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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
[mm] A_(u) = \bruch{1} {2} * e^{-u} *(u+1) * \bruch{e^{-u} * (u+1)} {e^-u} [/mm]
Kürzen von [mm] e^{-u}
[/mm]
[mm] A_(u) = \bruch{1} {2} * e^{-u} * (u+1) * (u+1) [/mm]
[mm] A_(u) = \bruch{e^{-u} * (u+1)^2} {2} [/mm]
Ok, das habe ich kapiert. Und aus dieser Gleichung muss ich jetzt die Extrenwertaufgabe machen.
Lage der Extremstelle:
Ich bilde die erste Ableitung von f, setze diese gleich 0 und löse die entstehende Gleichung nach [mm] u_e [/mm] auf.
[mm] A'(u)= -e^{-u} * (u+1) [/mm]
Da ein Produkt den Wert Null hat, wenn einer der beiden Faktoren gleich Null ist, ergibt sich die Bedingung:[mm] u_e=-1. [/mm].
Art des Extremwertes :
[mm] A''(u)= e^{-u} *-1[/mm]
Einsetzen der Extremstelle:
[mm] A''(-1)= e^{-(-1)}*-1 [/mm]
[mm] A''(-1) = -e<0 [/mm]
Das würde bedeuten , dass bei [mm] u_e=-1 [/mm] ein Maximum vorliegt.
Bei der ersten Ableitung bin Ich mir sicher , dass die richtig ist. Obwohl mich der Extremwert von -1 wiederum unsicher macht.
Bei der zweiten Ableitung bin ich mir nicht sicher. Denn, wenn ich -1 in die Gleichung A(u) einsetze , bekomme ich Null raus.
Vielen Dank für euere Hilfe im Vorraus.
Gruß Dust
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Dust,
> Hallo,
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> [mm]A_(u) = \bruch{1} {2} * e^{-u} *(u+1) * \bruch{e^{-u} * (u+1)} {e^-u}[/mm]
>
> Kürzen von [mm]e^{-u}[/mm]
>
> [mm]A_(u) = \bruch{1} {2} * e^{-u} * (u+1) * (u+1)[/mm]
>
> [mm]A_(u) = \bruch{e^{-u} * (u+1)^2} {2}[/mm]
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> Ok, das habe ich kapiert. Und aus dieser Gleichung muss ich
> jetzt die Extrenwertaufgabe machen.
>
> Lage der Extremstelle:
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> Ich bilde die erste Ableitung von f, setze diese gleich 0
Offenbar ist hier f identisch mit A.
> und löse die entstehende Gleichung nach [mm]u_e[/mm] auf.
>
> [mm]A'(u)= -e^{-u} * (u+1)[/mm]
Die erste Ableitung stimmt nicht.
Verwende zum Ableiten/Differenzieren die Produktregel.
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> Da ein Produkt den Wert Null hat, wenn einer der beiden
> Faktoren gleich Null ist, ergibt sich die Bedingung:[mm] u_e=-1. [/mm].
>
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>
> Art des Extremwertes :
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> [mm]A''(u)= e^{-u} *-1[/mm]
>
> Einsetzen der Extremstelle:
> [mm]A''(-1)= e^{-(-1)}*-1[/mm]
> [mm]A''(-1) = -e<0[/mm]
>
> Das würde bedeuten , dass bei [mm]u_e=-1[/mm] ein Maximum
> vorliegt.
>
> Bei der ersten Ableitung bin Ich mir sicher , dass die
> richtig ist. Obwohl mich der Extremwert von -1 wiederum
> unsicher macht.
>
> Bei der zweiten Ableitung bin ich mir nicht sicher. Denn,
> wenn ich -1 in die Gleichung A(u) einsetze , bekomme ich
> Null raus.
>
> Vielen Dank für euere Hilfe im Vorraus.
>
> Gruß Dust
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
Anwendung der Produktregel
[mm] A_(u) = \bruch{e^{-u} * ( u+1)^2} {2} [/mm]
[mm] A_(u) = f(u)*g(u) [/mm]
mit [mm] f(u)= e^{-u} , f'(u) = -e^{-u} [/mm]
und [mm] g(u)= \bruch{(u+1)^2} {2} , g'(u)=(u+1) [/mm]
[mm] A'_{(u)}= f(u)* g'(u) + f'(u)* g(u) [/mm]
[mm] A'_{(u)}= e^{-u}* (u+1) + -e^-u * \bruch{u^2+2u+1} {2} [/mm]
[mm] A'_{(u)}= e^{-u}* (u+1) + -e^{-u}* \bruch{u^2} {2} + \bruch{2u} {2} + \bruch{1} {2} [/mm]
[mm] A'_{(u)}= -e^{-u} * \bruch{u^2} {2} + \bruch{e^{-u}} {2} [/mm]
[mm] A'_{(u)} = -e^{-u} * \bruch{u^2-1} {2} [/mm]
Daraus folgt, dass [mm] u^2=1 [/mm] , und [mm] { u}=1[/mm]
A hat also die mögliche Extremstelle [mm] u_e=1 [/mm]
Vielen Dank für euere Hilfe.
Gruß Dust
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Hallo Dust,
> Hallo,
>
> Anwendung der Produktregel
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> [mm]A_(u) = \bruch{e^{-u} * ( u+1)^2} {2}[/mm]
>
> [mm]A_(u) = f(u)*g(u)[/mm]
>
> mit [mm]f(u)= e^{-u} , f'(u) = -e^{-u}[/mm]
>
> und [mm]g(u)= \bruch{(u+1)^2} {2} , g'(u)=(u+1)[/mm]
>
> [mm]A'_{(u)}= f(u)* g'(u) + f'(u)* g(u)[/mm]
>
> [mm]A'_{(u)}= e^{-u}* (u+1) + -e^-u * \bruch{u^2+2u+1} {2} [/mm]
>
> [mm]A'_{(u)}= e^{-u}* (u+1) + -e^{-u}* \bruch{u^2} {2} + \bruch{2u} {2} + \bruch{1} {2}[/mm]
>
> [mm]A'_{(u)}= -e^{-u} * \bruch{u^2} {2} + \bruch{e^{-u}} {2}[/mm]
>
> [mm]A'_{(u)} = -e^{-u} * \bruch{u^2-1} {2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Daraus folgt, dass [mm]u^2=1[/mm] , und [mm]{ u}=1[/mm]
>
> A hat also die mögliche Extremstelle [mm]u_e=1[/mm]
Das ist nicht die einzig mögliche Extemstelle,
denn die Gleichung [mm]u^{2}=1[/mm] hat zwei Lösungen.
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> Vielen Dank für euere Hilfe.
>
> Gruß Dust
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
[mm] A'_{(u)}=-e^{-u} * \bruch{(u^2-1)} {2} [/mm]
[mm] x_e=-1 [/mm] und [mm] x_e=1 [/mm]
Art der Extremwerte
[mm] A''_{(u)}= f'(u)* g''(u)+ f''(u)*g'(u) [/mm]
mit [mm] f'(u)=-e^{-u} [/mm] , [mm] f''(u)=e^{-u} [/mm]
und [mm] g'(u)=(u+1) [/mm] , [mm] g''(u)=1 [/mm]
[mm] A''_{(u)}= -e^{-u}*1 +e^{-u}*(u+1) [/mm]
[mm] A''_{(u)}= -e^{-u}+ e^{-u} u + e^{-u} [/mm]
[mm] A''_{(u)}=e^{-u} u [/mm]
Einsetzen der Extremstellen
[mm] A''{(-1)} = e^{-(-1) * -1 = -2,718281828 = -e<0. [/mm]
[mm] x_e=-1 [/mm] ist die Stelle eines Maximums
[mm] A''{(1)}= e^{-1} * 1 = 0,3678>0 [/mm]
[mm] x_e=1 [/mm] ist die Stelle eines Minimums
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruss Dust
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 So 01.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> [mm]A'_{(u)}=-e^{-u} * \bruch{(u^2-1)} {2}[/mm]
>
> [mm]x_e=-1[/mm] und [mm]x_e=1[/mm]
>
> Art der Extremwerte
>
> [mm]A''_{(u)}= f'(u)* g''(u)+ f''(u)*g'(u)[/mm]
>
> mit [mm]f'(u)=-e^{-u}[/mm] , [mm]f''(u)=e^{-u}[/mm]
>
> und [mm]g'(u)=(u+1)[/mm] , [mm]g''(u)=1[/mm]
>
> [mm]A''_{(u)}= -e^{-u}*1 +e^{-u}*(u+1)[/mm]
Das ist korrekt, ich würde allerdings [mm] e^{-u} [/mm] ausklammern, so dass du die "schönere" Form
A''_{(u)}= [mm] -e^{-u}*1 +e^{-u}*(u+1)
[/mm]
[mm] =A''_{(u)}=e^{-u}(-1+(u+1))
[/mm]
[mm] =A''_{(u)}=e^{-u}(-1+u+1)
[/mm]
[mm] =A''_{(u)}=u*e^{-u}
[/mm]
bekommst. Das macht bei Abgeleiteten Produkten mit "e-Funktionsteil" eigentlich immer Sinn.
>
> [mm]A''_{(u)}= -e^{-u}+ e^{-u} u + e^{-u}[/mm]
>
> [mm]A''_{(u)}=e^{-u} u[/mm]
>
> Einsetzen der Extremstellen
>
> [mm]A''{(-1)} = e^{-(-1)} * -1 = -2,718281828 = -e<0.[/mm]
>
Korrekt, aber zur Notation: Lass die Dezimaldarstellung von e weg, also
[mm] A''{(-1)}=e^{-(-1)}*-1=-e<0
[/mm]
> [mm]x_e=-1[/mm] ist die Stelle eines Maximums
>
> [mm]A''(1)= e^{-1} * 1 = 0,3678>0[/mm]
>
> [mm]x_e=1 [/mm] ist die Stelle eines Minimums
Auch hier: [mm] A''(1)=e^{-1}*1=\bruch{1}{e}>0
[/mm]
>
>
> Vielen Dank für euere Hilfe
>
> Gruss Dust
Marius
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