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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 So 25.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Man zeige mit $z,w \in \IC$:
a) $<z,w>^{2}+ <iz,w>^{2} = |z|^{2}|w|^{2}$
b) $|<z,w>|\le |z||w|$
c) $|z+w| \le |z|+|w|$
d) $||z|-|w||\le |z-w|$ |
Hallo,
a)
$ |z|^{2}|w|^{2}= |z\overline{w}|^{2} = (Re(z\overline{w}))^{2} + (-Im(z\overline{w}))^{2} = <z,w>^{2} + <iz,w>^{2} $
b)
$z:= a+bi , w:= x+yi, \ \ a,b,x,y, \in \IR$
zu zeigen : $|<z,w>| = ax+by \le |z||w| =\sqrt{z\overline{z}}\sqrt{w\overline{w}} = \sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2}) $
$|<z,w>|^{2} = (ax+by)^{2} \le (a^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}) \gdw 0 \le a^{2}y^{2} - 2abxy +b^{2}x^{2} = (ay-bx)^{2}$
c) zu zeigen : $|z+w|\le |z|+|w|$.
$Es gilt : |Re(z\overline{w})| \le |z\overline{w}|; |z+w|^{2} = (z+w)(\overline{z}+\overline{w}) = |z|^{2} + z\overline{w} + \overline{z}w + |w|^{2} = |z|^{2}+2Re(z\overline{w})+|w|^{2} \le |z|^{2}+2|z\overline{w}|+|w|^{2} = |z|^{2} + 2|z||w| + |w|^{2}= (z+w)^{2} $
d) zu zeigen: $||z|-|w|| \le |z-w|$ (3)
$(1): |z| = |(z-w)+w| \le |z-w|+|w| \gdw |z|-|w| \le |z-w|$
$(2): |w| = |(w-z)+z| \le |w-z| + |z| \gdw |w|-|z| \le |w-z| $
mit (1) und (2) folgt (3)
Stimmt das so? Was kann man besser machen ?
Danke für jegliche Hilfe.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo kushkush,
c) und d) sind richtig. a) und b) kann ich leider nicht nachvollziehen. Ich weiß nämlich nicht, was $<z, w>$ bedeutet.
Wenn Du's mir sagst ...
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 26.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Wolfgang,
> a)
> was ist <,>
hierbei handelt es sich um ein Skalarprodukt:
$w= u+iv, z=x+iy \ \ [mm] \in \IC$
[/mm]
$<w,z> := [mm] Re(w\overline{z}) [/mm] = ux+vy = [mm] Re(\overline{w}z) [/mm] = <z,w> $
> Grüsse
Vielen vielen Dank!!!
kushkush
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Bei a) und b) geht es letztlich um die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Für b) brauchst du keinen neuen Beweis. Du kannst a) verwenden. Wenn du den zweiten Summanden in a) wegläßt, wird aus der Gleichung die zu folgernde Ungleichung.
Und c) kannst du wiederum aus b) folgern, etwa so:
[mm]|z+w|^2 = |z|^2 + 2 \left \langle z,w \right \rangle + |w|^2 \leq |z|^2 + 2 |z| |w| + |w|^2 = \left( |z| + |w| \right)^2[/mm]
Beim Kleinergleich-Zeichen wurde b) verwendet. Das ist der klassische Beweis, wie man aus der CSU die Dreiecksungleichung gewinnt. Sie funktioniert mit jedem Skalarprodukt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Mo 26.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hi Leopold,
Vielen Dank!!
Gruss
kushkush
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