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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 So 03.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | a) zu beweisen: Die Dezimalbruchentwicklung von [mm] \bruch{1}{7} [/mm] ist periodisch.
b) Erkennen Sie einen Zusammenhang dazu, dass 7 ein Teiler von [mm] 10^6 [/mm] -1 ist?
c) Verallgemeinerung von a) vermuten und beweisen |
Hey,
hier meine Ideen:
zu a) 1:7 = [mm] 0,\overline{142857} [/mm]
a = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} \cdot 10^{-k} [/mm] z.z. a = [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
Die Summe ist ja nichts anderes als: [mm] \bruch{1}{10} [/mm] + [mm] \bruch{4}{100} [/mm] + [mm] \bruch{2}{1000} [/mm] + [mm] \bruch{8}{10000} [/mm] + [mm] \bruch{5}{100000} [/mm] + [mm] \bruch{7}{1000000} [/mm] + ...
Ich brauch ja nun die konkrete Reihe für diese Summe, um zu zeigen, dass die Summe der Periode gegen [mm] \bruch{1}{7} [/mm] konvergiert und genau hier komm ich nicht weiter :/
zu b) Hier hat der Exponent bei der [mm] 10^6 [/mm] ja anscheinend irgendwas mit der Periodenlänge zu tun, ansonsten steh ich auch hier aufm Schlauch.
zu c) hab ich noch nichts :x
Ich danke euch schonmal im Voraus für alle Hinweise und Tipps ! :)
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Hallo Anazeug,
wenn Du b hast, ergibt sich c fast von selbst. Am besten, wir fangen also von vorn an.
> a) zu beweisen: Die Dezimalbruchentwicklung von
> [mm]\bruch{1}{7}[/mm] ist periodisch.
> b) Erkennen Sie einen Zusammenhang dazu, dass 7 ein Teiler
> von [mm]10^6[/mm] -1 ist?
> c) Verallgemeinerung von a) vermuten und beweisen
> Hey,
> hier meine Ideen:
>
> zu a) 1:7 = [mm]0,\overline{142857}[/mm]
>
> a = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k} \cdot 10^{-k}[/mm] z.z. a =
> [mm]\bruch{1}{7}[/mm]
>
> Die Summe ist ja nichts anderes als: [mm]\bruch{1}{10}[/mm] +
> [mm]\bruch{4}{100}[/mm] + [mm]\bruch{2}{1000}[/mm] + [mm]\bruch{8}{10000}[/mm] +
> [mm]\bruch{5}{100000}[/mm] + [mm]\bruch{7}{1000000}[/mm] + ...
>
> Ich brauch ja nun die konkrete Reihe für diese Summe, um
> zu zeigen, dass die Summe der Periode gegen [mm]\bruch{1}{7}[/mm]
> konvergiert und genau hier komm ich nicht weiter :/
Tipp: [mm] 1=7*\bruch{142857}{1000000}+\bruch{1}{1000000}=7*142857*10^{-6}+7*142857*10^{-12}+10^{-18}=\cdots
[/mm]
Mit anderen Worten: geometrische Reihe.
> zu b) Hier hat der Exponent bei der [mm]10^6[/mm] ja anscheinend
> irgendwas mit der Periodenlänge zu tun, ansonsten steh ich
> auch hier aufm Schlauch.
Das solltest Du erkennen, wenn Du a) hast.
> zu c) hab ich noch nichts :x
Folgt aus b)...
> Ich danke euch schonmal im Voraus für alle Hinweise und
> Tipps ! :)
Also ran an die Buletten!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 So 03.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Also ran an die Buletten!
>
> Grüße
> reverend
>
Alles klar danke, werds versuchen, muss jetzt erstmal arbeiten :-D
Aber die geometrische Reihe ist für mich noch nicht ganz ersichtlich durch diese Summe ... [mm] (q)^k, [/mm] wobei q < 1, wo hab ich da ein ^k ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 So 03.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
[mm] a_0=7*142857*10^{-6}
[/mm]
[mm] q=10^{-6}
[/mm]
Ich hatte nur die ersten beiden Glieder der Reihe ausgeschrieben.
[mm] 1=a_0+a_0q+a_0q^2+a_0q^3+a_0q^4+\cdots=\summe_{k=0}^{\infty}a_0q^k=a_0\summe_{k=0}q^k=\cdots
[/mm]
Grüße
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> > zu b) Hier hat der Exponent bei der [mm] 10^6 [/mm] ja anscheinend
> > irgendwas mit der Periodenlänge zu tun, ansonsten steh ich
> > auch hier aufm Schlauch.
>
> Das solltest Du erkennen, wenn Du a) hast.
Danke erstmal, a) hab ich nun,
1 = 7 [mm] \cdot [/mm] 142857 [mm] \cdot 10^{-6} \cdot \bruch{1}{1-10^{-6}} [/mm] = 0,999999 [mm] \cdot \bruch{1000000}{999999} [/mm] = 1
Wäre zu b nun richtig, dass ich, wenn 7 kein Teiler von [mm] 10^6 [/mm] - 1 wäre, dass ich dann nicht a hätte beweisen können, da sich das sonst nicht weggekürzt hätte ..? Doofe Begründung, aber ne bessere fällt mir grad nicht ein.
Und zu c) hab ich noch keine Idee, hilft mir mein Ansatz aus b?
Danke, schöne Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Danke erstmal, a) hab ich nun,
>
> 1 = 7 [mm]\cdot[/mm] 142857 [mm]\cdot 10^{-6} \cdot \bruch{1}{1-10^{-6}}[/mm]
> = 0,999999 [mm]\cdot \bruch{1000000}{999999}[/mm] = 1
>
> Wäre zu b nun richtig, dass ich, wenn 7 kein Teiler von
> [mm]10^6[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
- 1 wäre, dass ich dann nicht a hätte beweisen
> können, da sich das sonst nicht weggekürzt hätte ..?
> Doofe Begründung, aber ne bessere fällt mir grad nicht
> ein.
Aus a) folgt
$7*142857=10^6-1$, und damit ist $7$ Teiler von $10^6-1$.
>
> Und zu c) hab ich noch keine Idee, hilft mir mein Ansatz
> aus b?
Ja! Bei einer Periode mit $i$ Ziffern hast Du eine Zahl $0<n<10^i$, so daß der Dezimalbruch den Wert
$\sum_{k=1}^\infty \frac n {10^{i*k}$.
darstellt. Jetzt argumentiere wie in b).
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Bei einer Periode mit [mm]i[/mm] Ziffern hast Du eine Zahl
> [mm]0
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac n {10^{i*k}[/mm].
>
> darstellt. Jetzt argumentiere wie in b).
Danke Wolfgang, ich weiß nicht wirklich, wie ich nun argumentieren soll, um aufzuschreiben wqas allegemein gilt ... aber ich hätte erstmal eine andere Frage, dein n ist ja größer als 0(Warum eigentlich?), heißt es, dass unser n rational sein muss? Hoffe man versteht was ich meine ... wenn ja, wieso muss n dann rational sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Bei einer Periode mit [mm]i[/mm] Ziffern hast Du eine Zahl
> > [mm]0
> >
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac n {10^{i*k}[/mm].
> >
> > darstellt. Jetzt argumentiere wie in b).
>
> Danke Wolfgang, ich weiß nicht wirklich, wie ich nun
> argumentieren soll, um aufzuschreiben wqas allegemein gilt
> ... aber ich hätte erstmal eine andere Frage, dein n ist
> ja größer als 0(Warum eigentlich?), heißt es, dass unser
> n rational sein muss? Hoffe man versteht was ich meine ...
> wenn ja, wieso muss n dann rational sein?
$n$ ist sogar eine natürliche Zahl. Im Beispiel mit $1/7$ ist $n=142857$.
Und $7$ mußt Du durch eine beliebige natürliche Zahl $p$ ersetzen, mit $p>0$. Wenn jetzt $n=0$ wäre, so wäre $1/p = 0,000000000000000...=0$ was nicht sein kann.
Gruß,
Wolfgang
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