Drehung/Drehwinkel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen
Vielleicht könnt ihr mir weiter helfen, ich habe folgende Aufgabe:
Es sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein 3-dimensionaler Euklidischer Vektorraum und [mm]\phi_1,\phi_2\in 0(\Phi)\ mit\ det\phi_1=det\phi_2[/mm].
Zeigen SIe: DIe Endomorphismen [mm]\phi_1°\phi_2\ und\ \phi_2°\phi_1[/mm] sind Drehungen. Sind ihre Drehwinkel [mm]\alpha_1\ und\ \alpha_2\ mit\ -\pi\le\alpha_1,\alpha_2\le\pi[/mm], so ist [mm]\alpha_1=\pm\alpha_2[/mm].
Ich habe mir das folgendes zu überlegt:
da [mm]\phi_1[/mm] und [mm]\phi_2\in0(\Phi)[/mm] muss ja gelten [mm]\Phi(\phi_1(v),\phi_1(w))=\Phi(v,w)=\Phi(\phi_2(v),\phi_2(w))[/mm].
Weiterhin gilt ja, dass [mm]\phi_1°\phi_2[/mm] und [mm]\phi_2°\phi_1[/mm] Drehungen sind, d.h. dass [mm]det\phi_1°\phi_2=1=det\phi_2°\phi_1[/mm].
Ferner gilt auch [mm]M_B(\phi_1°\phi_2)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos\alpha_1 & -sin\alpha_1 \\
0 & sin\alpha_1 & cos\alpha_1
\end{vmatrix} [/mm]
und
[mm]M_B(\phi_2°\phi_1)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos\alpha_1 & -sin\alpha_1 \\
0 & sin\alpha_1 & cos\alpha_1
\end{vmatrix} [/mm]
Doch ich weiß nicht wie ich damit die Behauptung Beweisen kann. Hättet ihr vielleicht einen Tipp für mich?
Bis denne
Jessica
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Es sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein 3-dimensionaler Euklidischer Vektorraum
> und [mm]\phi_1,\phi_2\in 0(\Phi)\ mit\ det\phi_1=det\phi_2[/mm].
>
> Zeigen SIe: DIe Endomorphismen [mm]\phi_1°\phi_2\ und\ \phi_2°\phi_1[/mm]
> sind Drehungen. Sind ihre Drehwinkel [mm]\alpha_1\ und\ \alpha_2\ mit\ -\pi\le\alpha_1,\alpha_2\le\pi[/mm],
> so ist [mm]\alpha_1=\pm\alpha_2[/mm].
>
> Ich habe mir das folgendes zu überlegt:
>
> da [mm]\phi_1[/mm] und [mm]\phi_2\in0(\Phi)[/mm] muss ja gelten
> [mm]\Phi(\phi_1(v),\phi_1(w))=\Phi(v,w)=\Phi(\phi_2(v),\phi_2(w))[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , aber brauchen wir hier --denke ich-- nicht.
> Weiterhin gilt ja, dass [mm]\phi_1°\phi_2[/mm] und [mm]\phi_2°\phi_1[/mm]
> Drehungen sind, d.h. dass
> [mm]det\phi_1°\phi_2=1=det\phi_2°\phi_1[/mm].
> Ferner gilt auch [mm]M_B(\phi_1°\phi_2)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos\alpha_1 & -sin\alpha_1 \\
0 & sin\alpha_1 & cos\alpha_1
\end{vmatrix}[/mm]
>
>
> und
>
> [mm]M_B(\phi_2°\phi_1)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos\alpha_1 & -sin\alpha_1 \\
0 & sin\alpha_1 & cos\alpha_1
\end{vmatrix}[/mm]
>
>
> Doch ich weiß nicht wie ich damit die Behauptung Beweisen
> kann. Hättet ihr vielleicht einen Tipp für mich?
Mit [mm] $O(\Phi)$ [/mm] ist doch wahrscheinlich die Gruppe der orthogonalen Endomorphismen gemeint, für diese gilt doch [mm] $\phi\in O(\Phi)$ $\Rightarrow$ $\det \phi=\pm1$
[/mm]
Mit der Determinanten-Eigenschaft [mm] $\det\phi_1\circ\phi_2=\det\phi_1*\det\phi_2$ [/mm] folgt die Behauptung, dass [mm] $\phi_1\circ\phi_2$ [/mm] eine Drehung ist doch unmittelbar (woran man eine Drehung mittels Determinante erkennen kann, hast du ja selbst angegeben.)
Bei der Behauptung über die Winkel bin ich mir noch nicht sicher, da ich gerade abgelenkt werde... gleich also mehr dazu.
Deine Überlegung, die Matrizen anzusehen, scheint mir aber richtig.
Bis gleich,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Di 29.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Meiner Meinung überseht ihr beide eine Kleinigkeit:
> > Weiterhin gilt ja, dass [mm]\phi_1°\phi_2[/mm] und [mm]\phi_2°\phi_1[/mm]
>
> > Drehungen sind, d.h. dass
> > [mm]det\phi_1°\phi_2=1=det\phi_2°\phi_1[/mm].
>
Es ist gerade zu zeigen, dass [mm]\phi_1°\phi_2[/mm] und [mm]\phi_2°\phi_1[/mm] Drehungen sind. Das kann hier nicht einfach vorausgesetz werden!
Oder habe ich da etwa zu schnell gepostet?
Gruss,
Wurzelpi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Di 29.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Wurzelpi,
> > > Weiterhin gilt ja, dass [mm]\phi_1°\phi_2[/mm] und [mm]\phi_2°\phi_1[/mm]
>
> >
> > > Drehungen sind, d.h. dass
> > > [mm]det\phi_1°\phi_2=1=det\phi_2°\phi_1[/mm].
> >
>
> Es ist gerade zu zeigen, dass [mm]\phi_1°\phi_2[/mm] und
> [mm]\phi_2°\phi_1[/mm] Drehungen sind. Das kann hier nicht einfach
> vorausgesetz werden!
> Oder habe ich da etwa zu schnell gepostet?
Das hat Jessica etwas unglücklich aufgeschrieben, stimmt, ich hatte aber gehofft, dass sie es nicht auch so meint.
Es ist natürlich zu zeigen, dass [mm]\det\phi_2\circ\phi_1=1[/mm] ist, woraus man dann schließen kann, dass [mm] \phi_2\circ\phi_1 [/mm] eine Drehung ist (es sind nämlich gerade die Endomorphismen [mm] $\phi \in O(\Phi)$ [/mm] mit [mm] $\det\phi=1$ [/mm] Drehungen.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Di 29.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marc!
Da steht für mich noch eine weitere Frage im Raum:
Laut unserer Vorlesung man nur in eine Richtung schließen:
Wenn eine Drehung vorliegt, ist die Determinante 1.
Ihr benutzt für für den Beweis die Rückrichtung, von der wir gar nicht wissen, ob sie im allgemeinem gilt.
Da müsst ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen!
Gruss,
Wurzelpi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:14 Di 29.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Wurzelpi,
> Da steht für mich noch eine weitere Frage im Raum:
>
> Laut unserer Vorlesung man nur in eine Richtung
> schließen:
> Wenn eine Drehung vorliegt, ist die Determinante 1.
> Ihr benutzt für für den Beweis die Rückrichtung, von der
> wir gar nicht wissen, ob sie im allgemeinem gilt.
Diese Richtung stimmt auch immer (für alle Matrizen, die eine Drehung sind).
Wenn man aber noch zusätzlich weiß, dass die gesuchte Matrix aus der Gruppe der othogonalen Matrizen stammt, dann kann man auch in die andere Richtung schließen.
Also:
Es gilt: $M$ Drehung [mm] $\Rightarrow$ $\det [/mm] M=1$
Es gilt nicht: [mm] $\det [/mm] M=1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $M$ Drehung (Beispiel: [mm] $\pmat{2&0\\0&\bruch{1}{2}}$)
[/mm]
Aber es gilt: [mm] $M\in [/mm] O(V)$, [mm] $\det [/mm] M=1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $M$ Drehung
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 29.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Marc,
danke für deine schnelle Antwort. Im Nachhinein ist die Lösung ja gar nicht so schwer. Ich hatte auch mal daran gedacht es mit der Spur zu versuchen. Jedoch habe ich es aber wieder verworfen. Jedoch habe ich da noch eine Frage. Warum gilt [mm]det \phi_1 ° \phi_2= det\phi_1*det\phi_2[/mm]? Ich habe schon in meinen Büchern nachgeschaut und in meinen Aufzeichnungen aber habe so einen Satz/ Bemerkung oder ähnliches nicht gefunden. Könntest du mir erklären weshalb das dann gilt?
Bis denne
Jessica.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Jessica!
Das ist der ganz normale Determinantenmultiplikationssatz, der für alle Endomorphismen (also alle quadratische Matrizen) gilt. Den Beweis findest du ![[]](/images/popup.gif) hier, ab Seite 14/15.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:01 Di 29.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Es sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein 3-dimensionaler Euklidischer Vektorraum
> und [mm]\phi_1,\phi_2\in 0(\Phi)\ mit\ det\phi_1=det\phi_2[/mm].
>
> Zeigen SIe: DIe Endomorphismen [mm]\phi_1°\phi_2\ und\ \phi_2°\phi_1[/mm]
> sind Drehungen. Sind ihre Drehwinkel [mm]\alpha_1\ und\ \alpha_2\ mit\ -\pi\le\alpha_1,\alpha_2\le\pi[/mm],
> so ist [mm]\alpha_1=\pm\alpha_2[/mm].
Nun zu dem Zusammenhang der Drehwinkel.
Wie du ja bereits in etwa sagtest, gibt es zwei Orthonormalbasen [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] bzgl. der die Abbildungen [mm] $\phi_1\circ\phi_2$ [/mm] und [mm] $\phi_2\circ\phi_1$ [/mm] die folgenden Matrixdarstellungen haben (wir haben ja bereits gezeigt, dass diese Abbildungen Drehungen sind):
[mm]M_{B_1}(\phi_1\circ\phi_2)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\alpha_1 & -\sin\alpha_1 \\
0 & \sin\alpha_1 & \cos\alpha_1
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]M_{B_2}(\phi_2\circ\phi_1)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\alpha_2 & -\sin\alpha_2 \\
0 & \sin\alpha_2 & \cos\alpha_2
\end{pmatrix}[/mm]
Nun gilt für die Spuren:
[mm] $\operatorname{Spur}\phi_1\circ\phi_2=\operatorname{Spur}M_{B_1}(\phi_1\circ\phi_2)=1+2\cos\alpha_1$
[/mm]
[mm] $\operatorname{Spur}\phi_2\circ\phi_1=\operatorname{Spur}M_{B_2}(\phi_2\circ\phi_1)=1+2\cos\alpha_2$
[/mm]
Es gilt aber allgemein für zwei Endomorphismen:
[mm] $\operatorname{Spur}\phi_1\circ\phi_2=\operatorname{Spur}\phi_2\circ\phi_1$
[/mm]
Also
[mm] $\gdw\ 1+2\cos\alpha_1=1+2\cos\alpha_2$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \cos\alpha_1=\cos\alpha_2$
[/mm]
In dem geforderten Definitionsbereich der Drehwinkel ist dies nur für [mm] $\alpha_1=\alpha_2$ [/mm] bzw. [mm] $\alpha_1=-\alpha_2$ [/mm] der Fall.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
