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Produktregel

Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion $ f $ an der Stelle $ x $ ist durch

$ f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $

gegeben. Daher gilt für zwei an einer Stelle $ x $ differenzierbare Funktionen $ f $ und $ g $:

$ (f\cdot g)'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} $,

falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.

Um die Produktregel

$ \fbox{ (f \cdot g)'(x) = f(x) \cdot g'(x) + f'(x) \cdot g(x) } $

zu beweisen, müssen wir also zeigen, dass $ f \cdot g $ wieder an einer Stelle $ x $ differenzierbar ist (und damit die Existenz des Grenzwertes $ \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} $ zeigen) und dann die Gleichheit

$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = f(x) \cdot g'(x) + f'(x) \cdot g(x) $

beweisen.

Hierbei dürfen wir ausnutzen, dass

$ f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $

und

$ g'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} $

gilt.


siehe auch: [link]Produktregel

Erstellt: Fr 01.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Do 19.11.2009 um 13:16 von informix
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