir $x=-1$ in $f(x)$ ein:
[mm] $f(-1)=e-(-1)^2*e^{-1}=e-e^{-1}$
[/mm]
Der hier berechnete y-Wert (für x=-1) ist identisch mit dem y (für x=-1) der Tangentengleichung $y=mx+n$, also dürfen wir diesen samt zugehörigen x-Wert einsetzen.
Also:
[mm] $e-e^{-1}=e^{-1}*(-1)+n$
[/mm]
[mm] $e-e^{-1}=-e^{-1}+n$
[/mm]
Also haben wir $n=e$.
Damit ist deine gesuchte Tangentengleichung [mm] $y=e^{-1}x+e$.
[/mm]
So, das war jetzt etwas ausführlicher - trotzdem finde ich, hat es mathemtzsch schon gut erklärt gehabt.
Liebe Grüße
Seppel
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