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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:57 Sa 21.01.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, wenn ich eine Funktion f:D [mm] \to [/mm] G , D,G [mm] \subset \IR
[/mm]
gegeben habe, und ich wissen möchte, für welche [mm] x\in [/mm] D die Funktion differenzierbar ist, kann ich dein einfach die 1. Ableitung bilden und gucken, für welche x die Ableitung f'(x) definiert ist und dann draus folgern, dass alle x, für die sie definiert ist, die Funktion auch differenzierbar ist??
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Du stellst die Sache auf den Kopf. Du kannst nicht durch Bildung der Ableitung herausfinden, ob eine Funktion differenzierbar ist. Sondern erst wenn eine Funktion differenzierbar ist, kannst du ihre Ableitung berechnen. Im übrigen wäre es vorteilhaft, wenn du die Frage konkretisieren würdest, etwa durch ein Beispiel. Denn vielleicht liegt das Mißverständnis ja ganz woanders begründet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Sa 21.01.2006 | | Autor: | AriR |
angenommen ich soll überprüfen, ob [mm] f(x)=x^2 [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist.
Kann ich dann einfach f'(x) berechnen, was in diesem fall f'(x)=2x wäre und dann sagen f(x) ist auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar, weil f'(x) für alle x [mm] \in \IR [/mm] definiert ist??
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Hallo,
ja das ist zwar etwas unschön, aber das kann man sicher so machen. Auf der sicheren Seite bist du, wenn du zeigst, dass die Ableitung tatsächlich existiert. Das geht so:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{(x-x_{0})*(x+x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow x_{0}}(x+x_{0})
[/mm]
[mm] =2x_{0}
[/mm]
und fertig! Leider geht das nicht bei allen Funktionen so einfach!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Sa 21.01.2006 | | Autor: | AriR |
jo dieses Verfahren ist mir auch bekannt.
Nur darf ich die Ableitung einer Funktion überhaupt bilden, wenn ich nicht weiß, dass sie differenzierbar ist?
Angenommen ich habe irgendeine Funktion gegeben, von der ich die Ableitung bilden kann, aber nicht sehe ob sie differenzierbar ist. Darf ich dann die Ableitung bilden und wieder gucken, für welche x aus dem Definitionsbereich der Funktion die Ableitung definiert ist und dann daraus folgern, dass die Funktion für all diese x diffbar ist?
Kann man überhaupt ableitungen von nicht differenzierbaren Funktionen bilden?
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Hallo AriR,
hier meine Erklärung:
Der Differentialquotient [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] ist geometrisch gesehen die Steigung der Kurve (d.h. ihrer Tangente) im Punkt x. Daher muss notwendigerweise, soll eine Funktion an der Stelle x differenziebar sein, sie dort auch stetig sein.
Funktionsgraphen ohne Lücken oder Sprungstellen bzw. ohne "Zacken" sind "glatt" im Sinne der Funktionseigenschaften "stetig" bzw. "differenzierbar".
Bei der Untersuchung beider Eigenschaften von Funktionen wird u.a. nach der Existenz von Grenzwerten für x gegen [mm] x_{0} [/mm] gefragt.
Eine in einer Umgebung [mm] x_{0} \in \IR [/mm] definierte Funktion f heißt an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] stetig, wenn
(a) [mm] x_{0} \in [/mm] Definitionsbereich von f
(b) der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\x null} [/mm] f(x) existiert
(c) der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\x null} [/mm] mit dem Funktionswert [mm] f(x_{0}) [/mm] übereinstimmt.
Ist eine Funktion f "in [mm] x_{0} [/mm] stetig", so sagt man auch, dass sie lokal stetig ist. Im Unterschied spricht man von (globaler) Stetigkeit schlechthin, wenn
f an jeder Stelle [mm] x_{0} [/mm] des Definitionsbereiches lokal stetig ist.
Die Differenzierbarkeit einer Funktion f an der Stelle x ist gegenüber der Stetigkeit von f an der Stelle x eine "anspruchsvollere" Eigenschaft.
Für die Funktion f(x) = IxI (Betrag von x) mit x = Element der Definitionsmenge [mm] \IR [/mm] berechnen wir als Beispiel den Differenzenquotienten f an der Stelle 0.
[mm] \bruch{f(x) - f(0)}{x - o} [/mm] = [mm] \bruch{IxI}{x} [/mm] = 1 für x >0 und -1 für x<0 (also nicht eindeutig).
Das bedeutet aber, dass der Grenzübergang zum Differentialquotienten nicht existiert. Also ist f an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Andererseits kann man sich davon überzeugen, dass f an der Stelle 0 nach obiger Regel stetig ist.
Die Funktion f(x) = IxI (Betrag von x) hat im Punkt (0,0) eine Spitze, so dass in diesem Punkt keine eindeutige "Berührgerade" existiert.
Jede an der Stelle x differenzierbare Funktion f ist bei x erst recht stetig. Das bedeutet insbesondere, dass eine bei x nicht stetige Funktion bei x auch nicht differnzierbar sein kann. Aber eine an der Stelle x stetige Funktion muss dort nicht differnzierbar sein. Stetigkeit gilt also als eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit.
Es gibt sogar Funktionen, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig, aber an keiner Stelle differenzierbar sind.
An welchen Stellen ist denn eine Funktion differnzierbar?
Ist f eine auf [mm] D_{f} \in \IR [/mm] definierte Funktion, so bezeichnet man die Menge A aller derjenigen x [mm] \in D_{f}, [/mm] an denen f differnzierbar ist - also
die Ableitung von f existiert - als den Differnzierbarkeitsbereich von f.
Ich fasse zusammen: Eine Funktion heißt an der Stelle x differnzierbar, wenn der Grenzwert [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] existiert.
Als Merkregel könnte man sagen, dass jede stetige Funktion ohne Ecken, Spitzen o.ä. differenzierbar ist.
Ich hoffe, mein Ausführungen können helfen.
Gruß,
Oli
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Nein, das geht so nicht. Daß eine Funktion auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] differenzierbar ist, ist ja dasselbe, als wenn man sagt: [mm]f'(x)[/mm] existiert für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm]. Deine Schlußweise ist damit zirkulär.
Das ist so, als wenn du beweisen müßtest, daß es zu jeder reellen Zahl [mm]a \geq 0[/mm] eine reelle Zahl [mm]b \geq 0[/mm] mit [mm]b^2 = a[/mm] gibt, und als Beweis einfach anführtest: Ja klar - man nehme [mm]b = \sqrt{a}[/mm].
Das Zeichen [mm]\sqrt{a}[/mm] bekommt eben erst dann einen Sinn, wenn die obige Behauptung bewiesen ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 21.01.2006 | | Autor: | AriR |
Also muss ich immer erst bevor ich die Ableitung einer Funktion bilde, gucken ob sie überhaupt differenzierbar ist auf ihrem Defintionsbereich (per Differenzenquotient oder wenn es eine Komposition, Produkt etc von schon bekannten differenzierbaren Funktionen ist) und darf dann erst die Ableitung bilden, ist das richtig so?
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Prinzipiell ja.
Aber: Wenn du es einmal bewiesen hast, kannst du es natürlich verwenden. Wenn du also z.B. einmal bewiesen hast, daß
[mm]f'(x) = 3x^2[/mm] ist für [mm]f(x) =x^3[/mm]
[mm]g'(x) = \cos{x}[/mm] ist für [mm]g(x) = \sin{x}[/mm]
und wenn du für differenzierbare Funktionen die Produktregel
[mm]p'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)[/mm] für [mm]p(x) = f(x) g(x)[/mm]
allgemein gezeigt hast, dann kannst du das natürlich alles auch auf die Funktion
[mm]p(x) = x^3 \sin{x}[/mm]
anwenden. Du mußt also nicht immer bei Adam und Eva anfangen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 21.01.2006 | | Autor: | AriR |
dann müsste ich ja sagen, dass p(x) differenzierbar ist, weil es eine aus kompositionen und produkten schon bewiesener differenzierbarer funktionen besteht und dürfte dann schon die vorher bewiesenen ableitungsregelen verwenden oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo ARiR!
Genau so dürftest du es machen, ja. 
Liebe Grüße
Julius
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