Dualbasis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
| Aufgabe | Augabe: Dualbasis
a) Geben Sie zu den Vektoren
[mm] x_{1}=(1,0,-2), x_{2}=(-1,1,0), x_{3}=(0,-1,1) \in \IR^3
[/mm]
Linearformen [mm] f_{i} [/mm] mit [mm] f_{i}(x_{j})= \delta_{ij} [/mm] an.
b) Bestimmen Sie eine Basis von [mm] Ker(f_{1}+f_{2}) [/mm] |
So hallo erstmal,
da ich bei letzten mal so dolle bekommen habe hoffe ich das mir auch diesmal jemand bei meinen Problemen helfen kann.
Bei der Aufgabe a) habe ich Schwierigkeiten (Aufgabe b) auch aber dass ist ein anderes Thema)Ich weiß dass eine Linearform eine lineare Abbildung von einem Vektorraum über dem Körper K in ebendiesen Körper K ist. Mein Vektorraum besteht also aus den Elementen [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] im Körper [mm] \IR^3.
[/mm]
Außerdem weiß ich dass eine Linearform f : V → K diesen beiden folgenden Bedingungen genügt, mit x, y aus V und alle α aus K:
(1) f(x+y) = f(x) + f(y)
(2) f(αx) = αf(x)
Also muss ich um zu zeigen dass
[mm] f_{i} [/mm] mit [mm] f_{i}(x_{j})= \delta_{ij}
[/mm]
eine Linearform ist, diese Kriterien überprüfen.
Mein Problem besteht aber darin dass ich nicht weiß wie ich diese Linearform [mm] (f_{i} [/mm] mit [mm] f_{i}(x_{j})= \delta_{ij}) [/mm] mit [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] aufstellen soll.
Ich bedanke mich schon einmal voraus.
MfG
Pubär
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mi 17.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Pubär,
bei dieser Aufgabe kommt es natürlich sehr stark darauf an, was ihr schon über Linearformen und/oder Dualräume gehört habt.
Ich versuche aber mal, möglichst wenig vorauszusetzen, um nicht allzu sehr mit den Indizes ins Gehege zu kommen beschränke ich mich auch erst mal auf den [mm] \IR^3.
[/mm]
Betrachte jetzt die folgende Abbildung:
[mm] f: \IR^3 \to \IR, \, z=\vektor{z_1\\z_2\\z_3} \mapsto a_1\cdot z_1 + a_2 \cdot z_2 + a_3\cdot z_3 [/mm] mit beliebigen [mm] a_1, a_2, a_3 \in \IR.
[/mm]
Die ist auf jeden Fall eine Linearform (nachprüfen!!), man kann aber auch zeigen (ob Ihr das gemacht habt weiss ich nicht), dass jede Linearform sich so darstellen lässt. Die Aufgabe "finde eine Linearform..." reduziert sich dann also auf "finde geeignete [mm] a_1, a_2, a_3, [/mm] so dass gilt....".
Für jedes [mm] f_i [/mm] das Du in Deiner Aufgabe bestimmen sollt kannst Du jetzt ja einen solchen allgemeinen Ansatz machen und erhälst aus der [mm] \delta_{ij} [/mm] - Bedingung dann jeweils 3 Gleichungen um die [mm] a_i [/mm] zu bestimmen.
Damit sollte a) geknackt sein, über b) sprechen wir dann wenn Du die Ergebnisse aus a) hast (die Aufgabe sieht wesentlich einfacher aus, wenn man [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] tatsächlich hinschreiben kann...)
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
Hallo
Danke Piet das du mir wieder hilfst. Das hat mir schonmal weitergeholfen, aber...
> Für jedes [mm]f_i[/mm] das Du in Deiner Aufgabe bestimmen sollt
> kannst Du jetzt ja einen solchen allgemeinen Ansatz machen
> und erhälst aus der [mm]\delta_{ij}[/mm] - Bedingung dann jeweils 3
> Gleichungen um die [mm]a_i[/mm] zu bestimmen.
Hierbei habe ich ein paar Probleme daß zu verstehen, der Ansatz ist also
[mm]f: \IR^3 \to \IR, \, x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \mapsto a_1\cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + a_3\cdot x_3[/mm] mit beliebigen [mm]a_1, a_2, a_3 \in \IR.[/mm]
oder ist er
[mm]f: \IR^3 \to \IR, \, x_i=\vektor{z_1\\z_2\\z_3} \mapsto a_1\cdot z_1 + a_2 \cdot z_2 + a_3\cdot z_3[/mm] mit beliebigen [mm]a_1, a_2, a_3 \in \IR.[/mm]
Wenn das beides falsch sein sollte bräuchte ich eine simplere Erklärung.
Ich vermute das zweiteres richtig sein könnte:
[mm] f_1: \IR^3 \to \IR, \, x_1=\vektor{1\\0\\-2} \mapsto a_1- 2\cdot a_3
[/mm]
[mm] f_2: \IR^3 \to \IR, \, x_2=\vektor{-1\\1\\0} \mapsto -a_1+a_2
[/mm]
[mm] f_3: \IR^3 \to \IR, \, x_3=\vektor{0\\-1\\1} \mapsto -a_2+a_3
[/mm]
Aber was dann? Wie soll ich aus der [mm]\delta_{ij}[/mm] - Bedingung jeweils 3 Gleichungen erhalten um die [mm]a_i[/mm] zu bestimmen?Bzw. Was ist die [mm]\delta_{ij}[/mm] - Bedingung ?
MfG Pubär
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:46 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Pubär 
> > Für jedes [mm]f_i[/mm] das Du in Deiner Aufgabe bestimmen sollt
> > kannst Du jetzt ja einen solchen allgemeinen Ansatz machen
> > und erhälst aus der [mm]\delta_{ij}[/mm] - Bedingung dann jeweils 3
> > Gleichungen um die [mm]a_i[/mm] zu bestimmen.
>
> Hierbei habe ich ein paar Probleme daß zu verstehen, der
> Ansatz ist also
> [mm]f: \IR^3 \to \IR, \, x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \mapsto a_1\cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + a_3\cdot x_3[/mm]
> mit beliebigen [mm]a_1, a_2, a_3 \in \IR.[/mm]
> oder ist er
> [mm]f: \IR^3 \to \IR, \, x_i=\vektor{z_1\\z_2\\z_3} \mapsto a_1\cdot z_1 + a_2 \cdot z_2 + a_3\cdot z_3[/mm]
> mit beliebigen [mm]a_1, a_2, a_3 \in \IR.[/mm]
> Wenn das beides
> falsch sein sollte bräuchte ich eine simplere Erklärung.
Nun, es ist beides formal richtig, benutze aber lieber piets Schreibweise:
[mm]f: \IR^3 \to \IR, \, z=\vektor{z_1\\z_2\\z_3} \mapsto a_1\cdot z_1 + a_2 \cdot z_2 + a_3\cdot z_3[/mm] mit beliebigen [mm]a_1, a_2, a_3 \in \IR.[/mm]
Der Vektor z mit seinen drei Komponenten [mm] $z_1,z_2,z_3$ [/mm] ist ja nur ein Platzhalter für diejenigen Vektoren, die von der Abbildung f abgebildet werden. Die Bezeichnung dieses Vektors ist egal, Du solltest aber nicht solche Bezeichnung wählen, die schon belegt sind:
In Deiner ersten Version tauchen die Bezeichner [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] als Komponenten des Vektors x auf -- in der Aufgabenstellung sind [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] aber schon die gegebenen Vektoren.
In der zweiten Versionen taucht ebenfalls [mm] $x_i$ [/mm] auf. Das ist auch fast richtig, denn die [mm] $x_i$s [/mm] musst Du ja auch (s.u.) in f einsetzen.
> Ich vermute das zweiteres richtig sein könnte:
> [mm]f_1: \IR^3 \to \IR, \, x_1=\vektor{1\\0\\-2} \mapsto a_1- 2\cdot a_3[/mm]
>
> [mm]f_2: \IR^3 \to \IR, \, x_2=\vektor{-1\\1\\0} \mapsto -a_1+a_2[/mm]
>
> [mm]f_3: \IR^3 \to \IR, \, x_3=\vektor{0\\-1\\1} \mapsto -a_2+a_3[/mm]
>
> Aber was dann? Wie soll ich aus der [mm]\delta_{ij}[/mm] -
> Bedingung jeweils 3 Gleichungen erhalten um die [mm]a_i[/mm] zu
> bestimmen?Bzw. Was ist die [mm]\delta_{ij}[/mm] - Bedingung ?
Das Kronecker-Symbol [mm] $\delta_{ij}$ [/mm] ist ganz einfach so zu verstehen:
[mm] $\delta_{ij}:= \begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \\ 0, & \mbox{für } i\not=j\end{cases}$
[/mm]
also beispielsweise [mm] $\delta_{11}=1$, $\delta_{12}=0$, $\delta_{13}=0$, $\delta_{22}=1$ [/mm] usw.
Ich mache es mal für die erste Linearform [mm] $f_1$ [/mm] vor.
Wir gehen davon aus, dass sie folgende Darstellung besitzt:
[mm] $f_1: \left\{\begin{array}{ccl} \IR^3 & \to & \IR \\ \vektor{z_1\\z_2\\z_3} & \mapsto & a_1*z_1+a_2*z_2+a_3*z_3 \end{array}\right.$
[/mm]
Die drei Zahlen [mm] $a_1,a_2,a_3$ [/mm] sind nun gesucht.
Die Bedingung [mm] $f_i(x_j)=\delta_{ij}$ [/mm] liefert für [mm] $f_1$, [/mm] also $i=1$ die drei Bedingungen:
I. [mm] $f_1(x_1)=1$
[/mm]
II. [mm] $f_1(x_2)=0$
[/mm]
III. [mm] $f_1(x_3)=0$
[/mm]
Nun ist --wie Du oben richtig ausgerechnet hast--:
[mm] $f_1(x_1)=f_1(1,0,-2)=a_1- 2a_3$
[/mm]
[mm] $f_1(x_2)=f_1(-1,1,0)=-a_1+a_2$
[/mm]
[mm] $f_1(x_3)=f_1(0,-1,1)=-a_2+a_3$
[/mm]
Dies in das Gleichungssystem oben eingesetzt liefert:
I. [mm] $a_1- 2a_3=1$
[/mm]
II. [mm] $-a_1+a_2=0$
[/mm]
III. [mm] $-a_2+a_3=0$
[/mm]
Dies ist nun ein lineares Gleichungssystem, versuche damit die drei Zahlen [mm] $a_1,a_2,a_3$ [/mm] zu bestimmen. Die gesuchte Abb. [mm] f_1 [/mm] müsste dann lauten
[mm] $f_1: \left\{\begin{array}{ccl} \IR^3 & \to & \IR \\ \vektor{z_1\\z_2\\z_3} & \mapsto & -z_1-z_2-z_3 \end{array}\right.$
[/mm]
Probe (unnötig):
[mm] $f_1(x_1)=f_1(1,0,-2)=-1-(-2)=1$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $f_1(x_2)=f_1(-1,1,0)=-(-1)-1=0$ [/mm]
[mm] $f_1(x_3)=f_1(0,-1,1)=-(-1)-1=0$ [/mm]
Das gleiche Prozedere dann für [mm] $f_2$ [/mm] und [mm] $f_3$: [/mm] Versuche das mal selbst und schreibe uns Deine Ergebnisse zur Kontrolle!
Wenn Du die drei Linearformen bestimmt hast, dürfte (b) kein Problem mehr sein, denn die Aufgabe lässt sich auf jeden Fall mit einem Linearen Gleichungssystem lösen.
Mit etwas Nachdenken kommt aber aber auch direkt auf die Lösung, wenn man sich mal genau ansieht, welche Vektoren von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] auf 0 abgebildet werden, und welche dann wohl von [mm] f_1+f_2 [/mm] auf 0 abgebildet werden.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
Vielen Dank Marc, dass hat mir auf jeden fall sehr geholfen!
Hier sind meine Lösungen für [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_3:
[/mm]
[mm]f_2: \left\{\begin{array}{ccl} \IR^3 & \to & \IR \\ \vektor{z_1\\z_2\\z_3} & \mapsto & -2z_1-z_2-z_3 \end{array}\right.[/mm]
[mm]f_3: \left\{\begin{array}{ccl} \IR^3 & \to & \IR \\ \vektor{z_1\\z_2\\z_3} & \mapsto & -2z_1-2z_2-z_3 \end{array}\right.[/mm]
Zu Aufgabe b)
Um eine Basis von [mm] Ker(f_1+f_2) [/mm] zu bestimmen muss ich doch zunächst den Kern von [mm] (f_1+f_2) [/mm] bestimmen:
[mm] f_1+f_2=0
[/mm]
[mm] \gdw-z_1-z_2-z_3 [/mm] + [mm] -2z_1-z_2-z_3=0
[/mm]
[mm] \gdw-3z_1-2z_2-2z_3=0
[/mm]
[mm] \gdw z*\vektor{-3 \\ -2\\-2}=\vektor{0\\ 0\\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_1=0,z_2=0,z_3=0
[/mm]
Irgendwie habe ich bei diesen Rechnungen nicht das Gefühl das sie richtig sind!?
MfG Pubär
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 19.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Vielen Dank Marc, dass hat mir auf jeden fall sehr
> geholfen!
> Hier sind meine Lösungen für [mm]f_2[/mm] und [mm]f_3:[/mm]
>
> [mm]f_2: \left\{\begin{array}{ccl} \IR^3 & \to & \IR \\ \vektor{z_1\\z_2\\z_3} & \mapsto & -2z_1-z_2-z_3 \end{array}\right.[/mm]
>
> [mm]f_3: \left\{\begin{array}{ccl} \IR^3 & \to & \IR \\ \vektor{z_1\\z_2\\z_3} & \mapsto & -2z_1-2z_2-z_3 \end{array}\right.[/mm]
>
Die beiden Funktionen sind schon mal O.K.
> Zu Aufgabe b)
> Um eine Basis von [mm]Ker(f_1+f_2)[/mm] zu bestimmen muss ich doch
> zunächst den Kern von [mm](f_1+f_2)[/mm] bestimmen:
> [mm]f_1+f_2=0[/mm]
> [mm]\gdw-z_1-z_2-z_3[/mm] + [mm]-2z_1-z_2-z_3=0[/mm]
> [mm]\gdw-3z_1-2z_2-2z_3=0[/mm]
Auch bis hierher ist noch alles vollkommen richtig!
> [mm]\gdw z*\vektor{-3 \\ -2\\-2}=\vektor{0\\ 0\\ 0}[/mm]
Hm, hier taucht auf einmal ein Skalarprodukt von Vektoren auf, aber da sollten wir erstmal vorsichtig sein (was sind Zeilen-, was sind Spaltenvektoren usw.), also ignoriere ich die Zeile erstmal 
>
> [mm]\Rightarrow z_1=0,z_2=0,z_3=0[/mm]
Das ist sicher eine mögliche Lösung für [mm] z_1,...,z_3, [/mm] aber leider sind das noch nicht alle!
[mm]\gdw-3z_1-2z_2-2z_3=0[/mm] ist doch ein unterbestimmtes Gleichungssystem und sollte als solches auch unendlich viele Lösungen besitzen. Deine Aufgabe ist es jetzt herauszufinden, welche allgemeine Form diese Lösungen haben und dann eine entsprechende Anzahl linear unabhängiger Lösungen (also eine Basis des Lösungsraums) anzugeben.
>
> Irgendwie habe ich bei diesen Rechnungen nicht das Gefühl
> das sie richtig sind!?
>
> MfG Pubär
Gruß
piet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:41 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Pubär!
> Vielen Dank Marc, dass hat mir auf jeden fall sehr
> geholfen!
> Hier sind meine Lösungen für [mm]f_2[/mm] und [mm]f_3:[/mm]
>
> [mm]f_2: \left\{\begin{array}{ccl} \IR^3 & \to & \IR \\ \vektor{z_1\\z_2\\z_3} & \mapsto & -2z_1-z_2-z_3 \end{array}\right.[/mm]
>
> [mm]f_3: \left\{\begin{array}{ccl} \IR^3 & \to & \IR \\ \vektor{z_1\\z_2\\z_3} & \mapsto & -2z_1-2z_2-z_3 \end{array}\right.[/mm]
>
> Zu Aufgabe b)
> Um eine Basis von [mm]Ker(f_1+f_2)[/mm] zu bestimmen muss ich doch
> zunächst den Kern von [mm](f_1+f_2)[/mm] bestimmen:
> [mm]f_1+f_2=0[/mm]
> [mm]\gdw-z_1-z_2-z_3[/mm] + [mm]-2z_1-z_2-z_3=0[/mm]
> [mm]\gdw-3z_1-2z_2-2z_3=0[/mm]
> [mm]\gdw z*\vektor{-3 \\ -2\\-2}=\vektor{0\\ 0\\ 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z_1=0,z_2=0,z_3=0[/mm]
>
> Irgendwie habe ich bei diesen Rechnungen nicht das Gefühl
> das sie richtig sind!?
Siehe piets Korrekturanmerkungen
Eine andere Möglichkeit, den Kern zu bestimmen und die bisher gefundenen Ergebnisse auszunutzen, wäre folgende:
Die drei gegebenen Vektoren [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] bilden offenbar eine Basis des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Jeder Vektor [mm] $v\in\IR^3$ [/mm] hat also eine Darstellung [mm] $v=\lambda_1*x_1+\lambda_2*x_2+\lambda_3*x_3$ [/mm] mit [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\IR$.
[/mm]
Wenden wir nun die Abbildung [mm] $f_1+f_2$ [/mm] auf diesen Vektor an:
[mm] $(f_1+f_2)(v)$
[/mm]
[mm] $=f_1(v)+f_2(v)$
[/mm]
[mm] $=f_1(\lambda_1*x_1+\lambda_2*x_2+\lambda_3*x_3)+f_2(\lambda_1*x_1+\lambda_2*x_2+\lambda_3*x_3)$ ($f_1,f_2$ [/mm] linear)
[mm] $=\lambda_1*f_1(x_1)+\lambda_2*f_1(x_2)+\lambda_3*f_1(x_3)+\lambda_1*f_2(x_1)+\lambda_2*f_2(2_3)+\lambda_3*f_2(x_3)$
[/mm]
[mm] $=\lambda_1*1+\lambda_2*0+\lambda_3*0+\lambda_1*0+\lambda_2*1+\lambda_3*0$
[/mm]
[mm] $=\lambda_1+\lambda_2$
[/mm]
Für den [mm] $\Kern(f_1+f_2)$ [/mm] ergibt sich nun einfach:
[mm] $(f_1+f_2)(v)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\lambda_1+\lambda_2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\lambda_1=-\lambda_2$
[/mm]
d.h., alle Vektoren [mm] $v=\lambda_1*x_1+\lambda_2*x_2+\lambda_3*x_3$, [/mm] die der Bedingung [mm] $\lambda_1=-\lambda_2$ [/mm] genügen, werden auf Null abgebildet:
[mm] $\Kern(f_1+f_2)$
[/mm]
[mm] $=\left\{v=\lambda_1*x_1+\lambda_2*x_2+\lambda_3*x_3\in\IR^3\ :\ \lambda_1=-\lambda_2\right\}$
[/mm]
[mm] $=\left\{v\in\IR^3\ :\ v=\lambda_1*x_1-\lambda_1*x_2+\lambda_3*x_3\right\}$
[/mm]
[mm] $=\left\{v\in\IR^3\ :\ v=\lambda_1*(x_1-x_2)+\lambda_3*x_3\right\}$
[/mm]
[mm] $=\langle x_1-x_2, x_3\rangle$ [/mm] (Klammern bedeuten: "Spann"="Erzeugnis"="Menge aller Linearkombinationen" der beiden Vektoren)
Der Kern ist zweidimensional und wird von den beiden linear unabhängigen Vektoren [mm] $x_1-x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] aufgespannt, die deswegen auch eine Basis des Kerns bilden.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
Ich möchte mich bei euch für die Hilfe bedanken. Ich werd mich jetzt an ähnlichen Aufgaben probieren und hoffentlich nicht mehr scheitern. Ansonsten meld ich mich nochmal.
MfG
Pubär
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