Dimension eine Unterraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:53 Di 11.05.2004 | | Autor: | thomas |
Hallo!
Ich habe ein mathematisches Problem (ja, natürlich...).
Ich habe 4 Vektoren gegeben mit jeweils 3 Komponenten.
Ich soll die Dimension desjenigen Unterraums des [mm]\IR³[/mm] berechen, der durch diese Vektoren erzeugt wird und eine Basis angeben.
Die Koordinaten der angegebenen Vektoren sind dann noch bezüglich der Basis zu berechnen.
Der letzte Punkt ist mir klar.
Ich weiß aber nicht wie ich die Dimension des Unterraums berechnen soll.
Muss ich die Basis extra berechnen oder kann ich wegen [mm]\IR³[/mm]automatisch [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] als Basis nehmen.
Vielleicht kann mir jemand helfen. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Di 11.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo thomas,
willkommen im MatheRaum! 
> Ich habe ein mathematisches Problem (ja, natürlich...).
> Ich habe 4 Vektoren gegeben mit jeweils 3 Komponenten.
> Ich soll die Dimension desjenigen Unterraums des [mm]\IR³[/mm]
> berechen, der durch diese Vektoren erzeugt wird und eine
> Basis angeben.
> Die Koordinaten der angegebenen Vektoren sind dann noch
> bezüglich der Basis zu berechnen.
> Der letzte Punkt ist mir klar.
> Ich weiß aber nicht wie ich die Dimension des Unterraums
> berechnen soll.
Die Dimension ist ja einfach die Anzahl der Basisvektoren, die du...
> Muss ich die Basis extra berechnen oder kann ich wegen
... ja ohnehin finden mußt 
Das einfachste Verfahren dafür ist, schrittweise eine Basis aus den vier gegebenen Vektoren zu bilden (ich nehme an, dass der Nullvektor nicht unter den vier Vektoren ist):
In der Basis enthalten ist auf jeden Fall schon mal der erste Vektor.
Nun siehst du dir den zweiten Vektor an: Ist er linear abhängig mit dem ersten Vektor? Falls ja, ignoriere ihn, falls nein, nimm' ihn in deine Basis auf.
Nun der dritte Vektor: Ist er linear abhängig mit den bisher gefundenen Basisvektoren? Falls ja, ignorieren, falls nein, aufnehmen.
Dasselbe mit dem vierten Vektor.
Die Basisvektoren spannen dann den Unterraum auf, die Dimension des Unterraums ist die Anzahl der Basisvektoren.
> [mm]\IR³[/mm]automatisch [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> als Basis nehmen.
Nein, das geht nicht, denn wir wissen ja nicht, ob der Unterraum nicht vielleich 1-dim oder 2-dim ist (4-dim kann er aber nicht sein ).
Um sicher zu gehen, kannst du ja mal deine vier Vektoren posten, und deine Ergebnisse der Basisfindung.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Di 11.05.2004 | | Autor: | thomas |
Hallo!
Hier sind meine Vektoren:
[mm]
\vec v_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\vec v_2=\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},
\vec v_3=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},
\vec v_4=\begin{pmatrix} a\\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} [/mm]
a) Weisen Sie nach, dass B=([mm]\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4)[/mm] eine Basis von [mm]\IR_4[/mm] ist, wenn [mm] a \not= c[/mm] gilt.
b) Wählen Sie a=0, b=2, c=1 und d=0 und bestimmen Sie die Koordinaten von [mm]\vec \omega[/mm] mit [mm](\vec \omega)_B=(1,2,3,4)[/mm] bezüglich der kanonischen Basis.
Ich hab a folgendermaßen gelöst:
Es handelt sich laut Definition um eine Basis, wenn die Matrix invertierbar ist. Das kann ich durch bilden der Determinante bestimmen.
[mm]
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 & a \\
1 & 0 & 0 & b\\
1 & 2 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d
\end{vmatrix}=c-a \rightarrow a\not=c[/mm] da sonst [mm]c-a=0[/mm] und die Matrix somit nicht invertierbar, also keine Basis wäre.
b) hab ich so gelöst:
[mm](A^B_K)^-^1=\begin{pmatrix}
2 & 1 & -2 & 0 \\
\bruch{-2}{3} & \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3}\\
\bruch{1}{3} & \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{-2}{3}\\
-1 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
[mm](\vec \omega)_K=?[/mm]
[mm](\vec \omega)_B=A^K_B.(\vec \omega)_K=(A^B_K)^-^1.(\vec \omega)_K \rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 1 & -2 & 0 \\
\bruch{-2}{3} & \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3}\\
\bruch{1}{3} & \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{-2}{3}\\
-1 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix} \rightarrow (\vec \omega)_K=\begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 12 \\ 7 \end{pmatrix}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Di 11.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo thomas!
> Hallo!
> Hier sind meine Vektoren:
Sehr schön, obwohl es natürlich nicht die Vektoren aus deiner ersten Frage sind.
> [mm]
\vec v_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\vec v_2=\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},
\vec v_3=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},
\vec v_4=\begin{pmatrix} a\\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> a) Weisen Sie nach, dass B=([mm]\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4)[/mm]
> eine Basis von [mm]\IR_4[/mm] ist, wenn [mm]a \not= c[/mm] gilt.
>
> b) Wählen Sie a=0, b=2, c=1 und d=0 und bestimmen Sie die
> Koordinaten von [mm]\vec \omega[/mm] mit [mm](\vec \omega)_B=(1,2,3,4)[/mm]
> bezüglich der kanonischen Basis.
>
> Ich hab a folgendermaßen gelöst:
>
> Es handelt sich laut Definition um eine Basis, wenn die
> Matrix invertierbar ist. Das kann ich durch bilden der
> Determinante bestimmen.
> [mm]
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 & a \\
1 & 0 & 0 & b\\
1 & 2 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d
\end{vmatrix}=c-a \rightarrow a\not=c[/mm]
> da sonst [mm]c-a=0[/mm] und die Matrix somit nicht invertierbar,
> also keine Basis wäre.
Ja, die Schlußweise ist richtig.
Allerdings habe ich als Ergebnis der Determinante $3a-3c$ raus, was aber nichts an der Schlußweise ändert. Aber vielleicht habe ich mich auch bei der Determinante verrechnet
> b) hab ich so gelöst:
> [mm](A^B_K)^-^1=\begin{pmatrix}
2 & 1 & -2 & 0 \\
\bruch{-2}{3} & \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3}\\
\bruch{1}{3} & \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{-2}{3}\\
-1 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm](\vec \omega)_K=?[/mm]
>
> [mm](\vec \omega)_B=A^K_B.(\vec \omega)_K=(A^B_K)^-^1.(\vec \omega)_K \rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 1 & -2 & 0 \\
\bruch{-2}{3} & \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3}\\
\bruch{1}{3} & \bruch{-1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{-2}{3}\\
-1 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix} \rightarrow (\vec \omega)_K=\begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 12 \\ 7 \end{pmatrix}
[/mm]
Hast du es dir hier nicht unnötig kompliziert gemacht?
Es ist doch [mm]A_K^B=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 2\\
1 & 2 & 1 & 1\\
1 & 3 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm], weswegen doch [mm] $\vec\omega_K=A_K^B*\vec\omega_B$ [/mm] gelten müßte:
[mm]\vec\omega_K=A_K^B*\vec\omega_B=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 2\\
1 & 2 & 1 & 1\\
1 & 3 & 0 & 0
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\ 9\\12\\7\end{pmatrix}[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Thomas!
> Ich habe auch 3a-3c=0 raus bekommen, aber einfach durch 3
> dividiert.
Okay, aber es ist klar, dass [mm] $\det(\ldots)=3a-3c$ [/mm] ist, und du erst nach dem Gleichsetzen mit Null durch 3 dividieren darfst. Gut, das war kleinlich von mir, kann mir nicht vorstellen, dass dir das nicht klar war
> Ja, stimmt , eine kleine Fleißarbeit meinerseits...
>
So verlernst du das Invertieren von Matrizen nicht so schnell
Alles Gute,
Marc
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